（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练专题14 对数函数及其性质（2份，原卷版+解析版）

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知识点一、对数函数的概念
1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
知识点二、对数函数的图象与性质
知识点三、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
知识点四、反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
例1．已知．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(3)求的值；
(4)证明函数在上为单调递减函数．
【解析】（1）由题意,解得,定义域为；
（2）是偶函数：证明：，所以是偶函数；
（3）；
（4）设，
，
∵，所以，，，
∴，即，∴函数在上为单调递减函数．
例2．已知函数的定义域是关于的不等式的解集
(1)求以上不等式的解集；
(2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.
【解析】（1）由可得，
即，则，即，
所以 ，即的解集为.
（2）因为，
令 ，则 ，
当即时，，即取得最小值；
当或即或时，，即取得最大值；
例3．（1）若函数的定义域为，求的范围；
（2）若函数的值域为，求的范围.
【解析】（1）的定义域为，对恒成立；
当时，不等式变为，即，不合题意；
当时，若恒成立，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为；
（2）设的值域为，
的值域为，；
当时，，则，满足题意；
当时，若，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
例4．已知函数，其中，均为实数.
(1)若，且的定义域为，求的取值范围；
(2)若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当时，的定义域为,
则，解得：；
（2）当时，，
函数拆分成内外层函数，，，若函数在区间内单调递增，则内层函数在上单调递减，并且，
当时，在上单调递减，并且，满足条件，
当时，需满足下列条件
则，解得：,综上可知存在实数，的取值范围是.
【过关测试】
一、单选题
1．函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，解得，
的开口向下，对称轴为，函数在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间为.故选：D
2．已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，因此，，，，，，即，故选：C．
3．已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，时，；当时，；因为函数是定义域为的奇函数，所以，时，；时，；时，.
所以，的解集为.故选：B
4．已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，
因此函数在上的取值集合包含，当时，函数在上的值为常数，不符合要求，当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，于是得，函数在上单调递增，取值集合是，则，解得，
所以实数a的取值范围是.故选：A
5．已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对任意的，存在，使得，则，
因为当时，单调递增，所以，
又因为当时，单调递减，所以，
所以由解得，故选：A.
6．函数的反函数为，则的根有（ ）个
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，则.①当时，，令，解得；
②当时，，令，解得.因此，方程的根有个.
故选：D.
7．设满足，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，令，则，即，因为函数在上单调递增，又满足，所以，所以，即，
所以.故选：D.
8．若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，由题意得：在上恒成立，且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：函数在上单调递减，则有，解得：.故选：A
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． 的定义域为B．为奇函数
C．在定义域上是增函数D．的值域为
【答案】ABC
【解析】的定义域为，又，所以为奇函数，故AB正确；
，因为 在为增函数，由复合函数的单调性可知在定义域上单调递增，故C正确.
因为函数定义域为.时， 故
的值域为，故D错误.故选：ABC.
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若函数是奇函数，则
B．函数的值域为，则实数的取值范围是
C．函数与的图象关于对称
D．函数与函数为同一函数
【答案】BC
【解析】是奇函数，且在原点有定义，则，比如是奇函数，则无意义，故A错误，的值域为,则能够取遍所有的正数，当满足题意，当 ，则 且 ，故 ，因此 ，故B正确，
函数与互为反函数，故其图象关于对称，C正确，
由于函数，，两函数的对应关系不一样，故不是同一函数，D错误，
故选：BC
11．已知函数，函数满足．则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数a、b满足，则
D．若函数与图象的交点为，则
【答案】ABC
【解析】对于A选项，由函数，函数定义域为R，则
所以
，所以，故A选项正确.
对于B选项，因为满足，的图象关于点成中心对称.故B选项正确.
对于C选项，设，则，则为奇函数，由函数单调性的性质可知，当时，单调递增，所以在R上为增函数，则也为R上的增函数，因为实数a、b满足，且，则，即，所以，即.故C选项正确.
对于D选项，由，，的图象关于点成中心对称，的图象也关于点成中心对称，令，则，因为函数与图象的交点为，不妨设，由对称性可知，，所以，则.故D选项错误.故选：ABC
12．已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】由题意得，且，则，故，故A错误，
对于B，，而，故，故B错误，对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确，故选：CD
三、填空题
13．已知函数，则函数的定义域为_________
【答案】
【解析】因为，所以，解得，即的定义域为，
对于，则，解得，
所以的定义域为.故答案为：
14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】在上单调递增，，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．己知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】因为函数是偶函数，关于轴对称，向左平移1个单位后得函数，函数关于直线对称，因为函数在区间内单调递减，，所以函数在区间单调递增，且,不等式等价于，即，解得：或；
或，即 ，解集为；综上可知，不等式的解集为.
故答案为：
16．已知，，若，，使得，则实数的最大值是______.
【答案】
【解析】，，使得，；
在上单调递减，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，；
，解得：，则实数的最大值为.故答案为：.
四、解答题
17．已知.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并加以说明；
(3)求使的的取值范围.
【解析】（1）由题意得函数要有意义则：
故的定义域为.
（2）为奇函数，理由如下：由（1）知的定义域关于原点对称，
由,
所以故函数是奇函数．
（3）由>0可得，所以，
即解得，故求使>0的的取值范围是(0,1).
18．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）
由，即
计算可得或或
故解集为：或；
（2）令，则，原式可化为在上恒成立，
记函数在上单调递增，
，故的取值范围是.
19．设函数.
(1)解方程；
(2)设不等式的解集为，求函数的值域.
【解析】（1）
，
由得，解得或，
所以或.
所以方程的解是或；
（2）由得，即，解得，，
，
令，所以，
则为开口向上对称轴为的抛物线，
因为，所以，
所以函数的值域为.
20．已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由的值域为R，可得能取内的一切值，
故函数的图象与x轴有公共点，
所以，解得或．
故实数m的取值范围为．
（2）因为在内单调递增，
所以在内单调递减且恒正，
所以，解得．
故实数m的取值范围为．
21．已知函数是的反函数，当时，函数，（）的最小值为．
（1）求的函数表达式；
（2）是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在求出、的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为函数是的反函数，
所以，
则，
令，则,，
所以，对称轴为，
①当时，的最小值为；
②当时，在,上单调递增，所以的最小值；
③当时，在,上单调递减，所以的最小值为．
综上所述，；
（2）当时， ，
故当时，为单调递减函数，
所以在,上的值域为,，
则，
两式相减可得，，
因为，所以，
将代入方程中求解，无实数根，
故不存在实数，使得函数的定义域为，，值域为，．
22．已知函数，.
(1)如果，求函数的值域；
(2)求函数的最大值；
(3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），令，，，
则．
当时，取得最大值为，当时，函数取得最小值为，
的值域为．
（2）函数，
，
当时，，．
当时，，．
即
当时，最大值为1；当时，．
综上：当时，取到最大值为1．
（3）对任意，不等式恒成立，
即．
，，对一切恒成立．
当时，．
当，，在上是减函数，，．
综上所述，的取值范围为．
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，