九年级上学期数学压轴必考题型——圆的有关性质练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——圆的有关性质练习（含答案），共52页。
1．（2021•牡丹江）如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB＝∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．60°
2．（2021•西湖区校级二模）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
3．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．65°
4．（2021•南岗区校级二模）如图，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．16B．20C．18D．22
5．（2021•荆州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
6．（2021•拱墅区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2021•丹江口市一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
8．（2020秋•北碚区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE＝BF，，OE＝1，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（2020•槐荫区一模）如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（ ）
A．B．C．D．﹣
二．填空题
10．（2021•黑龙江）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 ．
11．（2021•彭泽县模拟）如图，AB＝AC＝AD＝2，∠BCD＝120°，则BD＝ ．
12．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ ．
13．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 ；
（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
14．（2021春•福州期中）如图，已知直径为5的⊙O过点O（0，0），A（4，0），与y轴的正半轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合）连接MA，作NA⊥MA交ME的延长线于点N，则△AMN的面积最大值是 ．
15．（2021•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙O与y轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上移动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别相交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 ．
16．（2021•无为市三模）已知四边形ABCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝BC，∠ABE＝90°，则AD的长为 ．
17．（2020秋•射阳县校级期末）如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是 ．
18．（2020秋•海勃湾区期末）如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为弧AC上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为4，则PN+MN的长度的最大值是 ．
三．解答题
19．（2021•丹阳市二模）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，AC+BC＝8．
（1）设点E到BC的距离为y，BC长为x，求y与x的函数关系式，并求当CE取最大值时x的值；
（2）连接AD、BD，四边形ACBD的面积是否为唯一确定的值？如果是，请求出它的面积；如果不是，请说明理由．



20．（2021•杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，圆内接四边形ACDE的边CD与直径AB交于点F，点G在DE延长线上，EA平分∠CEG．
（1）求证：AB⊥CD．
（2）若AC＝CE，AF＝9，BF＝1，求△ACE的面积．


21．（2021•贺兰县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．






22．（2021•宁波模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径作⊙O交AC于点H，E为AC上一点，且AB＝AE，BE交⊙O于点D，OD交AC于点F．
（1）求证：DO⊥AC．
（2）若CE＝4，BC＝8，求DE的长．






23．（2020秋•奉化区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是的中点．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长．






24．（2021•广东模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，AB，DC的延长线交于点G，∠ACD＝∠BCG，DF⊥AC于点E，交AB于点F，OH⊥AB于点H．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求证：OE＝OH；
（3）若AD＝8，CD＝6，求BG的长．






25．（2021•西湖区校级二模）如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE交弦BG于点D，OE交圆O与点C、F，连接OG，OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，求弦AB的长（用r的代数式表示）；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．





