九年级上学期数学压轴必考题型——直线与圆练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——直线与圆练习（含答案），共56页。
1．（2020秋•文登区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径．若BD＝10，∠ABD＝2∠C，则AB的长度为（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
2．（2020秋•东阳市期末）如图①，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，点E，F在BC上（不与B、C重合），点D在弧BC上，△DEF是正三角形，设BE＝x，CF＝y，已知y与x的函数图象如图②所示，则△DEF的边长是（ ）
A．2B．C．D．
3．（2020秋•温州期末）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径．若∠B＝60°，AC＝，则直径AD的长为（ ）
A．1B．2C．3D．
4．（2020秋•江北区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝45°，BC＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．4C．8D．8
5．（2021•涪城区模拟）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤8
6．（2020•武昌区校级自主招生）如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1B．﹣1C．D．2
7．（2020•梧州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）
A．2B．C．D．
8．（2018秋•武汉月考）如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．4B．C．D．
二．填空题
9．（2021•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
10．（2021•北辰区二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心OA长为半径的圆交OB于点C．
（Ⅰ）线段BC的长等于 ；
（Ⅱ）若BD切⊙O于点D，P为OA上的动点，当BP+DP取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，P，并简要说明点D，P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
11．（2021•大连模拟）如图，AC，BD都是⊙O的直径，过点A作O的切线，与BD的延长线相交于点E．若⊙O的半径为1，DE＝x，CE＝y，则y关于x的函数关系式为 ．
12．（2021春•瑞安市月考）如图，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的一点（不与点A、C重合），BD＝4，过点A，B，D作⊙O，当点C关于直线BD的对称点落在⊙O上时，则⊙O的半径等于 ．
13．（2021•杭州模拟）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为 ，CD的长为 ．
14．（2021•长兴县模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的⊙O与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当△HEF是等腰三角形时，CE的长为 ．
15．（2021•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，I为△ABC的内心，延长CI交AB于点D．
（1）∠BIC＝ °；
（2）若BD＝，BI＝4，则AD＝ ．
16．（2021•涪城区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AB上，⊙P与x轴交于A、C两点，当⊙P与y轴相切时，AC的长度是 ．
三．解答题
17．（2020秋•钦州期末）如图，E为△ABC的内心，连接AE并延长交△ABC的外接圆于点D．
求证：DE＝DB．






18．（2021•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．





19．（2021•毕节市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．





20．（2021•醴陵市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C点和M点在⊙O上，AC平分∠MAB，延长AM，并过点C向射线AM作垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若BC＝6，AC＝8，求PC的长．





21．（2021•铜仁市）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．







22．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．




23．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．






24．（2021•淮安二模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求BE的长．






25．（2021•鼓楼区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝9，边AB上有一点E，且AE＝1．连接CE，DE．以CE为直径的⊙O与线段CD交于点F，与线段DE交于点G，连接GF．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求GE的长．




