九年级上学期数学压轴必考题型——弧长与扇形面积练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——弧长与扇形面积练习（含答案），共52页。
1．（2021•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣3C．π﹣2D．4﹣π
2．（2021•武汉模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点D在OA上，连接BD，点C在AB上，且点C，O关于直线BD对称，连接CD，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣B．π﹣C．﹣D．﹣
3．（2021•新洲区模拟）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，把以AB为直径的半圆O绕点B顺时针旋转至如图位置（点A落在CD上的点A′处），则半圆O扫过的面积（图中阴影部分）是（ ）
A．3πB．πC．D．
4．（2021•东西湖区模拟）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．πB．C．D．
5．（2021•武昌区模拟）如图，AB为半圆O的直径，C，D是半圆弧上的点，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，BC＝2EC，BD＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A．πB．π+C．D．2π
7．（2018•辉县市二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣2B．π+2C．2﹣πD．+π
8．（2018•南宁）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．2D．2
二．填空题
9．（2021•鼓楼区校级三模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上，若OD＝4，OE＝3，则阴影部分图形的面积是 ．（结果保留π）
10．（2021•九龙坡区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心，正方形的边长为半径画圆，则图中的阴影部分面积为 ．（结果保留π）
11．（2021•北碚区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为6，以点D为圆心，4为半径作圆弧于正方形的边相交，则图中由圆弧和正方形的边围成的阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
12．（2021•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
13．（2021•怀化模拟）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
14．（2021•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
15．（2021•温江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D'处，再将△AED'绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA'恰好经过BD'的中点FA'D″交AB于点G，连接AA'．有如下结论：①△A'AF≌△A'EG；②扇形ED′D″围成的圆锥底面积为π；③A'F的长度是﹣2；④＝﹣1．上述结论中．所有正确的序号是 ．
16．（2021•青岛二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为 ．
17．（2021春•南岸区期中）如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则的长为 ．
18．（2021•越秀区校级二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ．
三．解答题
19．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．


20．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

21．（2021•南昌模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．




22．（2021•海陵区一模）已知：如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，∠ACD＝60°，给出下列信息：
①∠ADC＝50°；②AB是⊙O的直径；③∠CEB＝100°．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的情况下，若AD＝2，求的长度．




23．（2020秋•汝南县期末）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）



24．（2020秋•松江区期末）如图，O1、O2分别是两个扇形的圆心，求图中阴影部分的周长．



25．（2021•黔东南州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
26．（2020秋•朝阳区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为5cm的圆柱和一个同底面的高为3cm圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．整个注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系如图②所示．
（1）圆柱形容器的高为 cm．
（2）求线段BC所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．



27．（2019秋•乐亭县期末）将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，与直径AB交于点C，连接点C与圆心O′．
（1）求的长；
（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积S白．




28．（2019秋•伊通县期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连接BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连接AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．





