人教版9年级上册数学同步压轴题 专题09 几何旋转综合问题（学生版+教师解析）

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例．如图，已知等边中，点D、E、F分别为边、、的中点，M为直线上一动点，为等边三角形(点M的位置改变时，也随之整体移动)．
(1)如图1，当点M在点B左侧时，请你连结，并判断与有怎样的数量关系？点F是否在直线上？请写出结论，并说明理由；
(2)如图2，当点M在上时，其它条件不变，(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，若点M在点C右侧时，请你判断(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由．
【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点(不与点，重合)，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
(1)当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)．
(2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
【变式训练3】如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
(1)如图1，猜想∠QEP= °；
(2)如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
(3)如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
【变式训练4】两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
(1)如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；
(2)如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
(3)如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，(1)中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
【变式训练5】在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
(1)如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
(2)如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
(3)已知∠BAC的大小为m()，若∠CBD 的大小与(2)中的结果相同，请直接写出的大小．
类型二、四边形中的旋转问题
例．如图1，在ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(2)如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C、F不重合)，并说明理由．
【变式训练1】在正方形的边上任取一点，作交于点，取的中点，连接、，如图，易证 且．
将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
将绕点逆时针旋转，如图，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【变式训练2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．
①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．
【变式训练3】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°
(1)将△ADF绕点A顺时针旋转90 °，得到△ABG(如图1)，求证：BE+DF=EF；
(2)若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N(如图2)，求证：
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变(如图3)，直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系．
【变式训练4】在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F
(1)在图1中证明CE=CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；
(3)若∠ABC=120°，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．