26．（2021•浦东新区模拟）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．





27．（2021•江岸区校级自主招生）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM•MB＝CM•MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 圆的有关性质
一．选择题
1．（2021•牡丹江）如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB＝∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．60°
【思路引导】利用圆周角定理求出∠BOC，再根据题目条件求出∠AOB可得结论．
【完整解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∵∠AOB＝∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝60°+20°＝80°，
故选：C．
2．（2021•西湖区校级二模）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
【思路引导】利用圆周角定理解决问题即可．
【完整解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
故选：B．
3．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．65°
【思路引导】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．
【完整解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．
故选：D．
4．（2021•南岗区校级二模）如图，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．16B．20C．18D．22
【思路引导】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解．
【完整解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E．
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝12，
∴OD＝4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD•cs60°＝OD＝2，
∴BE＝10，
∵OE⊥BC，
∴BC＝2BE＝20．
故选：B．
5．（2021•荆州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【思路引导】连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出∠BOC＝30°，进而求出∠BOD＝60°最后再由圆周角定理得出答案．
【完整解答】解：如图，连接OB，
∵A（2，0），D（4，0），矩形OABC，
∴OA＝2，OD＝4＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BED＝∠BOD＝×60°＝30°，
故选：C．
6．（2021•拱墅区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【思路引导】当CH与PB的交点D落在⊙O上时，因为HP是直径，可以判定BP⊥HC，再证BP垂直平分HC，求出BH的长度，最后证△AHP∽△ACB，即可求出AP的长度．
【完整解答】解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，
∵HP是直径，
∴∠HDP＝90°，
∴BP⊥HC，
∴∠HDP＝∠BDH＝90°，
又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，
∴∠PHD＝∠HBD，
∴△PHD∽△HBD，
∴＝，
∴HD2＝PD•BD，
同理可证CD2＝PD•BD，
∴HD＝CD，
∴BD垂直平分CH，
∴BH＝BC＝3，
在Rt△ACB中，
AB＝＝＝10，
∴AH＝10﹣6＝4，
∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，
∴△AHP∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴AP＝5，
故选：C．
7．（2021•丹江口市一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【思路引导】如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA交CA的延长线于G．想办法求出EC，DE，可得结论．
【完整解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA交CA的延长线于G．
∴AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，
∴EM＝EN，DH＝DH，
∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，
∴EM＝EN＝，
∵∠ECN＝∠CEN＝45°，
∴CN＝EN＝，
∴EC＝，
∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，
∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），
∴AG＝BH，
同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），
∴CG＝AH，
∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，
∴CG＝DG＝7，
∴CD＝7，
∴DE＝7﹣＝，
∴＝＝．
解法二：过点A作AH⊥BC于H，连接OD．
证明△AHE∽△DOE，求出AH，OD，可得结论．
故选：A．
8．（2020秋•北碚区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE＝BF，，OE＝1，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【思路引导】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．利用全等三角形的性质证明AE＝CJ＝BF＝BH，CT＝BH．EH＝BH，再利用勾股定理求出EC，BC即可．
【完整解答】解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．
∵AB⊥CD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴OC⊥AF，
∴∠AJO＝∠CEO＝90°，
∵∠AOJ＝∠COE，OA＝OC，
∴△AJO≌△CEO（AAS），
∴OJ＝OE，
∴AE＝CJ，
∵AB是直径，
∴∠F＝∠CJT＝90°，
∵AE＝BF，
∴BF＝CJ，
∵∠CTJ＝∠BTF，
∴△CTJ≌△BTF（AAS），
∴CT＝BT，
∵TH⊥AB，CD⊥AB，
∴TH∥CE，
∴EH＝BH，
∵＝，
∴∠TBF＝∠TBH，
∵∠F＝∠THB＝90°，BT＝BT，
∴△BTF≌△BTH（AAS），
∴BF＝BH，
∵AE＝BF，
∴AE＝BH，
∵OA＝OB，
∴OE＝OH＝1，
∴EH＝BH＝2，
∴AE＝BH＝2，
∴AB＝6，OC＝OB＝3，
∴EC＝＝＝2，
∴BC＝＝＝2，
故选：A．
9．（2020•槐荫区一模）如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（ ）
A．B．C．D．﹣
【思路引导】如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．解直角三角形求出CH，OH，根据OC≥OH﹣CH求解即可．
【完整解答】解：如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．
∵∠B＝30°，
∴∠TOA＝60°，
∵OT＝OA，
∴△OTA是等边三角形，
∴OT＝OA＝AT＝5，
∵OH⊥AT，
∴TH＝AH＝，OH＝＝＝，
∵AC⊥BM，
∴∠ACT＝90°，
∴CH＝，
∵OC≥OH﹣CH＝﹣，
∴OC的最小值为＝﹣．
故选：D．
二．填空题
10．（2021•黑龙江）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 2 ．
【思路引导】延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小．
【完整解答】解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．
∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝2，
在Rt△CDE中，DE＝＝＝2，
∴PC+PD的最小值为2．
故答案为：2．
11．（2021•彭泽县模拟）如图，AB＝AC＝AD＝2，∠BCD＝120°，则BD＝ 2 ．
【思路引导】如图，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BA交⊙A于T，连接DT．证明∠T＝60°，解直角三角形求出BD即可．
【完整解答】解：如图，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BA交⊙A于T，连接DT．
∵AB＝AC＝AD，
∴点A是△BCD的外接圆的圆心，
∵∠BCD+∠T＝180°，∠BCD＝120°，
∴∠T＝60°，
∵BT是直径，
∴∠BDT＝90°，
∴BD＝BT•sin60°＝4×＝2，
