专题08：函数零点重难考点突破—2021-2022学年高一数学上学期寒假复习重难点突破（人教A版2019必修第一册）

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1．函数的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【详解】
解：令，
则，
所以方程无解，
即函数的零点个数是0个.
故选：A.
2．函数的零点个数为（ ）个
A．2B．1C．0D．3
【答案】A
【详解】
由，
由，
所以函数的零点个数为2，
故选：A.
3．已知，则函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．、或
【答案】A
【详解】
函数的零点个数，等于函数和函数的图象的交点个数，如下图所示：
由图可知，当时，函数和函数的图象的交点个数为，
故时，函数的零点个数为．
故选：A．
4．关于的方程的实数根情况，下列说法正确的有（ ）
A．当时，方程有两个不等的实数根
B．当时，方程没有实数根
C．，方程有且只有三个不等的实数根
D．，方程没有4个不等实数根
【答案】ABC
【详解】
由可得，
则方程的实数根情况等价于和的图象交点情况，
画出函数图象如下：
观察图象可得当时，与有两个不同的交点，故方程有两个不等的实数根，故A正确；
当时，与没有交点，故方程没有实数根，故B正确；
存在时，与有三个不同的交点，故方程有三个不等的实数根，故C正确；
当时，与有四个不同的交点，故方程有四个不等的实数根，故D错误.
故选：ABC.
5．已知函数和在上的图象如下，则下列结论正确的是（ ）
A．方程有且只有6个根
B．方程有且只有3个根
C．方程有且只有5个根
D．方程有且只有4个根
【答案】ACD
【详解】
对于A，令，结合图象可得有三个不同的解，
从图象上看有两个不同的解，有两个不同的解，有两个不同的解，故有6个不同解，故A正确；
对于B，令，结合图象可得有两个不同的解，
从图象上看的有一个解，有三个不同的解，故有4个不同解，故B错误；
对于C，令，结合图象可得有三个不同的解，
从图象上看有一个解，有三个不同的解，有一个解，故有5个不同解，故C正确；
对于D，令，结合图象可得有两个不同的解，
从图象上看有两个不同的解，有两个不同的解，故有4个不同解，故D正确.
故选：ACD.
6．函数的零点个数为________个.
【答案】
【详解】
令，即，即，
令，
把函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数，
画出函数的图象，如图所示，
结合图象，可得两函数的图象共有2个交点，
即函数的零点个数为.
故答案为：.
7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为______．
【答案】10
【详解】
函数的零点即方程的根，亦即或的根，
画出函数y=f(x)的图象和直线，如图所示，
观察图象得：函数y=f(x)的图象与x轴，直线各有5个交点，则方程有5个根，方程也有5个根，
所以函数的零点有10个.
故答案为：10
8．已知函数，则函数的不同零点的个数为______．
【答案】
【详解】
设，由可得或，解得或，
同理，由可解得或，由可解得或，
所以函数的不同零点的个数为．
故答案为：．
考点二：求函数的零点所在区间或根据函数零点所在区间求参数范围
9．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
函数的定义域为，
且函数在上单调递减；在上单调递减，
所以函数为定义在上的连续减函数，
又当时，，
当时，，
两函数值异号，
所以函数的零点所在区间是，
故选：B.
10．函数零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意，函数在R上单调递增，
且，，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：A.
11．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
∵和在上是增函数，
∴在上是增函数，
∴只需即可，即，解得.
故选：D.
12．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
函数f(x)定义域是，
因函数，在上都是单调递增的，而，
当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点，
于是得当时，函数在上连续且单调，
因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
13．已知函数的零点在区间上，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】
由题意，都在为增函数
故函数在为增函数，
又，，
即，
则函数的零点在区间上，
即2
故选：B
14．已知幂函数在上为增函数，则函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：由幂函数性质得，解得，
所以，
由于，，，，，
所以根据零点的存在性定理得的零点所在的区间为
故选：C
15．函数在上存在零点，则m的取值范围是______.
【答案】
【详解】
因为在上存在零点，
所以，即
解得，
故答案为：
考点三：根据函数零点个数求参数或参数范围
16．若直线y=2a与函数的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
画出两个函数在同一坐标系下的图象，
若两个函数图象有且只有一个公共点，
则或，或.
故选：D．
17．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
当时，，
所以函数在上单调递减.
，.
令，得.
作出函数、的大致图象如图所示，观察可知，.
故选：D
18．已知函数若的图象与轴恰好有2个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：令，得或．
由，得，
结合的图象可得时，的图象与轴恰好有2个交点．
故选：D．
19．已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（ ）
A．1B．-1C．0D．-2
【答案】D
【详解】
解：因为，
则，所以函数为偶函数，
又函数在为增函数，
所以函数在为增函数，在为减函数，
所以，
因为函数有唯一的零点，
则只能，解得.
故选：D.
20．已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意画图如下：
关于的函数有6个不同的零点，令，则，则关于的二次函数需要有两个零点,根据上图，则均需在范围内，各对应三个根，二次函数开口向上，所以，化简解得
故选：A.