26．（2021•武汉模拟）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 直线与圆
一．选择题
1．（2020秋•文登区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径．若BD＝10，∠ABD＝2∠C，则AB的长度为（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
【思路引导】连接AD，根据BD为⊙O的直径，可得∠BAD＝90°，根据∠ACB＝∠D，可得∠D＝30°．进而可得AB的长．
【完整解答】解：如图，连接AD，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝∠D，
∴∠ABD＝2∠C＝2∠D，
∵∠D+∠ABD＝90°，
∴∠D＝30°．
∴∠ABD＝60°，
∴AB＝OB＝0.5BD＝5．
故选：B．
2．（2020秋•东阳市期末）如图①，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，点E，F在BC上（不与B、C重合），点D在弧BC上，△DEF是正三角形，设BE＝x，CF＝y，已知y与x的函数图象如图②所示，则△DEF的边长是（ ）
A．2B．C．D．
【思路引导】首先根据y与x的函数图象经过（2，1.5），可得y＝，当x＝y时，x＝y＝，即△DEF在红色图形所示位置时，BE′＝F′C＝，连接OD′交BC于点M，设OM＝a，则OB＝2a，BM＝a，然后根据勾股定理可得a的值，进而可得结论．
【完整解答】解：设y＝，
∵y与x的函数图象经过（2，1.5），
∴k＝2×1.5＝3，
∴y＝，
当x＝y时，x＝y＝，
即△DEF在红色图形所示位置时，
BE′＝F′C＝，连接OD′交BC于点M，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
当x＝y时，D′为弧BC的中点，
∴OD′⊥BC，∠BOD′＝∠COD′＝60°，
设OM＝a，则OB＝2a，
∴BM＝a，
∴E′M＝BM﹣BE′＝a﹣，
在Rt△E′MD′中，∠E′D′M＝30°，
∴E′D′＝2E′M＝2（a﹣），
∵MD′＝OD′﹣OM＝2a﹣a＝a，
∴E′D′2＝MD′2+E′M2，
∴（2a﹣2）2＝a2+（a﹣）2，
解得a＝或a＝，
当a＝时，E′D′＝2（a﹣）＝，
当a＝时，E′D′＝2（a﹣）＝﹣（舍去），
∴△DEF的边长是．
故选：D．
3．（2020秋•温州期末）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径．若∠B＝60°，AC＝，则直径AD的长为（ ）
A．1B．2C．3D．
【思路引导】连接CD，根据直径所对圆周角是直角可得∠ACD＝90°，根据同弧所对圆周角相等可得∠ADC＝∠B＝60°，进而可得结果．
【完整解答】解：如图，连接CD，
∵AD是直径．
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AC＝，
∴AD＝×AC＝2，
则直径AD的长为2．
故选：B．
4．（2020秋•江北区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝45°，BC＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．4C．8D．8
【思路引导】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠COB＝90°，又OC＝OB，BC＝B，根据勾股定理，即可得圆的半径．
【完整解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠COB＝90°，
∵OC＝OB，BC＝8，
∴OB＝4，
故选：B．
5．（2021•涪城区模拟）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤8
【思路引导】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论．
【完整解答】解：（1）当点O2在点O1的右侧时，
当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，
则O2M＝4，
又∵∠AO2O1＝30°，
∴O1O2＝2•O2M＝8，
当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2＝6﹣4＝2，
所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；
（2）当点O2在点O1的左侧时，
根据圆的对称性可知，2≤x≤8，
故选：D．
6．（2020•武昌区校级自主招生）如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1B．﹣1C．D．2
【思路引导】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG＝2；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE＝FG，根据相交弦定理得BD•DC＝DE•DF，而BD、DC的长易知，DE＝2+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长．
【完整解答】解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF∥AB，
∴CM⊥EF．
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AB＝2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM＝MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，
∴DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD•DC＝DE•DF，即DE×（DE+2）＝4；
