（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练08函数的应用（一）（2份，原卷版+解析版）

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重点题型一：二次函数模型的应用
重点题型二：分段函数模型的应用
重点题型三：利用对钩函数求最值或值域
重点题型四：恒成立（能成立）问题
重点题型五：双变量问题
重点题型六：新定义问题
重点题型一：二次函数模型的应用
典型例题
例题1．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为平方米，当 为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15米；
(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.
（1）设篱笆的一面AB的长为 x 米，则，由题意得，，
解得，，，，
所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）由题意得，
时， S 取得最大值，此时，，
所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
例题2．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【答案】(1)400吨；(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当 ，即 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
同类题型演练
1．重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合函数，且时，；时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2），销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.
【详解】（1）因为 ，所以，
由题意得：，解得：，所以函数的解析式为：，
（2）由题意知：利润为，
因为，所以当时，取得最大值，最大值是.
所以利润与销售单价之间的关系式为，
销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.
2．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
【详解】解:设可获得的总利润为万元，则
∵在上是增函数，
∴当时，.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
重点题型二：分段函数模型的应用
典型例题
例题1．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
【答案】(1)
(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元
（1）由题意知，当时，，所以a=300.
当时，；
当时，.
所以，
（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；
当时，，
当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.
因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.
例题2．某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，万元，当年产量不少于台时，万元．若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)；
(2)当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元．
(1)当，时，
；
当，时，
；
综上所述：.
(2)当，时，，则当时，的最大值为；
当，时，
（当且仅当，即时等号成立）；当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元．
例题3．某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映；调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为（件），月利润为（元）.
(1)直接写出与之间的函数关系式；
(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
【答案】(1)
(2)销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；
(3)将售价控制在55元到70元之间（含55元和70 元）
（1）由题意，每件最多涨元，最多降价元，故.
当时，，
当时，，
所以y与x之间的函数关系式.
（2）当时，，
因为，，所以当时，取得最大值，最大值为6250；
当时，，
因为，，所以当时，取得最大值，最大值为6125，
综上，当时，月利润最大，最大利润为6250元，
即当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；
（3）分析可得：
当时，，即，解得；
当时，由，即，解得；
综上可得，当时，得
所以将售价控制在55元到70元之间（含55元和70 元）才能使每月利润不少于6000元.
同类题型演练
1．今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元
(1)当时，；
当时，；
∴；
(2)若，，当时，万元；
若，，
当且仅当即时，万元.
答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.
2．某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业，经过市场调查，加工某农品需投入固定成本2万元，每加工万千克该农产品，需另投入成本万元，且.已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.
(1)求加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系；
(2)当加工量小于6万千克时，求加工后的农产品利润的最大值.
【答案】(1)；(2)万元.
(1)当时，，当时，，故加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系为 ；
(2)当加工量小于6万千克时，，当时，农产品利润取得最大值万元.
3．2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？
【答案】(1)；(2)万件时最大利润为18万元.
(1)由题设，，所以.
(2)当时，故时最大利润为12万元；
当时，当且仅当时等号成立，此时最大利润为18万元；
综上，当万件时最大利润为18万元.
重点题型三：利用对钩函数求最值或值域
典型例题
例题1．已知，则的最大值是_________
【错解】
，
故答案为：.
【正解】
【详解】，令，在上单调递增，当时，原式
例题2．函数的最小值为______.
【错解】4
【详解】，所以的最小值为4，
故答案为：4
【正解】
【详解】，令，原式等于（）在上单调递增，所以当时，
重点题型四：恒成立（能成立）问题
典型例题
例题1．已知幂函数的定义域为全体实数.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
（1）∵是幂函数，∴，∴或2.
当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴.
（2）即，要使此不等式在上恒成立，
令,只需使函数在上的最小值大于0.
∵图象的对称轴为，故在上单调递减，
∴，由，得，∴实数k的取值范围是.
例题2．已知函数.
(1)当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)增区间为、，减区间为(2)或
(1)解：当时，，
所以，函数的增区间为、，减区间为.
(2)解：因为存在，使得，
等价于存在，使得成立，即，
所以，或在上有解，
即或在上有解，
所以，或，.
因为、在上均为增函数，则在上为增函数，
所以，，当时，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，则.综上所述，或.
同类题型演练
1．已知函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)偶函数(2)
(1)函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数；
(2)因为在上单调递增， 故函数在上单调递减，所以，
因为当时，恒成立转化为，即可，所以，
则实数的取值范围为．
重点题型五：双变量问题
典型例题
例题1．已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出，的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；(2).
（1）选择①.由在上是偶函数，
得，且，所以a＝2，b＝0.所以.
