（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型16 指数与对数运算的常考点方法总结（2份，原卷版+解析版）

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1.幂的有关概念
(1)正分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。
(2)负分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2.有理数指数幂的性质
(1)(a>0，r，s∈Q)；
(2)(a>0，r，s∈Q)；
(3)(a>0，b>0，r∈Q)。
3.对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)；
(2)；
(3)(n∈R)；
(4)(m≠0)。
4.对数的性质
(1)(a>0且a≠1，N>0)；
(2)(a>0且a≠1)。
3.对数的重要公式
(1)换底公式：(b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0)；
(2)，推广：。
方法指导
1.指数幂的运算遵循的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数；
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
2.对数式化简或求值的两种思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并；
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算；
题型探究一
探究一：分数指数幂与根式的互化
下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解。
【答案】B
【详解】解：对A：，故选项A错误；对B：，故选项B正确；
对C：，不能化简为，故选项C错误；对D：因为，所以，故选项D错误.故选：B.
【变式练习】
1．已知，则化为（ ）
A．B．C．mD．1
【答案】C
【详解】，.故选：C．
2．若有意义，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】要使 有意义，需使，解得，表示为区间形式即.
故选C.
探究二：指数幂的化简、求值
若，则等于（ ）
A．B．C．D．
思路分析：利用立方和公式化简所求代数式，由可得出，由此可求得结果
【答案】C
【详解】，，
因此，.故选：C.
【变式练习】
1．已知，，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】．故选：B
2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A．B．
C．1D．
【答案】B
【详解】x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝＝.故选B.
探究三：指数式和对数式的互化
设，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解。
【答案】B
【详解】由可得，所以，所以有，故选：B.
【变式练习】
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【详解】，故正确；，故正确；
，，故不正确；，故正确．故选：C．
2．将转化为对数形式，正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
【答案】C
【详解】根据对数的定义和．故选：C．
探究四：对数的运算
若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得。
【答案】D
【详解】因为，于是得，，又因为，则有，即，因此，，而，解得，所以.故选：D
【变式练习】
1．设，，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.,即
又即故选B.
2．已知，则的值为（ ）
A．1B．4C．1或4D．或4
【答案】B
【详解】依题意有，，设，，
即，解得或．当时，，此时不满足，舍去，所以．
故选B．
题型突破训练
一、单选题
1．设则的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
2．若，则( )
A．B．1C．D．
【答案】C
【详解】依题意，.故选C.
3．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，所以，
又，.故选：B.
4．设，且，则（ ）
A．B．10C．20D．100
【答案】A
【详解】由，可得，，由换底公式得，，
所以，又因为，可得．故选：A.
5．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【详解】，所以，则，
所以，，解得.故选：C.
6．已知55