解得DE＝﹣1（负值舍去）．
故选：B．
7．（2020•梧州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）
A．2B．C．D．
【思路引导】过点O作OF⊥BE于点F，根据矩形的性质和勾股定理可得BD，根据tan∠DBC＝＝＝，设OF＝3x，BF＝4x，则BO＝5x，根据切线的性质证明△OEF＝△EDC对应边成比例即可得x的值．
【完整解答】解：如图，过点O作OF⊥BE于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，DC＝AB＝6，
在Rt△ADB中，∠C＝90°，
∴BD＝＝10，
∴tan∠DBC＝＝＝，
设OF＝3x，BF＝4x，
则BO＝5x，
∵OB＝OE，
∴BF＝EF＝4x，
∴CE＝CB﹣BE＝8﹣8x，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OEF+∠DEC＝90°，
∵∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠OEF＝∠EDC，
∵∠OFE＝∠DCE，
∴△OEF∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝0（舍去），x＝，
∴OB＝5x＝．
故选：C．
8．（2018秋•武汉月考）如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．4B．C．D．
【思路引导】延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，可得BD＝ID＝AI．易证＝，则OD⊥BC，作IG⊥AB于G，又∠DBE＝∠IAG，则BD＝AI，所以Rt△BDE≌Rt△AIG，从而得出AB+AC＝2BC，代入数据即可得到结论．
【完整解答】证明：如图1，延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，
∵OA＝OD，OI⊥AD，
∴AI＝ID，
∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI＝（∠BAC+∠ABC）＝∠DIB，
∴BD＝ID＝AI，
∵I是其内心，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴＝，
∴OD⊥BC，记垂足为E，
∴BE＝BC，
作IG⊥AB于G，
∵∠DBE＝∠IAG，BD＝AI，
∴△BDE≌△AIG（AAS），
∴AG＝BE＝BC，
如图，过O作IM⊥AC，IN⊥BC，
∵I是其内心，
∴AG＝AM，CM＝CN，BG＝BN，
∴AG＝AC﹣CM＝AC﹣（BC﹣BN）＝AC﹣BC+BN＝AC﹣BC+（AB﹣AG），
∴AG＝（AB+AC﹣BC），
∴AB+AC＝2BC，
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝4，
故选：A．
二．填空题
9．（2021•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 （0，11） ．
【思路引导】连接AB，过点A分别作AC⊥x轴、AD⊥y轴，利用根据圆的切线性质可知△PAB、△AOC为直角三角形，AB＝AC＝5，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AO、AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案．
【完整解答】解：过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，如图，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径，
∵点A坐标为（8，5），
∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得，
PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11，
∵点P在y轴上，
∴点P坐标为（0，11）．
故答案为：（0，11）．
10．（2021•北辰区二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心OA长为半径的圆交OB于点C．
（Ⅰ）线段BC的长等于 ﹣3 ；
（Ⅱ）若BD切⊙O于点D，P为OA上的动点，当BP+DP取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，P，并简要说明点D，P的位置是如何找到的（不要求证明） 以B为圆心，BA为半径画弧交⊙O于D，以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于D'，连接BD'交OA于P，点D，P即为所求． ．
【思路引导】（Ⅰ）利用网格根据勾股定理求出OB的长，再用OB﹣OC即可求解BC的长；
（Ⅱ）以B为圆心，BA为半径画弧交⊙O于D，以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于D'，证明△OBD≌△OBA，得出BD是⊙O的切线，通过垂径定理可得点D，D'关于OA对称，有最短路径，可得当B，P，D'三点共线时，BP+DP＝BP+D'P取得最小值，而题中未指明D与A重合，当D与A重合时，若P也与A重合，则BP+DP＝BA也取得最小值．
【完整解答】解：（Ⅰ）∵OA＝3，AB＝2，OA⊥AB，
∴OB＝，
∴BC＝OB﹣OC＝OB﹣OA＝﹣3，
故答案为﹣3；
（Ⅱ）如图，以B为圆心，BA为半径画弧交⊙O于D，以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于D'，连接BD'交OA于P，点D，P即为所求．
在△OBD和△OBA中，
，
∴△OBD≌△OBA（SSS），
∴∠ODB＝∠OAB＝90°，OD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线，
由垂径定理可知：D'是D关于OA的对称点，
∴DP＝D'P，