故答案为：2．
12．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ 13° ．
【思路引导】由∠ABC＝90°，可得CD是⊙O的直径，由点B是的中点以及三角形的内角和，可得∠BDC＝∠BCD＝45°，利用三角形的内角和求出∠ACB，再根据角的和差关系求出∠DCE，由圆周角定理可得∠ABE＝∠DCE得出答案．
【完整解答】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．
13．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 ；
（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求 ．
【思路引导】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．
（Ⅱ）取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．
【完整解答】解：（Ⅰ）AC＝＝．
故答案为：．
（Ⅱ）如图，取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．
故答案为：取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求
14．（2021春•福州期中）如图，已知直径为5的⊙O过点O（0，0），A（4，0），与y轴的正半轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合）连接MA，作NA⊥MA交ME的延长线于点N，则△AMN的面积最大值是 ．
【思路引导】先判断出∠OAE＝90°，根据勾股定理得出AE＝3，再判断出△OAE∽△MAN得出AN＝＝AM，即AM是直径时AM最大即可得出结论．
【完整解答】解：如图，连接AE，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵OE是⊙O1的直径，OE＝5，
∵OE是⊙O1的直径，
∴∠OAE＝90°，
在Rt△OAE中，根据勾股定理得，AE＝＝＝3，
∵NA⊥MA，
∴∠NAM＝∠OAE＝90°，
∵∠AOE＝∠AMN，
∴△OAE∽△MAN，
∴＝，
∴AN＝＝AM，要AN最长，
则有AM最长，而AM是⊙O1的弦，
∴AM最大是直径为5，
∴AN最大＝AM＝×5＝，
此时△AMN的面积的最大值为×5×＝，
故答案为．
15．（2021•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙O与y轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上移动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别相交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 ．
【思路引导】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，为半径的⊙M，设⊙M交MN于C1．求出MN，当点C与C1重合时，△C′DE的面积最小．
【完整解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC＝OB＝，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y＝﹣x﹣5与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（﹣12，0），E（0，﹣5），
∴OD＝12，OE＝5，
∴DE＝＝＝13，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△MNE∽△DOE，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×13×（﹣）＝，
故答案为：．
16．（2021•无为市三模）已知四边形ABCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝BC，∠ABE＝90°，则AD的长为 ．
【思路引导】如图，连接OD，AC．首先证明∠ACE＝∠ABE＝45°，推出∠AOD＝2∠ACE＝90°，可得结论．
【完整解答】解：如图，连接OD，AC．
∵BA＝BE＝BC，
∴点B是△AEC的外接圆的圆心，
∴∠ACE＝∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACE＝90°，
∵OA＝OD＝5，
∴AD＝5，
故答案为：5．
17．（2020秋•射阳县校级期末）如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是 ＜S≤ ．
【思路引导】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长，进而得出答案．
【完整解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，
∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，
∴CF＝FO＝，
∴S△AOC＝×1×＝，
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD＝90°时DE最长为半径，
S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．
∴＜S≤，
故答案为：＜S≤．
18．（2020秋•海勃湾区期末）如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为弧AC上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为4，则PN+MN的长度的最大值是 4+2 ．
【思路引导】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【完整解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，
∴CH＝AH＝OC•sin60°＝2，
∴AC＝4，
∵CN＝DN，DM＝AM，
∴MN＝AC＝2，
∵CP＝PB，CN＝DN，
∴PN＝BD，
当BD是直径时，PN的值最大，最大值为4，
∴PN+MN的最大值为4+2．
故答案为：4+2．
三．解答题
19．（2021•丹阳市二模）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，AC+BC＝8．
（1）设点E到BC的距离为y，BC长为x，求y与x的函数关系式，并求当CE取最大值时x的值；
（2）连接AD、BD，四边形ACBD的面积是否为唯一确定的值？如果是，请求出它的面积；如果不是，请说明理由．
【思路引导】（1）过点E作EF⊥BC，根据圆周角定理及角平分线的性质推出△CEF是等腰直角三角形，再由相似三角形的判定得到△BEF∽△BAC，从而根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质列出函数关系式：y＝﹣x2+x，运用二次函数的性质分析求解即可；
（2）根据题意由角平分线的性质及圆周角定理推出△ADB是等腰直角三角形，再根据直角三角形中的勾股定理推出各边之间的关系，根据三角形的面积公式得到S△ADB＝AD×BD＝AB2，S△ACB＝AC•BC，由AC+BC＝8得出（AC+BC）2＝64，从而由边的关系转化为面积的关系推出S△ADB+S△ACB＝16，于是得到S四边形ACBD＝16．
【完整解答】解：（1）如图1，
过点E作EF⊥BC，垂足为点F，
则点E到BC的距离为EF＝y，
∵CD是∠ACB的平分线，且AB为直径，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
又EF⊥BC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF＝EF＝y，
∴BF＝BC﹣CF＝x﹣y，AC＝8﹣BC＝8﹣x，
∵∠EBF＝∠ABC，∠BFE＝∠BCA＝90°，
∴△BEF∽△BAC
∴＝，即＝，
整理，得y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，
∴当x＝4时，y有最大值，
在Rt△CEF中，
CE＝EF＝y，
故当CE取得最大值时，x＝4．
（2）如图2，
连接AD、BD，
由（1）可知∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
又AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝AB，
∴S△ADB＝AD×BD＝AB2，
∴AB2＝4S△ADB，
∵S△ACB＝AC•BC，
∴AC•BC＝2S△ACB，
∵AC+BC＝8，
∴（AC+BC）2＝64，即AC2+BC2+2AC•BC＝64，
∵在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
∴4S△ADB+4S△ACB＝64，
∴S△ADB+S△ACB＝16，
∴S四边形ACBD＝S△ADB+S△ACB＝16．
20．（2021•杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，圆内接四边形ACDE的边CD与直径AB交于点F，点G在DE延长线上，EA平分∠CEG．
（1）求证：AB⊥CD．
（2）若AC＝CE，AF＝9，BF＝1，求△ACE的面积．
【思路引导】（1）利用垂径定理证明即可．
（2）利用相似三角形的性质求出DF，再证明△ACE≌△DAC（AAS），可得结论．
【完整解答】（1）证明：∵AE平分∠CEG，
∴∠AEG＝∠AEC，
∵∠AEG+∠AED＝180°，∠AED+∠ACD＝180°，
∴∠AEG＝∠ACD，
∴∠AEC＝∠ACD，
∴＝，
∴AB⊥CD．