选择②.当时，在上单调递增，则，解得，
所以.为奇函数.
证明如下：的定义域为R.因为，所以为奇函数.
（2）当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；当x＝0时，，所以的值域为.
因为在上单调递减，所以函数的值域是.
因为对任意的，总存在，使得成立，所以，
所以,解得.所以实数c的取值范围是.
例题2．已知函数的定义域为，且，，当且时恒成立．
(1)判断在上的单调性；
(2)解不等式；
(3)若对于所有，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增(2)(3)
（1），，则当时，，
；
当时，；当时，；
在上单调递增.
（2）由（1）知：，解得：，
的解集为.
（3）由（1）知：，对于任意恒成立；
令，
当时，不成立，不合题意；当时，在上单调递减，
，解得：（舍）或；
当时，在上单调递增，
，解得：或（舍）；
综上所述：的取值范围为.
例题3．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的范围．
【答案】(1)的增区间，减区间是，值域是．(2)．
(1)由题意在上递减，在上递增，，又，，
所以的增区间，减区间是，值域是．
(2)由题意知在上递减，，所以，
时，，
对任意，总存在，使得成立，则，
所以，所以．
例题4．已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．
(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．(2)
（1）．设，，则，．
由已知性质，得当，即时，单调递减，所以的单调递减区间为；
当，即时，单调递增，所以的单调递增区间为．
由，，，得的值域为．
（2）因为在上单调递减，所以．
由题意，得的值域是的值域的子集，所以，所以．
同类题型演练
1．已知函数．
(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；
(2)令，若对，，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：设，，且，
则，
当时，∴，，
∴，∴，即，∴函数在上单调递减．
当时，∴，，∴，∴，即，
∴函数在上单调递增．
综上，函数在上单调递减，在上单调递增．
(2)解：由题意知，
令，，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，∵函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递减，
当时，取得最大值，，
当时，取得最小值，，
所以，，
又∵对，，都有恒成立，
∴，即，解得,
又∵，∴k的取值范围是．
2．已知函数.
(1)求证：函数在区间上是单调增函数；
(2)若对，满足不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2).
（1）由，令，则，
所以，故在区间上是单调增函数.
（2）令，则问题转化为在，上有，
由在上递增，故，
当时，在上递增，则，
所以，可得.
当时，则，符合题设；
当时，在上递减，则，
所以，可得.
综上，.
3．已知函数满足．
(1)求的解析式，并求在上的值域；
(2)若对，且，都有成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)，(2)
（1）因为①，
所以②，联立①②解得.
当时为增函数，时为减函数，
因为所以
（2）对，，，都有，
不妨设，则由
恒成立，也即可得函数在区间（2，4）递增；
当，即时，满足题意；
当，即时，为两个在上单调递增函数的和，
则可得在单调递增，从而满足在（2，4）递增，符合题意；
当，即时，，其在递减，在递增，
若使在（2，4）递增，则只需；
综上可得：
4．已知函数f (x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a．
(1)若函数y＝f (x)在区间[－1，0]上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，使得f (x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)[－5，0](2)
(1)因为函数f (x)的对称轴是x＝2，所以y＝f (x)在区间[－1，0]上是减函数，
因为函数y＝f (x)在区间[－1，0]上存在零点，则必有即解得－5≤a≤0．
故所求实数a的取值范围[－5，0]．
(2)若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，
使得f (x1)＝g(x2)成立，只需当x∈[-1，3]时函数y＝f (x)的函数值组成的集合为函数y＝g(x)的函数值组成的集合的子集．f (x)＝x2－4x＋a在区间x∈[-1，3]的函数值组成的集合为[a－4，a＋5]，
①当a＝0时，g(x)＝5为常数，不符合题意，舍去；
②当a>0时，g(x)在区间[-1，3]的值域为[5－2a，5+2a]，所以， 解得．
③当am>0
∵∴
由“美好区间”的定义可知：
1）当时，在（0，）上为减函数，
故有，即，此时实数m，n的值不存在
2）当时，在上为增函数.
故有，即由此可得m，n是方程的根.
解得，而，所以此时成立
综上所述，函数存在美好区间，其中
(2)设[m，n]是的美好区间，则或，.
故函数在[m，n]上单调递增.
由[m，n]是函数的“美好区间”，则，
故m，n是方程，即的同号的相异实数根.
由，可知同号，只须，
即或时，函数有“美好区间”[m，n].
此时
由或得
故当即时，有最大值.点评，在例题1,2中，错解主要使用基本不等式，基本不等式使用时一定要满足一正，二定，三相等，例题1,2中都不满足“三相等”这个条件，从而造成错解，此时应改用对钩函数解题.