当B，P，D'三点共线时，BP+DP＝BP+D'P取得最小值，
∵BA是⊙O的切线，题中未指明D与A重合，
∴当D与A重合时，若P也与A重合，则BP+DP＝BA也取得最小值．
故答案为：以B为圆心，BA为半径画弧交⊙O于D，以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于D'，连接BD'交OA于P，点D，P即为所求．
11．（2021•大连模拟）如图，AC，BD都是⊙O的直径，过点A作O的切线，与BD的延长线相交于点E．若⊙O的半径为1，DE＝x，CE＝y，则y关于x的函数关系式为 y＝（x＞0） ．
【思路引导】由题意知OD＝OA＝1，AC＝2，OE＝x+1，根据切线的性质得到OA⊥AE，在Rt△AOE中，由勾股定理得到AE2＝x2+2x，在Rt△ACE中，根据勾股定理列方程即可得到y关于x的函数关系式．
【完整解答】解：∵⊙O的半径为1，AC，BD都是⊙O的直径，
∴OD＝OA＝1，AC＝2，
∵DE＝x，
∴OE＝OD+DE＝x+1，
∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE＝90°，
在Rt△AOE中，AE2＝OE2﹣OA2＝（x+1）2﹣12＝x2+2x，
在Rt△ACE中，
∵AC＝2，CE＝y，CE2＝AC2+AE2＝22+x2+2x＝x2+2x+4，
∴y＝（x＞0），
故答案为：y＝（x＞0）．
12．（2021春•瑞安市月考）如图，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的一点（不与点A、C重合），BD＝4，过点A，B，D作⊙O，当点C关于直线BD的对称点落在⊙O上时，则⊙O的半径等于 2 ．
【思路引导】根据轴对称的性质得到∠ADB＝∠CDB，AD＝CD，进而推出∠ADB＝90°，AB是⊙O的直径，由直角三角形斜边的中线的性质得到BD＝AD＝4，在Rt△ABD中，根据勾股定理求出AB，即可得到⊙O的半径．
【完整解答】解：当点C关于直线BD的对称点落在⊙O上时，
则A与C点重合，∠ADB＝∠CDB，AD＝CD，
∵∠ADB+∠CDB＝180°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵∠ABC＝90°，
∴BD＝AD＝AC＝4，
在Rt△ABD中，
∵AB2＝AD2+BD2＝42+42＝32，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径等于2，
故答案为：2．
13．（2021•杭州模拟）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为 120° ，CD的长为 ．
【思路引导】连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，由AE为直径，可得∠ACE＝∠ABE＝90°，由点D是△ABC高线的交点，可得BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，∠CFB＝∠CGA＝90°，利用四边内角和可求∠FDG＝120°，利用对顶角性质∠ADB＝∠FDG＝120°，可证四边形CDBE为平行四边形，可得CD＝BE，由＝，可得∠ACB＝∠AEB＝60°，在Rt△ABE中，可求BE＝AB×tan30°＝．
【完整解答】解：连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，
∵AE为直径，
∴∠ACE＝∠ABE＝90°，
∵点D是△ABC高线的交点，
∴BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，
∴∠CFB＝∠CGA＝90°，
∴∠FDG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠ADB＝∠FDG＝120°，
∵∠ACE＝∠CFB＝90°，CD⊥AB，EB⊥AB，
∴CE∥DB，CD∥EB，
∴四边形CDBE为平行四边形，
∴CD＝BE，
∵＝，
∴∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ABE中，
BE＝AB×tan30°＝8×＝，
∴CD＝BE＝．
故答案为：120°；．
14．（2021•长兴县模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的⊙O与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当△HEF是等腰三角形时，CE的长为 6或或 ．
【思路引导】由平行线的性质和圆的内接四边形的性质可得∠EFH＝∠DCE，∠CDE＝∠DHE，从而得△HEF∽△DEC，列比例式＝＝，分三种情况：1°当HF＝EF时，2°当HE＝EF时，3°当HE＝HF时，根据比例式和等腰三角形的性质分别计算CE的长即可；
【完整解答】解：∵四边形CDFE是⊙O的内接四边形，
∴∠DFE+∠DCE＝180°，
∵∠DFE+∠EFH＝180°，
∴∠EFH＝∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DHE＝∠BGE，
∵四边形DEGC是⊙O的内接四边形，
∴∠BGE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DHE，
∴△HEF∽△DEC，
∴＝＝，
1°当HF＝EF时，
∵＝，
∴EC＝DC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，
∴CE＝DC＝6；
2°当HE＝EF时，
∵＝，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝∠ECD+∠CAD＝90°，
∴∠ADE＝∠EAD，
∴AE＝ED＝EC，
Rt△ADC中，AD＝BC＝9，DC＝6，
AC＝＝3，
∴CE＝AC＝，
3°当HE＝HF时，
∵＝，
∴DE＝DC＝6，
连接DG，交AC于M，如图，
∵∠DCG＝90°，
∴DG是⊙O的直径，
∵DE＝DC，
∴DG是EC的垂直平分线，即EC⊥DM，EC＝2CM，