29．（2019秋•浦东新区期末）如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A，B，C，D为圆心，以AD，BE，CF，DG为半径画扇形，求阴影部分的面积．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 弧长与扇形面积
一．选择题
1．（2021•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣3C．π﹣2D．4﹣π
【思路引导】连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
【完整解答】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，
∴，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD＝＝π﹣2．
故选：C．
2．（2021•武汉模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点D在OA上，连接BD，点C在AB上，且点C，O关于直线BD对称，连接CD，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣B．π﹣C．﹣D．﹣
【思路引导】连接OC交BD于点E，由翻折的性质可知：OE＝EC＝1，在Rt△OBE中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC＝30°，然后在Rt△DOB中，可求得BD，最后根据阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形OBCD面积求解即可．
【完整解答】解：连接OC交BD于点E．
∴扇形的面积＝×22π＝π，
∵点O与点D关于BC对称，
∴OE＝EC＝1，OC⊥BD．
在Rt△OBE中，sin∠OBE＝＝，
∴∠OBC＝30°．
∴BD＝＝＝，
∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形OBCD的面积
＝π﹣•BD•OC＝π﹣．
故选：B．
3．（2021•新洲区模拟）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，把以AB为直径的半圆O绕点B顺时针旋转至如图位置（点A落在CD上的点A′处），则半圆O扫过的面积（图中阴影部分）是（ ）
A．3πB．πC．D．
【思路引导】根据题意和图形，可以发现S阴影+S半圆AB＝S扇形AA′B+S半圆A′B，即可得到S阴影＝S扇形AA′B，然后代入数据计算即可．
【完整解答】解：连接A′B，作A′E⊥AB于点E，如右图所示，
由题意可得，A′E＝BC＝3，BA′＝BA＝6，∠A′EB＝90°，
∴sin∠A′BE＝＝＝，
∴∠A′BE＝30°，
由图可知：S阴影+S半圆AB＝S扇形AA′B+S半圆A′B，
∵S半圆AB＝S半圆A′B，
∴S阴影＝S扇形AA′B，
∵S扇形AA′B＝＝3π，
∴S阴影＝3π，
故选：A．
4．（2021•东西湖区模拟）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．πB．C．D．
【思路引导】根据题意和图形，可以求得DE、OF、CF的长，然后代入数据计算，即可得到阴影部分的面积．
【完整解答】解：连接OC交DE于点F，连接CE，如右图所示，
∵OA＝2，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OC⊥DE且OC平分DE，OD＝OE＝1，
∴DE＝＝＝，
∴OF＝DE＝，
∴CF＝OC﹣OF＝2﹣，
∴S阴影DEBC＝S△CDE+S阴影CEB＝+＝+＝，
故选：B．
5．（2021•武昌区模拟）如图，AB为半圆O的直径，C，D是半圆弧上的点，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，BC＝2EC，BD＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【思路引导】首先根据三角形相似得出∠CDE＝∠DBE＝30°，进而利用锐角三角函数关系得出AB，BE、DE的长，利用圆周角定理得出∠DOC＝60°，利用S△BDE﹣S扇形OCD＝图中阴影部分的面积求出即可．
【完整解答】解：连接AD，DO，CO，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，
∴∠ABD＝∠DBE，∠ADB＝∠E＝90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴＝，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝CD，
∴＝，
∵∠E＝90°，
∴∠CDE＝∠DBE，
∴△CDE∽△DBE，
∴＝，
∵BC＝2EC，
∴BE＝3EC，
∴DE2＝3EC2，
∴＝，
∴∠CDE＝30°，
∴∠DBC＝∠BD＝30°，
∴AB＝＝＝2，∠DOC＝60°，
∴OD＝AB＝，
∵∠CDE＝∠DBE＝30°，∠E＝90°，
∴∠BDC＝30°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴CD∥AB，
∵△BDC和△ODC同底等高，
∴S△BDC＝S△ODC，
在Rt△BDE中，BD＝3，∠DBE＝30°，
∴DE＝BD＝，BE＝BD＝，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABD﹣S扇形ODC＝×﹣＝﹣π．
故选：D．
6．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A．πB．π+C．D．2π
【思路引导】由临界状态确定出C1的运动路径，明确点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，再分别计算两部分面积即可．
【完整解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，
∴tan∠DBC＝，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''
∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″＝＝π，
作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF＝，
∴C''F＝tan60°×＝，
∴S△BCC''＝，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．
故选：B．
7．（2018•辉县市二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣2B．π+2C．2﹣πD．+π
【思路引导】根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积．
【完整解答】解：连接OE，
∵∠BOA＝90°，点C为BD的中点，CE∥OA，OA＝4
∴∠ECO+∠COA＝180°，OB＝OE＝4，OC＝2，
∴∠OCE＝90°，OE＝2OC，
∴∠EOC＝60°，CE＝2，
∴阴影部分的面积为：＝，
故选：A．
8．（2018•南宁）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．2D．2
【思路引导】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【完整解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，
∴△ABC的面积为＝，
S扇形BAC＝＝π，
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，
故选：D．
二．填空题
9．（2021•鼓楼区校级三模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上，若OD＝4，OE＝3，则阴影部分图形的面积是 π﹣12 ．（结果保留π）
【思路引导】连接OC，根据勾股定理可以求得OC的长，然后由图可知，阴影部分的面积＝扇形的面积﹣矩形ODCE的面积，代入数据计算即可解答本题．
【完整解答】解：连接OC，
∵∠EOD＝90°，四边形ODCE是平行四边形，
∴四边形ODCE是矩形，
∴∠ODC＝90°，OE＝DC，
又∵OD＝4，OE＝3，
∴DC＝3，
∴OC＝＝＝5，
∴阴影部分图形的面积是：﹣3×4＝π﹣12，
故答案为：π﹣12．
10．（2021•九龙坡区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心，正方形的边长为半径画圆，则图中的阴影部分面积为 8π﹣16 ．（结果保留π）
【思路引导】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为90°，且半径为4的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积．
【完整解答】解：由题意可得出：S阴影＝2S扇形﹣S正方形＝2×﹣42＝8π﹣16，
故答案为8π﹣16．
11．（2021•北碚区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为6，以点D为圆心，4为半径作圆弧于正方形的边相交，则图中由圆弧和正方形的边围成的阴影部分的面积为 36﹣12﹣4π ．（结果保留π）