21．已知函数，若存在实数a，b，c，d满足，其中，以下说法正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】
作函数的图像：
由图可知：，
，，，；
又，，且，，
设，，
根据双勾函数的性质，在上单调递增，，即；
由得，得或，
∴，，
，关于对称，，即，
∴，
，
当时，；当时，，
﹒
故选：ABC．
22．函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
函数的图象如下图所示：
若，且互不相等，
不妨设，
则，即，
所以，
又，，
所以，
又由变形得，解得，
所以，
故选：C.
23．已知函数，．
（1）______．
（2）若方程有4个实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】-2
【详解】
(1)依题意，，则，
所以；
(2)函数的值域是，令，则方程在有两个不等实根，
方程化为，因此，方程有4个实数根，等价于方程在有两个不等实根，
即函数的图象与直线有两个不同的公共点，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，而，如图，
观察图象得，当时，函数与直线有两个不同公共点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：-2；
24．已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
因为函数有两个零点，
所以和的图象有两个不同的交点，
作出和的图象（如图所示），
由图象，得：.
故答案为：.
25．已知f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有三个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【详解】
当时，，；当时，，，故，图象如图所示，令，，
故，，
，
当时，，时，，当时，只有一个解，故此时函数g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有一个零点；
当时，令得或，当即时，由图象可知，有两解，又时有一解，故g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有三个零点；
当时，，令得或2，此时对应图象只有两解，故g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有两个零点；
当时，令得，此时g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有1个零点；
当时，令得或，结合图象可知，此时g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有两个零点，
综上所述，当时，g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有三个零点.
故答案为：
考点四：用二分法求函数零点的近似值
26．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
【答案】(0，0.5) f(0.25)
【详解】
二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由f(0)＜0，f(0.5)＞0，知x0∈(0，0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0更准确的位置.
故答案为：(0，0.5)；f(0.25)．
27．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次1.75B．6次1.76C．7次1.75D．7次1.76
【答案】D
【详解】
由表格数据，零点区间变化如下：，此时区间长度小于，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取．
故选：D．
28．已知函数的—个零点附近的函数值的参考数据如表：
由二分法求得方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）
A．0.625B．C．0.5625D．0.066
【答案】C
【详解】
解：设方程的近似解为，
因为，，所以，
因为，
所以方程的近似解可取为0.5625.
故选：C．
29．用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【详解】
解：开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过次操作后，区间长度变为，
∵用二分法求函数在区间内零点的近似值，
要求误差不超过0.01，
∴，解得：，
所需二分区间的次数最少为7.
故选：C．
30．以下每个图象表示的函数都有零点，但能用二分法求函数零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】
当函数的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解．
选项A、B、D的图象均在x轴的两侧，可用二分法求解，
只有选项C的图象在x轴的同一侧，不能用二分法求解．
故选：ABD．
考点五：利用函数零点比较大小或求函数零点的和
31．已知实数满足：，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
因为，
所以，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：，
故选：D
32．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：令，则，得，即，
令，则，得，即，
因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，
综上，，
故选：B
33．已知函数的零点分别为a，b，则（ ）
A．a+b=-1B．a+b=0C．a+b=1D．a+b=2
【答案】A
【详解】
由已知得的图象与直线y=-x-1的交点横坐标分别为a，b，又的图象关于直线y=x对称，且y=-x-1与y=x交点横坐标为，故a+b=-1.
故选：A.
34．已知函数的两个零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】
解：令，则，
令，，
则函数的两个零点为，即为函数，交点的横坐标，作图如下图所示：
故，故A正确；
根据题意得，即，
因为，所以，
故，即，
所以，即，
所以，故B正确；
因为，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
又因，所以，故C错误；
，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.
故选：ABD.
35．设函数是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为___________.
【答案】
【详解】
因为，所以，
所以是一个周期为的周期函数，且关于直线对称，
令，所以，
所以关于直线对称，
在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：
由图象可知：的图象共有个交点，
其中个点关于对称，还有一个点横坐标为，
所以交点的横坐标之和为，
所以在上所有零点之和为，
故答案为：.
考点六：函数零点的综合应用
36．已知函数，函数．
（1）在同一直角坐标系中画出、的图象；
（2），用表示、中的较小者，记为．
①用解析法表示函数，并写出函数的值域；
②讨论关于的方程的根的个数．（直接写出结论）
【答案】（1）图象见解析（2）①，值域为；②答案见解析.
（1）在同一直角坐标系中作出函数、的图象如下图所示：
（2）
①由（1）中的图象可得，作出函数的图象如下图所示：
所以函数的值域为；
②由①中的图象可得出以下结论：
当时，方程无实根；
当或时，方程只有一个实根；
当时，方程有两个实根.
37．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数，的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）4；（3）或
【详解】
解：（1），用代替得，
则，
解方程得：，.
（2）对任意恒成立，
令，，因为令在单调递增，故
则对恒成立
当时， 故，即
（3）由题：方程有且只有一个根
即有且只有一个根，
令，因为在上单调递增，且
故方程（*式）有且只有一个正根
①当时，方程有唯一根，合题
②当时，方程变形为，解得两根为，
因为（*式）有且只有一个正根，故或，解得或
综上：的取值范围为或
1
2
1.5
1.75
1.7656
1.7578
1.7617
－6
3
－2.625
－0.14063
0.035181
－0.05304
－0.0088
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
0.066
0.215
0.512
1.099