cs∠DCM＝＝，
即，
∴CM＝，
∴CE＝2CM＝，
综上，CE的长为6或或，
故答案为：6或或．
15．（2021•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，I为△ABC的内心，延长CI交AB于点D．
（1）∠BIC＝ 135 °；
（2）若BD＝，BI＝4，则AD＝ ．
【思路引导】（1）根据I为△ABC的内心，即可求出∠BIC；
（2）证明△BID∽△BAI，对应边成比例可得AB的长，进而可得AD的长．
【完整解答】解：（1）∵I为△ABC的内心，
∴∠BIC＝90°+CAB＝90°+45°＝135°．
故答案为：135；
（2）∵AI平分∠CAB，
∴∠IAB＝45°，
∴∠BID＝∠IAB＝45°，
∠IBD＝∠ABI，
∴△BID∽△BAI，
∴＝，
∴＝，
解得AB＝，
∴AD＝．
故答案为：．
16．（2021•涪城区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AB上，⊙P与x轴交于A、C两点，当⊙P与y轴相切时，AC的长度是 ﹣1 ．
【思路引导】根据一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出OA和OB的长，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，根据平行线分线段成比例定理，设PD＝PC＝x，则BD＝2x，作PE⊥OA于点E，可得四边形OEPD是矩形，PD＝OE＝x，PE＝OD＝x，4﹣2x，AE＝CE＝OA﹣OE＝2﹣x，根据勾股定理可得x的值，再根据垂径定理可得AC的长．
【完整解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
如图，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，
∴PD⊥OB，
∵OA⊥OB，
∴PD∥OA，
∴＝＝，
设PD＝PC＝x，则BD＝2x，
∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2x，
作PE⊥OA于点E，
∴四边形OEPD是矩形，
∴PD＝OE＝x，PE＝OD＝4﹣2x，
∴AE＝CE＝OA﹣OE＝2﹣x，
∴PC2＝PE2+CE2，
∴x2＝（4﹣2x）2+（2﹣x）2，
解得x＝，
∵＞2，不符合题意舍去，
∴x＝，
∵PE⊥AC，根据垂径定理，得
AC＝2AE＝2（2﹣x）＝4﹣（5﹣）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题
17．（2020秋•钦州期末）如图，E为△ABC的内心，连接AE并延长交△ABC的外接圆于点D．
求证：DE＝DB．
【思路引导】根据点E是△ABC的内心得出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，求出∠BED＝∠EBD，即可得出答案．
【完整解答】证明：如图，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，
∵∠EBD＝∠CBE+∠CBD，
∴∠BED＝∠EBD，
∴ED＝BD
18．（2021•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．
【思路引导】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；
（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【完整解答】（1）证明：连接DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；

