（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练专题09 二次函数根的分布问题（2份，原卷版+解析版）

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1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
2、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．
3、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：
（1）按二次项系数的符号分类，即；
（2）按判别式的符号分类，即；
（3）按方程的根、的大小分类，即．
【典型例题】
例1．已知关于的不等式.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集.
【解析】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得；
（2），
当a=0，不等式为，不等式的解集为；
当时，不等式化为，不等式的解集为
当时，方程的两个根分别为：.
当时，两根相等，故不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或，.
综上：当时，不等式的解集为当a=0，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
例2．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．
【解析】（1）当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，
∴不等式的解集为；
（2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，
当a＞0时，，的根为：，
①当时，，∴不等式解集为，
②当时，，不等式解集为∅，
③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，
综上，当时，不等式解集为，
当a时，不等式解集为，
当时，不等式解集为{x|x＜1}．．
例3．（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得和是方程的两个实根，
则解得.
（2）因为，所以，由题可知，则或，
由题意，方程有两个负根，即解得.综上，实数的取值范围是.
例4．已知关于x的方程．
(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？
(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？
(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？
【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，
故方程的一个根大于1，另一个根小于1，
则，解得，所以a的取值范围是．
（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，
作满足题意的二次函数的大致图象，
由图知， ，解得．所以a的取值范围是．
（3）方程的两个根都大于0，
则 ，解得，所以a的取值范围是．
例5．求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】设，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.
（1）设．
依题意有，即，得．
（2）设．
依题意有，解得．
（3）设．方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得
综上所述，得．
【过关测试】
一、单选题
1．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，即为，不符合题意；
故，即为，令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，故选：D
2．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，
，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
综上：实数m的取值范围为故选：D
3．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A．B．C．或1D．或4
【答案】A
【解析】关于x的方程有两个实数根，
，解得：，
关于x的方程有两个实数根，，，，
，即，解得：或舍去
故选：A.
4．已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，解得或，设两个为，，由两根为正根可得
，解得，综上知，.故两个根的倒数和为，
，，，故，，故两个根的倒数和的最小值是.故选：B
5．已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设方程的两根为，依题意有：，因都大于1，则，且，显然成立，由得，则有，解得，由解得：，于是得，所以的取值范围是.故选：A
6．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．故选：C
7．关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是（ ）
A．当时，解集为B．当时，解集为
C．当时，解集为或D．以上都不正确
【答案】C
【解析】由题意，为方程的两个根，代入方程解得：，
于是关于的不等式，即为
令，对应的二次函数开口向上
当时，解集为或当时，解集为当时，解集为或
故选：C
8．若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【解析】由题意得，原不等式可转化为.当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则；当时，解得，此时解集中的整数为0，-1，则.当时，不符合题意.故实数的取值范围是或，故选D．
二、多选题
9．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】ABD
【解析】解不等式，得或解方程，得
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，依题意，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，则需满足：，即；
所以k的取值范围为.故选：ABD.
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于x的不等式的解集可以是
B．关于x的不等式的解集可以是
C．函数在上可以有两个零点
D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
【答案】BCD
【解析】若不等式的解集是，则且，得，
而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；
取，，此时不等式的解集为，故B正确；
取，，则由，得或3，故C正确；
若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得，
若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，
且，即关于x的方程有一个正根和一个负根．
因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确．
故选：BCD．
11．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m1}，故D正确.故选：BCD.
12．已知，关于x的一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．13B．14C．15D．17
【答案】ABC
【解析】设二次函数f(x)=x2-8x+a，开口向上，其对称轴为x=4，因为一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数∴3个整数解必然是3，4，5，∴根据对称性，满足f（2）>0且f（3）≤0，故，且，即12