（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练专题11 指数运算与对数运算（2份，原卷版+解析版）

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1、n次方根与分数指数幂
（1）方根
如果，那么叫做的次方根，其中，且．
= 1 \* GB3 ①当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的方根是负数．这时，的方根用符号表示．
= 2 \* GB3 ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成（）．
负数没有偶次方根．
0的任何次方根都是0，记作．
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
关于根式有下面两个等式：
；
．
2、分数指数幂
（1）正分数指数幂
（，，，）．
0的正分数指数幂等于0．
（2）负分数指数幂
（，，，）．
0的负分数指数幂没有意义．
（3）有理数指数幂的运算性质
= 1 \* GB3 ①（，，）；
= 2 \* GB3 ②（，，）；
= 3 \* GB3 ③（，，）．
3、无理数指数幂及其运算性质
（1）无理数指数幂的概念
当是无理数时，是无理数指数幂．我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是．所以无理数指数幂（，是无理数）是一个确定的数．
（2）实数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质．
= 1 \* GB3 ①（，，）；
= 2 \* GB3 ②（，，）；
= 3 \* GB3 ③（，，）．
4、对数的概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作．
其中叫做对数的底数，叫做真数．
当，且时，．
5、两个重要的对数
（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把记为．
（2）自然对数：以（是无理数，…）为底的对数叫做自然对数，并把记作．
6、关于对数的几个结论
（1）负数和0没有对数；
（2）；
（3）．
7、对数的运算
如果，且，，，那么
（1）；
（2）；
（3）（）．
8、换底公式
（，且，，，）．
【典型例题】
例1．已知lg189＝a，18b＝5，则lg3645＝_____（用a，b表示）．
【答案】
【解析】∵lg189＝a，b＝lg185，∴a+b＝lg189+lg185＝lg18（9×5）＝lg1845，
lg1836＝lg18（2×18）＝1+lg182＝＝2﹣lg189＝2﹣a；
∴lg3645＝＝．故答案为：．
例2．已知，，则___________.
【答案】2
【解析】因为，，所以，，
所以.故答案为：2.
例3．（1）计算
（2）化简：.
（3）已知，求的值.
【解析】(1)
(2)
(3)因为，两边同时平方可得：，
再将两边同时平方可得：，所以.
例4．计算下列各式
(1)；
(2)已知，求下列各式的值：
①；
②．
【解析】（1）原式；
（2）①∵，∴，
又由得，∴，所以；
②（法一）
，
（法二）
，
而，∴，
又由得，∴，所以.
例5．计算：
(1)；
(2).
【解析】（1）原式；
（2）原式.
例6．求下列各式的值.
(1)； (2).
【解析】（1）原式；
（2）原式.
例7．已知、、均为正实数.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）因为，所以，即，
再平方得，故；
（2）对同取的底数可得，
即，
，所以.
【过关测试】
一、单选题
1．若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为，则，由于，，可解得，所以
故选：B.
2．设，则下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，令，则，，显然A错误；
对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.故选：D.
3．一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设设这个39位数为，这个数的64次方根为，
所以，两边同时取以10为底的对数可得：，所以，
因为，所以，
也即，因为，，
所以，所以，故选：C.
4．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，，所以．故选：D.
5．计算：（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】；故选：B
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由换底公式得：，，其中，，故
故选：C
7．若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以且，
所以且，即，所以
当且仅当时，即时等号成立.故选：A
8．若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设，，即，
又，且，所以.故选：A.
二、多选题
9．下列等式不成立的是（ ）
A．（，且）B．（，且）
C．D．
【答案】AD
【解析】对A：∵（，且），A不成立；对B：（，且），B成立；对C：可得，则，∴，C成立；对D：∵，D不成立；故选：AD.
10．已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】，；，；
故A正确，B错误；
；，，
故C正确，D错误．故选：AC．
11．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由题设，，即，A正确；
，即，B错误，D正确；
由，则，C正确；故选：ACD
12．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】依题意，所以，
所以，A选项错误.，B选项正确.
，C选项正确.，D选项正确.故选：BCD
三、填空题
13．若，则___________.
【答案】
【解析】由对数运算的定义，有∵，∴，∴，
∴.故答案为：.
14．______.
【答案】10
【解析】
.故答案为：.
15．已知，若，则___________.
【答案】8
【解析】由，且所以是方程的两根，
解得或，又，所以，即，又
从而，且，则，．所以.故答案为：8.
16．已知，则＝_____.
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，∴.故答案为：.
四、解答题
17．计算：
(1) ； (2).
【解析】（1）
（2）.
18．化简下列各式：
(1)；； (2)若.求.
【解析】（1）
.
（2），则，所以.
19．计算求解
(1)
(2)已知，，求的值．
【解析】(1).
(2)因，，所以.
20．已知a>0且a≠1，M>0，N>0.
(1)举出一个反例说明不成立；
(2)证明：.
【解析】（1）假设，
则，，.
因为，
所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）
（2）令，则
，，所以.
21．我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍.
(1)求声压级S关于声压P的函数解析式；
(2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S