高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)16指数与对数运算的常考点方法总结(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)16指数与对数运算的常考点方法总结(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了幂的有关概念，有理数指数幂的性质，对数的运算法则，对数的性质等内容，欢迎下载使用。

1.幂的有关概念
(1)正分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。
(2)负分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2.有理数指数幂的性质
(1)(a>0，r，s∈Q)；
(2)(a>0，r，s∈Q)；
(3)(a>0，b>0，r∈Q)。
3.对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)；
(2)；
(3)(n∈R)；
(4)(m≠0)。
4.对数的性质
(1)(a>0且a≠1，N>0)；
(2)(a>0且a≠1)。
3.对数的重要公式
(1)换底公式：(b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0)；
(2)，推广：。
方法指导
1.指数幂的运算遵循的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数；
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
2.对数式化简或求值的两种思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并；
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算；
题型探究一
探究一：分数指数幂与根式的互化
下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解。
【变式练习】
1．已知，则化为（ ）
A．B．C．mD．1
2．若有意义，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
探究二：指数幂的化简、求值
若，则等于（ ）
A．B．C．D．
思路分析：利用立方和公式化简所求代数式，由可得出，由此可求得结果
【变式练习】
1．已知，，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A．B．
C．1D．
探究三：指数式和对数式的互化
设，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解。
【变式练习】
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
2．将转化为对数形式，正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
探究四：对数的运算
若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得。
【变式练习】
1．设，，则
A．B．
C．D．
2．已知，则的值为（ ）
A．1B．4C．1或4D．或4
题型突破训练
一、单选题
1．设则的大小关系是
A．B．C．D．
2．若，则( )
A．B．1C．D．
3．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，且，则（ ）
A．B．10C．20D．100
5．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
6．已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a7．已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033B．1053
C．1073D．1093
二、多选题
9．已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．下列运算法则正确的是（ ）
A．
B．
C．（且）
D．
12．设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．计算得________．
14．已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．
15．已知，，试用、表示________．
16．计算：________.
四、解答题
17．（1）化简：；
（2）计算：．
18．化简求值：
（1）；
（2）．
19．（1）化简：（a＞0，b＞0）；
（2）先化简，再求值．已知，，求的值．
20．设，，均为正数，且.
（1）试求，，之间的关系.
（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.
（3）比较，，的大小.
常考题型16 指数与对数运算的常考点方法总结
必备知识
1.幂的有关概念
(1)正分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。
(2)负分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2.有理数指数幂的性质
(1)(a>0，r，s∈Q)；
(2)(a>0，r，s∈Q)；
(3)(a>0，b>0，r∈Q)。
3.对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)；
(2)；
(3)(n∈R)；
(4)(m≠0)。
4.对数的性质
(1)(a>0且a≠1，N>0)；
(2)(a>0且a≠1)。
3.对数的重要公式
(1)换底公式：(b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0)；
(2)，推广：。
方法指导
1.指数幂的运算遵循的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数；
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
2.对数式化简或求值的两种思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并；
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算；
题型探究一
探究一：分数指数幂与根式的互化
下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解。
答案：B
【详解】解：对A：，故选项A错误；
对B：，故选项B正确；
对C：，不能化简为，故选项C错误；
对D：因为，所以，故选项D错误.
故选：B.
【变式练习】
1．已知，则化为（ ）
A．B．C．mD．1
答案：C
【详解】，.
故选：C．
2．若有意义，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】要使 有意义，需使，解得，表示为区间形式即.
故选C.
探究二：指数幂的化简、求值
若，则等于（ ）
A．B．C．D．
思路分析：利用立方和公式化简所求代数式，由可得出，由此可求得结果
答案：C
【详解】，，
因此，.
故选：C.
【变式练习】
1．已知，，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
答案：B
【详解】．故选：B
2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A．B．
C．1D．
答案：B
【详解】x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，
∴x9＝9x.∴x8＝9.
∴x＝＝.
故选B.
探究三：指数式和对数式的互化
设，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解。
答案：B
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【变式练习】
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
答案：C
【详解】，故正确；
，故正确；
，，故不正确；
，故正确．
故选：C．
2．将转化为对数形式，正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
答案：C
【详解】根据对数的定义和．故选：C．
探究四：对数的运算
若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得。
答案：D
【详解】因为，于是得，，
又因为，则有，即，因此，，而，解得，
所以.
故选：D
【变式练习】
1．设，，则
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
2．已知，则的值为（ ）
A．1B．4C．1或4D．或4
答案：B
【详解】依题意有，，设，，
即，解得或．
当时，，此时不满足，舍去，所以．
故选B．
题型突破训练
一、单选题
1．设则的大小关系是
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
2．若，则( )
A．B．1C．D．
答案：C
【详解】依题意，.故选C.
3．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】因为，
所以，
所以，
又，
.
故选：B.
4．设，且，则（ ）
A．B．10C．20D．100
答案：A
【详解】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得．
故选：A.
5．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
答案：C
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
6．已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a答案：A
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
7．已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【详解】试题分析：因为所以选C．
8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033B．1053
C．1073D．1093
答案：D
【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
二、多选题
9．已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
【详解】解：，
，因此A正确；
，因此B不正确；
，，解得，因此C不正确；
，因此D正确．
故选：AD．
10．在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：ABD
【详解】对于A，，左边，右边，故A错误；
对于B，，当时，，故B错误；
对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确；
对于D，，故D错误.
∴不正确的是A、B、D.
故选：ABD.
11．下列运算法则正确的是（ ）
A．
B．
C．（且）
D．
答案：CD
【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；
对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；
对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；
对于D选项，当，、时，，D选项正确.
故选：CD.
12．设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
【详解】解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD
三、填空题
13．计算得________．
答案：
【详解】.故答案为：
14．已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．
答案：
【详解】m=2，n=3，则原式=
=m•n-3=2×3-3=，故答案为．
15．已知，，试用、表示________．
答案：
【详解】，，
即，解得，．
故答案为：.
16．计算：________.
答案：4
【详解】，故答案为：
四、解答题
17．（1）化简：；
（2）计算：．
答案：（1）；（2）
【详解】（1）原式．
（2）原式．
18．化简求值：
（1）；
（2）．
答案：（1）37；（2）8.
【详解】原式=
,
（2）原式=
19．（1）化简：（a＞0，b＞0）；
（2）先化简，再求值．已知，，求的值．
答案：（1）a；（2）；.
【详解】（1）
；
（2），
因为，则，
则原式=
，
因为，所以原式=.
20．设，，均为正数，且.
（1）试求，，之间的关系.
（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.
（3）比较，，的大小.
答案：（1）；（2）3；（3）.
【详解】设，由，，均为正数知.
故取以为底的对数，可得.
∴，，.
（1），
∴，，之间的关系为.
（2）.
由，得，从而.
而，.
由知，
∴.
从而所求正整数为3.
（3）∵
.
而，，，，∴.
又∵，
而，，，，∴.
故有.