（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练专题08 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值（2份，原卷版+解析版）

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1.单调性与最大（小）值
（1）增函数
设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
（2）减函数
设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
（3）单调性、单调区间、单调函数
如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.
（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：
= 1 \* GB3 ①设值：设，且 ；
= 2 \* GB3 ②作差： ；
= 3 \* GB3 ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底；
= 4 \* GB3 ④判断符号，得出函数的单调性.
（5）函数的最大值与最小值
= 1 \* GB3 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称M是函数的最大值.
= 2 \* GB3 ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称是函数的最小值.
2.奇偶性
（1）偶函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
关于偶函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.
（2）奇函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
关于奇函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；
= 4 \* GB3 ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.
【典型例题】
例1．函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
例2．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
例3．已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．
(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．
例4．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
例5．已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值：
(2)证明在R上为增函数；
(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．
【过关测试】
一、单选题
1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
3．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
8．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
10．已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数为奇函数
D．是函数图象的对称轴
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则在上单调递减B．若，无最大值，也无最小值
C．若，则D．若，则
12．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
三、填空题
13．已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
14．对于三个数字a，b，c，用表示这三个数中最小数，例如， ．如果，则的取值范围是_________.
15．若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．
16．函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
四、解答题
17．已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）