人教版九年级数学上册同步压轴题专题09几何旋转综合问题（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步压轴题专题09几何旋转综合问题（原卷版+解析），共22页。试卷主要包含了三角形中的旋转问题，四边形中的旋转问题等内容，欢迎下载使用。

例．如图，已知等边中，点D、E、F分别为边、、的中点，M为直线上一动点，为等边三角形(点M的位置改变时，也随之整体移动)．
(1)如图1，当点M在点B左侧时，请你连结，并判断与有怎样的数量关系？点F是否在直线上？请写出结论，并说明理由；
(2)如图2，当点M在上时，其它条件不变，(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，若点M在点C右侧时，请你判断(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由．
【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点(不与点，重合)，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
(1)当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)．
(2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
【变式训练3】如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
(1)如图1，猜想∠QEP= °；
(2)如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
(3)如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
【变式训练4】两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
(1)如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；
(2)如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
(3)如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，(1)中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
【变式训练5】在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
(1)如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
(2)如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
(3)已知∠BAC的大小为m()，若∠CBD 的大小与(2)中的结果相同，请直接写出的大小．
类型二、四边形中的旋转问题
例．如图1，在ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(2)如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C、F不重合)，并说明理由．
【变式训练1】在正方形的边上任取一点，作交于点，取的中点，连接、，如图，易证 且．
将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
将绕点逆时针旋转，如图，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【变式训练2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．
①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．
【变式训练3】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°
(1)将△ADF绕点A顺时针旋转90 °，得到△ABG(如图1)，求证：BE+DF=EF；
(2)若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N(如图2)，求证：
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变(如图3)，直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系．
【变式训练4】在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F
(1)在图1中证明CE=CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；
(3)若∠ABC=120°，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．
专题09几何旋转综合问题
类型一、三角形中的旋转问题
例．如图，已知等边中，点D、E、F分别为边、、的中点，M为直线上一动点，为等边三角形(点M的位置改变时，也随之整体移动)．
(1)如图1，当点M在点B左侧时，请你连结，并判断与有怎样的数量关系？点F是否在直线上？请写出结论，并说明理由；
(2)如图2，当点M在上时，其它条件不变，(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，若点M在点C右侧时，请你判断(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由．
【答案】(1)相等，在，理由见解析；(2)成立，证明见解析；(3)成立．
【详解】解：(1)EN=MF，点F在直线NE上，理由如下：如图1，连接DE、DF、EF，NF，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC， ，
又∵点D、E、F分别为边、、的中点，
∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线， ，
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE=60°
∵D、F分别是AB、BC的中点，∴ ，∴△DBF是等边三角形，
∴∠BDF=60°，
∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，
∴∠MDN-∠BDN=∠BDF-∠BDN，即∠MDB=∠NDF，
在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN，
∵∠ABC=60°，∴∠DBM=120°，∴∠NFD=120°，∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°，
∴N、F、E三点共线，∴F在直线NE上；
∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠FDE+∠NDF=∠MDN+∠NDF，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，∵DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，∴△DMF ≌△DNE，∴MF=NE，
(2)成立，理由如下：如图2，连接DF，NF，EF，
∵△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点，
∴ ， ，∴△DBF是等边三角形，∴∠BDF=∠DBF=60°，
∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，
∴∠MDN-∠FDM=∠BDF-∠FDM，即∠MDB=∠NDF，
在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，
∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN=60°，BM=FN，∴∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线， ，
∴EF∥BD， ，∴F在直线NE上，BF=EF，∴MF=EN；
(3)MF与EN相等的结论仍然成立，理由如下：如图3，连接DF、DE，EF，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，
又∵点D、E、F分别为边、、的中点，
∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线，
，∴DE=DF=EF，
∴△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，
∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=∠FDE=60°，DM=DN，
∴∠EDM+∠NDE=∠EDM+∠FDM，∴∠NDE=∠FDM，
在△DNE和△DMF中，∵DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，△DNE≌△DMF，∴MF=NE．
【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点(不与点，重合)，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
【答案】(1)见详解；(2)①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形
【详解】解：(1)∵线段绕点A逆时针方向旋转得到，∴AH=AG，∠HAG=90°，
∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，
∴；
(2)①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，
∴AE=AF，是等腰直角三角形，
∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，∴，∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；
②∵，点，分别为，的中点，∴AE=AF=2，
∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况：
(a)当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，
∴点H是EF的中点，∴EH=；
(b)当∠GAQ=∠GQA=(180°-45°)÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；
(c)当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，
综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形．
【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
(1)当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)．
(2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
【答案】(1)①60°；②2α；(2)小杨同学猜想是正确的．证明见解析．
【详解】解：(1)①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．
∵CA=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．
②如图2中，作CH⊥AD于H．
∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．
∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，
∴旋转角为2α．故答案为：2α．
(2)小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．
∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，
在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．
∵S△BDC•CD•BN，S△ACE•AC•EM．
∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．
【变式训练3】如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
(1)如图1，猜想∠QEP= °；
(2)如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
(3)如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
【答案】(1)∠QEP=60°；(2)∠QEP=60°，证明详见解析；(3)
【详解】解：(1)∠QEP=60°；
证明：连接PQ，如图1，由题意得：PC=CQ，且∠PCQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠PCA=∠QCB，
则在△CPA和△CQB中， ，∴△CQB≌△CPA(SAS)，∴∠CQB=∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，∴∠QEP=∠QCP=60°.故答案为60；
(2)∠QEP=60°.以∠DAC是锐角为例.
证明：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中， ，∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，∴∠QEP=∠PCQ=60°；
(3)连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3，
与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，∴∠APC=30°，∠CAH=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH=CH=AC=×4=，
在Rt△PHC中，PH=CH=，∴PA=PH−AH=－，
∴BQ=−.
【变式训练4】两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
(1)如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；
(2)如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
(3)如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，(1)中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
【答案】(1)相等，垂直．(2)成立，证明见解析；(3)成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．
【详解】解：(1)∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．
(2)答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，
由(1)知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，
∴(1)中的猜想还成立．
(3)答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，
同(1)可证，∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中 ，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD⊥BE，
∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，即FH=FG，FH⊥FG，结论是FH=FG，FH⊥FG.
【变式训练5】在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
(1)如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
(2)如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
(3)已知∠BAC的大小为m()，若∠CBD 的大小与(2)中的结果相同，请直接写出的大小．
【答案】(1)30°；(2)30°；(3)为或或．
【详解】解：(1)解(1)∵，，∴，
∵，，∴为等边三角形，∴．
又∵，∴为等腰三角形，，∴．
(2)方法1：如图作等边，连接、．
，．
，，．
，．．①
，，．②
，③；由①②③，得，，．
，，．
，，．．．④
，，．⑤
，⑥；由④⑤⑥，得．．
．．．
方法2 如下图所示，构造等边三角形ADE，连接CE．