（2）解：如图，连接AD．BD．
∴AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠DFB＝90°，
∵∠ADF+∠DAF＝90°，∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠DAF＝∠FDB，
∴△AFD∽△DFB，
∴DF：FB＝AF：DF，
∴DF2＝AF•BF＝9，
∵DF＞0，
∴DF＝3，
∵AB⊥CD，
∴DF＝CF＝3，
∴AD＝AC，
∴CD＝2DF＝6，
∵AC＝CE，
∴CA＝CE＝AD，
∴∠CAE＝∠CEA＝∠ACD＝∠ADC，
在△ACE和△DAC中，
，
∴△ACE≌△DAC（AAS），
∴S△ACE＝S△ADC＝•CD•AF＝×6×9＝27．
21．（2021•贺兰县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．
【思路引导】（1）连接AD，证明AD垂直平分线段BC即可；
（2）证明△ABC是等边三角形，求出CD即可解决问题．
【完整解答】解：（1）证明：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，又BD＝CD
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝BC＝10，CD＝BC＝5，
又∵∠C＝60°，
∴DE＝CD•sin60°＝．
22．（2021•宁波模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径作⊙O交AC于点H，E为AC上一点，且AB＝AE，BE交⊙O于点D，OD交AC于点F．
（1）求证：DO⊥AC．
（2）若CE＝4，BC＝8，求DE的长．
【思路引导】（1）根据直角三角形的性质得出∠ABE+∠OBD＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠ABE＝∠AEB＝∠DEF，∠OBD＝∠ODB，求出∠ODB+∠DEF＝90°即可；
（2）设AB＝AE＝x，根据勾股定理求出x，解直角三角形求出OF，DF，CF，EF，根据勾股定理求出答案即可．
【完整解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠OBD＝90°，
又∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠DEF，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠DEF＝90°，
即∠DFE＝90°，
∴DO⊥AC；