（2）由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DE＝BC，
∴BC＝5，
∴BD＝＝＝4，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴⊙O直径的长为．
19．（2021•毕节市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
【思路引导】（1）依据三角形内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，由圆周角定理的推论可得∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．从而可证∠BED＝∠DBE，根据等角对等边即可得结论；
（2）由∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，即可判定△ABD∽△BFD，所以，设EF＝x，可化为，解得x＝2，从而可求DB的长．
【完整解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
又∵∠CAD与∠CBD所对弧为，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
即∠BED＝∠DBE，
故DB＝DE．
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
∴①，
∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x，
由（1）可得DB＝DE＝4+x，
则①式化为，
解得：x1＝2，x2＝﹣6（不符题意，舍去），
则DB＝4+x＝4+2＝6．
20．（2021•醴陵市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C点和M点在⊙O上，AC平分∠MAB，延长AM，并过点C向射线AM作垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若BC＝6，AC＝8，求PC的长．
【思路引导】（1）由平行加等腰三角形可知OC∥AD，从而有OC⊥PD；
（2）先证明出△PCB∽△PAC，从而有BP：PC＝3：4，再设BP＝3x，PC＝4x，利用勾股定理即可列出方程求解．
【完整解答】解：（1）连接OC，
∵AC平分∠MAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCP＝∠D，
∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴OC⊥PD，
∵OC为半径且C为半径的外端，
∴PD为⊙O的切线；
（2）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠PCO＝90°，
∴∠PCB＝∠ACO＝∠OAC，
∴△PCB∽△PAC，
∴，
∴设BP＝3x，PC＝4x，
又∵AB＝，
∴OB＝OC＝5，
在Rt△OCP中，由勾股定理得：
（5+3x）2＝52+（4x）2，
∴x1＝，x2＝0（舍），
∴．
21．（2021•铜仁市）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．
【思路引导】（1）连接OE，根据圆周角定理得∠AEB＝90°，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，等边对等角及等量代换可得∠OEF＝90°，根据切线的判定定理可得结论；
（2）如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△EBF∽△AEF，列比例式＝＝，设BE＝a，则AE＝2a，根据勾股定理列方程可得a的值，证明BC∥EF，列比例式可得结论．
【完整解答】（1）证明：连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即∠AEO+∠OEB＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，
∴OF＝x+10，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得：x＝15，
∴⊙O的半径为15；
∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴＝＝，
设BE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即a2+（2a）2＝302，
解得：a＝6，
∴AE＝2a＝12，
∵∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∵OE⊥EF，
∴BC∥EF，
∴，即，
∴AD＝9．
22．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．
【思路引导】（1）连接OE，证明OE⊥EF即可；
（2）连接DE，根据已知条件求出⊙O的直径AD＝10，在Rt△ADE中，求出DE＝6，cs∠DAE＝，在Rt△ABC中，求出cs∠BAC＝，根据∠BAC＝∠DAE，求出AB＝5，进而得到BE＝13，根据相似三角形的判定证得△FBE∽△ODE，根据相似三角形的性质即可求出BF．
【完整解答】证明：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠OAE＝∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC，
∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝4，
∴OA＝OC﹣AC＝5，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝6，
∴cs∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cs∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO＝90°，
∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，
∴∠FEB＝∠OED，
∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，
∴△FBE∽△ODE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
23．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．
【思路引导】（1）根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形性质以及等量代换可得出∠AEC+∠OEA＝90°，即OE⊥BC，从而得出BC是⊙O的切线；
（2）根据△ACE∽△AED和勾股定理可求出AE，DE，根据角平分线的性质可得出三角形BDE的BD边上的高EM，再根据相似三角形和勾股定理求出BD即可．
【完整解答】解：（1）连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
设BD＝x，则BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD•EM
＝××4
＝．
24．（2021•淮安二模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求BE的长．
【思路引导】（1）连接OE，由BE是∠CBA的角平分线得∠ABE＝∠CBE，由OE＝OB得∠ABE＝∠OEB，则∠OEB＝∠CBE，所以OE∥BC，则∠OEC＝∠C＝90°，即OE⊥AC，根据切线的判定得到AC是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥BE于点M，根据垂径定理可得BE＝2BM，由（1）知OE∥BC，可得＝，可得＝，解得AD＝2，根据OA＝4可得∠A＝30°，再根据锐角三角函数可得BM的长，进而可得BE的长．
【完整解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵BE是∠CBA的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠OEC＝∠C＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OM⊥BE于点M，
∴BE＝2BM，
∵OE∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得AD＝2，
∴OA＝4，
∴∠A＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∵OE＝OB，
∴∠OBM＝30°，
∴BM＝OB•cs30°＝2×＝，
∴BE＝2BM＝2．
25．（2021•鼓楼区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝9，边AB上有一点E，且AE＝1．连接CE，DE．以CE为直径的⊙O与线段CD交于点F，与线段DE交于点G，连接GF．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求GE的长．
【思路引导】（1）先计算⊙O半径长，再作过点O作OH⊥AD于点H，OP⊥AB于点P，证明垂线段OH等于半径，即可得证；
（2）设GE＝a，再表示出DG长为，在直角三角形DGC和直角三角形EGC中抓住CG2＝CE2﹣GE2＝CD2﹣DG2，建立勾股定理方程即可求解．
【完整解答】解：（1）证明：BE＝AB﹣AE＝9﹣1＝8，BC＝AD＝6．
在Rt△BCE中，CE＝．
∴⊙O半径OE＝OC＝＝5
过点O作OH⊥AD于点H，OP⊥AB于点P，如答图1．
∴OH∥CB，．
∴OH＝AE+EP＝AE+＝1+×8＝5＝OE．
∴OH为⊙O的半径，故AD是⊙O的切线．
（2）连接CG，∵CE为直径，如答图1．
∴∠CGE＝∠CGD＝90°．
设GE＝a，则DE＝＝，
∴DG＝．
在直角三角形DGC和直角三角形EGC中，
有CG2＝CE2﹣GE2＝CD2﹣DG2，
即，
解得：a＝．
则GE＝．
26．（2021•武汉模拟）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．
【思路引导】（1）欲证明EB＝EI，只要证明∠EBI＝∠EIB；
（2）连接EC．由△ADB∽△CDE，可得＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，同法可证：△ADC∽△BDE，推出＝，推出＝，推出n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，由△ECD∽△EAC，可得EC2＝ED•EA，推出4＝m•（m+2n），即4＝2k（2k+6k）解得k＝或﹣（舍弃），由此即可解决问题；
【完整解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIE＝∠BAE+∠ABI，∠IBE＝∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠BIE＝∠EBI，
∴EB＝EI；

（2）解：连接EC．
∵∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴BE＝EC＝2，
∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，
∴△ADB∽△CDE，
∴＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，
同法可证：△ADC∽△BDE，
∴＝，
∴＝，
∴n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，
∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，
∴△ECD∽△EAC，
∴EC2＝ED•EA，
∴4＝m•（m+2n），
∴4＝2k（2k+6k）
∴k＝或﹣（舍弃），
∴DE＝1，AD＝3，
∴AE＝4，∵EI＝BE＝2，
∴AI＝AE﹣EI＝2．
解法二：过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N．
利用全等三角形的性质证明AM＝AM，BM＝CN，EM＝EN，
求出BM，EM，AE，可得结论．