（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练专题07 函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数（2份，原卷版+解析版）

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1、函数的概念
设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作
,.
其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集.
2、区间：
3、函数的三要素
（1）定义域；
（2）对应关系；
（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.
4、函数的相等
如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.
5、函数的表示方法
（1）解析法
（2）图象法
说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域.
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.
（3）列表法
6、分段函数
（1）分段函数的概念
有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如
（1） ， （2）.
说明： = 1 \* GB3 ①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
= 2 \* GB3 ②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.
= 3 \* GB3 ③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.
= 4 \* GB3 ④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.
（2）分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.
【典型例题】
例1．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.
例2．函数 的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题， 函数定义域满足，解得.故选：C
例3．（多选题）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为RB．的值域为
C．若，则x的值是D．的解集为
【答案】BC
【解析】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；
当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．
故选：BC．
例4．（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【解析】（1）对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为；
（2）因为函数的定义域为，即，则，
所以，函数的定义域为，
对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为.
例5．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）
（4）；
（5）；
（6）.
【解析】（1），，函数值域为；
（2），当时单调递减，
当时单调递增，，所以函数的值域是；
（3），所以函数的值域是；
（4）
，所以函数值域是；
（5），当时，，
当时，，当，所以函数的值域是；
（6）定义域为且，，
或，或，
所以函数的值域是.
例6．求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)．
【解析】（1）方法一 因为，且，所以，所以原函数的值域为．
方法二 令，则，所以原函数的值域为．
（2）因为，所以，
所以原函数的值域为．
（3）设，则且，得．
因为，所以，即，所以原函数的值域为．
（4）方法一 令，因为，
所以关于x的方程有解，则当，即时，；
当时，，整理得，解得或．
综上，原函数的值域为．
方法二 令，则，
当时，；
当时，，
当时，因为，当且仅当时取等号，
所以，所以，
当时，因为，当且仅当时取等号，
所以，所以．
综上，原函数的值域为．
例7．（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.
【解析】（1）设，由得：c＝1.
由得：，整理得，
∴，则，∴.
（2）∵，① ∴，②
②×2－①得：，∴.
（3）令，则，∴.
例8．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
【解析】（1）因为，所以．
（2）方法一 设，则，，即，
所以，所以．
方法二 因为，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，解得．
例9．已知函数
(1)求，，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)若，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由题可得，，
因为，所以；
（2）①当时，，解得，不合题意，舍去；
②当时，，即，解得或，
因为，，所以符合题意；
③当时，，解得，符合题意；
综合①②③知，当时，或；
（3）由，得或或，解得或，
故所求m的取值范围是.
【过关测试】
一、单选题
1．下列函数：①；②；③ ；④ ，其中与函数 是同一个函数的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】,定义域为，与函数不是同一个函数；满足且，则，与函数定义域R不同,与函数不是同一个函数；与函数定义域不同，不是同一个函数；定义域为，与函数不是同一个函数；故选：A
2．已知函数，若，则（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，函数在和上均为增函数，因为，所以，可得，由题意可得，即，解得，合乎题意，
所以，.故选：D.
3．已知函数，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，，则可化为，解得，
又，所以.当时，，
则可化为，解得，又，所以.
综上，.故选：B.
4．已知是一次函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，设，则有，解得，
所以.故选：D
5．若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，所以的范围是.故选：A
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.
7．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，，，
所以函数的解析式为，．故选：B.
8．若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A选项：，所以，值域跨度为2；
B选项：，所以，值域跨度不为2；
C选项：当时；当时，；当时，；故，值域跨度为2；
D选项：，故，值域跨度为2；故选：B
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
【答案】AC
【解析】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．故选：AC．
10．若函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；（且），故D正确．故选：AD．
11．已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（ ）
A．B．
C．函数的定义域是D．函数的值域是
【答案】AD
【解析】选项A：由图像可得，所以，A正确；
选项B：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出的确定值，B错误；
选项C：由图像可得函数的定义域为，C错误；
选项D：由图像可得函数的值域为，D正确.故选：AD.
12．若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】BC
【解析】函数的图象如图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，结合a是正整数，所以BC正确.
故选： BC.
三、填空题
13．若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）
【答案】
【解析】若，满足.若，满足.
故答案为：，答案不唯一.
14．设函数，若，则实数的值为_____．
【答案】
【解析】由题意知，；当时，有，解得(舍去)；
当时，有，解得(舍去)或．所以实数的值是：．故答案为：.
15．如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．
【答案】④
【解析】根据函数的定义，在③中，存在一个x对应两个y，③不是函数；①，②中函数的值域不是，故排除①②③；可知④符合题意.故答案为：④．
16．已知函数，则______.
【答案】【解析】因为，，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．作出下列函数的图象：
(1)；
(2)；
(3)，其中表示不大于x的最大整数．
【分析】根据题意写出分段函数的解析式，然后作图即得.
（1）因为函数，画出其图象如图所示：
；
（2）函数的图象是两段抛物线与一个点，画出其图象如图所示．
（3）由题可得，画出其图象如图所示：
.
18．在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
【解析】（1）选条件①.设，
则.
因为，所以，
所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），
所以，得.故.
选条件②.设，
则函数图像的对称轴为直线.
由题意可得，解得.故.
选条件③设.因为，所以.
因为恒成立，所以，解得，故.
（2）由（1）可知.因为，所以，
所以.所以在上的值域为.
19．根据下列条件，求函数的解析式；
（1）若满足，则____________；
（2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立.
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数､都成立，且；
【解析】（1）因为①用代替，②
由①②组成的方程组得.故答案为: .
（2）将代入等式得出，
联立，变形得：，解得.
（3），
令，由双勾函数的性质可得或，，或.
（4）因为对一切实数､都成立，且，
令则，又因为
所以，即.
20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【解析】（1）依题意，当时，；
当时，是关于x的一次函数，假设，
则，解得，所以.
（2）当时，；
当时，，
当时，取得最大值.
因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.
21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到横线中，并解答．已知一次函数满足，且______．
(1)求函数的解析式；
(2)若在上的最大值为2，求实数的值．
【解析】（1）方案一：选条件①．
设，则，即，
所以，，所以，由，得，
所以．
方案二：选条件②．
设，则，即，
所以，，所以．
，得，所以．
方案三：选条件③．
设，则，即，
所以，，所以．
由，得，所以．
（2），
所以的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为直线．
当，即时，，
令，解得；
当，即时，，令，解得（舍去）．
综上，．
22．设函数的定义域与函数的定义域的交集为D，若对任意的，都有，则称函数是集合M的元素．
(1)判断函数和是不是集合M中的元素，并说明理由；
(2)设函数，且（k，b为常数，且k≠0），试求函数的解析式；
(3)已知 ，，试求实数a，b应满足的关系．
【解析】（1）因为对任意的，，所以．
因为对任意的，，所以，
故不是集合M的元素，是集合M的元素．
（2）因为函数，且，
所以，
所以，解得或，
所以或．
（3）易知与的定义域的交集D由满足的x构成．
因为，所以对恒成立，所以，即对恒成立，故．定义
名称
符号
数轴表示
闭 区 间
开 区 间
半开半闭区间
半开半闭区间