（2）解：设AB＝AE＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
∵CE＝4，BC＝8，
∴（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DEF中，．
23．（2020秋•奉化区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是的中点．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长．
【思路引导】（1）连接AC，运用圆周角定理和垂径定理可以判定AC⊥BC，OD⊥AC，证得结论；
（2）连接OC，构造直角三角形：Rt△CDE和Rt△OCE，设DE＝x，则OE＝5﹣x．利用勾股定理列出方程，通过解方程求得相关线段的长度即可．
【完整解答】解：（1）如图，连接AC，交OD于E，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）如图，连接OC，
由（1）可得，OD⊥AC．
∵AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴设DE＝x，则OE＝5﹣x．
在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2．
在Rt△OCE中，CE2＝OC2﹣OE2，
∴16﹣x2＝25﹣（5﹣x）2．
解得．
∴．
∴．
24．（2021•广东模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，AB，DC的延长线交于点G，∠ACD＝∠BCG，DF⊥AC于点E，交AB于点F，OH⊥AB于点H．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求证：OE＝OH；
（3）若AD＝8，CD＝6，求BG的长．
【思路引导】（1）利用圆内接四边形求得∠DAB＝∠BCG，进而求得∠ABD＝∠DAB，即可得到AD＝BD，即△ABD是等腰三角形；
（2）利用SSS证明△AOF≌△DOF，进而证得OE＝OH；
（3）根据勾股定理求得AC，用三角形相似求得AE，进而计算出OH、AH、BH，根据OH是中位线算出BC，利用勾股定理即可求得BG．
【完整解答】（1）证明：在圆内接四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝180°，
∵∠BCG+∠BCD＝180°，
∴∠DAB＝∠BCG，
∵∠ACD＝∠BCG，∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）证明：∵∠DAB＝∠BCG，∠ACD＝∠BCG，
∴∠DAB＝∠ACD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AF＝AE，
连接OD、OF，
∵OA＝OD，AF＝DF，OF＝OF，
∴△AOF≌△DOF（SSS），
∵AF＝DF，
∴OE＝OH；
（3）解：∵AD＝8，CD＝6，
∴AC＝10，
∵∠DAE＝∠CAD，∠AED＝∠ADC，
∴△AED∽△ADC，
∴＝，即＝，
解得AE＝6.4，
∴OH＝OE＝AE﹣AO＝6.4﹣5＝1.4，
∴AH＝＝4.8，
∴BH＝AH＝4.8，
由△CBG∽△DHB得，
＝，
设BG＝x，CG＝y，则＝，
解得y＝，
在△ABC中，易得OH是中位线，
∴BC＝2OH＝2.8，
在Rt△BCG中，由BC2+BG2＝CG2得，
2.82+x2＝（）2，
解得x＝．
25．（2021•西湖区校级二模）如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE交弦BG于点D，OE交圆O与点C、F，连接OG，OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，求弦AB的长（用r的代数式表示）；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．
【思路引导】（1）设OF交AB于N，连接AO，根据圆的性质与三角函数计算可得答案；
（2）想办法证明∠E＝∠OBD，∠OGB＝∠OBD可得结论；
（3）证明△OGD∽△OEG，相似三角形的性质可得答案．
【完整解答】（1）解：设OF交AB于N，连接AO，
∴∠AOB＝2∠AGB＝120°，
∵OA＝OB，OA⊥AB，
∴AN＝BN＝AB，
∴∠AOB＝∠BON＝∠AOB＝60°，∠ONB＝∠ONA＝90°，
∴sin∠AON＝＝，
∴AN＝r，
∴r．
（2）证明：∵∠AOB＝2∠AGB，∠AON＝∠BON＝∠AOB，
∴∠BON＝∠AGB，
∴∠EGD＝∠DOB，
∵∠EDG＝∠BDO，
∴∠E＝∠OBD，
∵OG＝OB，
∴∠OGB＝∠OBG，
∴∠E＝∠OGB．
（3）解：∵D是CO中点，
∴OD＝OC＝，
∵∠OGD＝∠E，∠GOD＝∠EOG，
∴△OGD∽△OEG，
∴，即，
∴OE＝2r，
∵OF＝r，
∴EF＝OE+OF＝3r．
26．（2021•浦东新区模拟）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．
【思路引导】过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，根据垂径定理解答即可．
【完整解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，
∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，
在Rt△OEM中，∵OE＝4，
∴，，
∵，
∴，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD＝2DM，
∴，
∵，
∴在Rt△DOM中，，
∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．
27．（2021•江岸区校级自主招生）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM•MB＝CM•MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．
【思路引导】（1）利用同弧所对的圆周角相等，证明△ADM∽△CBM；
（2）连接OM、OC，由于M是CD的中点，由垂径定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根据（1）的结论，求出AM•BM．
【完整解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴，
即AM•MB＝CM•MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，
∵OC＝3，OM＝2
∴CM＝DM＝，
由（1）知AM•MB＝CM•MD．
∴AM•MB＝•＝5．