∵在等腰三角形ACD中，，∴，
∵，∴．可证．
结合角度，可得，．
在和中，，∴，∴．
∵，∴．
方法3 如下图所示，平移CD至AE，连接ED，EB，则四边形ACDE是平行四边形．

∵，∴四边形ACDE是菱形，
∴，．∴，∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，∴，，
∴．∴．
(3)由(1)知道，若，时，则；
①由(1)可知，设时可得，，
，．
②由(2)可知，翻折到△，则此时，，
，
③以为圆心为半径画圆弧交的延长线于点，连接，
，，．
综上所述，为或或时，．
类型二、四边形中的旋转问题
例．如图1，在ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(2)如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C、F不重合)，并说明理由．
【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由见解析；(2)45°，理由见解析
【详解】解：(1)①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：
如图2，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，且∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠CAF＝∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF，∠B＝∠ACF＝45°，
∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即∠BCF＝90°，∴BC⊥CF，
即BD⊥CF；
故答案为：垂直，相等；
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：
如图3，由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∠ACF＝∠ABD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝∠ABC＝45°
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD；
(2)当∠BCA＝45°时，CF⊥BD，理由是：
如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，
∵∠BCA＝45°，
∴∠AQC＝45°，
∴∠AQC＝∠BCA，
∴AC＝AQ，
∵AD＝AF，∠QAC＝∠DAF＝90°，∴∠QAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
∴∠QAD＝∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AQD＝45°，
∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．
【变式训练1】在正方形的边上任取一点，作交于点，取的中点，连接、，如图，易证 且．
将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
将绕点逆时针旋转，如图，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】，；，．
【详解】解：，．
，．证明：延长交延长线于，连．
∵，，，
∴四边形是矩形．∴，，
由图可知，∵平分，，∴，
又∵，∴为等腰直角三角形，∴，．∴．
∵，，∴．
∵，，∴．
∵，∴，
又∵，，∴．
∵在与中，，∴．
∴，．
∵，，，∴，
∴，∴，即，∴．
【变式训练2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．
①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．
【答案】(1)DE⊥AG (2)①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°
【详解】如图1，延长ED交AG于点H，

点O是正方形ABCD两对角线的交点，，
，在和中，
，≌，，
，，，即；
在旋转过程中，成为直角有两种情况：
Ⅰ由增大到过程中，当时，
，在中，sin∠AGO=，，
，， ，即；
Ⅱ由增大到过程中，当时，
同理可求，．
综上所述，当时，或．
如图3，
当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，
正方形ABCD的边长为1，
，
，，，
，
，此时．
【变式训练3】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°
(1)将△ADF绕点A顺时针旋转90 °，得到△ABG(如图1)，求证：BE+DF=EF；
(2)若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N(如图2)，求证：
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变(如图3)，直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)=2．
【详解】(1)证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE(SAS)；
(2)证明：设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a-BE=a-DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；
(3)解：EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由(1)知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2，
即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2，
即2(DF2+BE2)=EF2
【变式训练4】在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F
(1)在图1中证明CE=CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；
(3)若∠ABC=120°，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．
【答案】(1)见解析；(2)45°；(3)见解析
【详解】(1)证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，ABCD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．
(2)解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，
∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．
(3)解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵ADGF，ABDF，∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF，
∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF
在△BHD与△GFD中，
∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.