【思路引导】解直角三角形求出∠ADE＝30°，得到AE＝DE＝2，∠EDF＝90°﹣30°，根据正方形的面积公式、三角形面积以及扇形面积公式计算，得到答案．
【完整解答】解：设圆弧与正方形的交点为E、F，连接DE、DF，
∵AD＝6，DE＝4，
∴cs∠ADE＝＝，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝DE＝2，
同理，∠CDF＝30°，
∴∠EDF＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴S阴影＝S正方形﹣2S△ADE﹣S扇形DEF＝62﹣2××﹣＝36﹣12﹣4π，
故答案为36﹣12﹣4π．
12．（2021•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 π﹣ （结果保留π）．
【思路引导】连接CE，由扇形CBE面积﹣三角形CBE面积求解．
【完整解答】解：连接CE，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CE＝CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，
∴S扇形CBE＝＝π
∵S△BCE＝BC2＝，
∴阴影部分的面积为π﹣．
故答案为：π﹣．
13．（2021•怀化模拟）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 2+ ．
【思路引导】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【完整解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
∴的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+．
故答案为：2+．
14．（2021•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 2﹣ ．
【思路引导】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【完整解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB•cs60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
15．（2021•温江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D'处，再将△AED'绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA'恰好经过BD'的中点FA'D″交AB于点G，连接AA'．有如下结论：①△A'AF≌△A'EG；②扇形ED′D″围成的圆锥底面积为π；③A'F的长度是﹣2；④＝﹣1．上述结论中．所有正确的序号是 ②③④ ．
【思路引导】①判断∠AA′F≠∠EA′G,可得结论。
②求出∠D′ED″＝75°,利用弧长公式，圆的周长公式，圆的面积公式即可得出结论。
③求出EF,EA′可得结论。
④证明△AFA'∽△EFG，可得＝＝﹣1。
【完整解答】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，
∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，
∴四边形ADED'是矩形，
又∵AD＝AD'＝，
∴四边形ADED'是正方形，
∴AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，
∴D'B＝AB﹣AD'＝2，
∵点F是BD'中点，
∴D'F＝1，
∴EF＝＝＝2，
∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，
∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，
∴A'F＝﹣2，故③正确；
∵tan∠FED'＝＝，
∴∠FED'＝30°,
∴α＝30°+45°＝75°，
∴弧D'D″的长度＝＝π，
设扇形ED′D″围成的圆锥底面圆的半径为r,
则有2πr＝π,
∴r＝,
∴圆锥的底面积＝π×（）2＝π，故②正确，
∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，
∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，
∴∠A'AF＝7.5°，
∵D'E＝D''E，EG＝EG，
∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），
∴∠D'GE＝∠D''GE，
∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，
∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，
又∵∠AFA'＝∠EFG，
∴△AFA'∽△EFG，
∴＝＝＝﹣1,故④正确，
∵∠EA′D″＝45°,∠AA′F≠45°,
∴∠AA′F≠∠EA′G,
∴△A′AF与△A′EG不全等，故①错误
所以所有正确的序号为：②③④．
故答案为：②③④
16．（2021•青岛二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为 3+ ．
【思路引导】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【完整解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝3，
∴的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为3+．
故答案为：3+．
17．（2021春•南岸区期中）如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则的长为 π ．
【思路引导】连接OC、OD、BD．根据图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积求出半径R，再根据弧长公式的长度．
【完整解答】解：如图，连接OC、OD、BD．
∵C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠CDO＝∠BOD，
∴CD∥OB，
∴S△OCD＝S△BCD，
∴图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积，
∴，
∴R＝3，
∴的长为＝π．
故答案为π．
18．（2021•越秀区校级二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 + ．
【思路引导】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【完整解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为+．
故答案为：+．
三．解答题
19．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE＝EM ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【思路引导】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【完整解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；

（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；

（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
20．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【思路引导】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．
【完整解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝,AD＝2DE,
∴n＝90,
∴∠BAC＝90°．

(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．
21．（2021•南昌模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．
【思路引导】（1）只要证得OB⊥DE即可；
（2）①证得BF是△DCE的中位线，得到BF＝CD，即可求得BF的长；
②由S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE求得即可．
【完整解答】（1）证明：∵AO＝AC，
∴∠ACO＝∠AOC，
∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOD+∠D＝90°，
∴OB⊥DE，
∴BD＝BE；
（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．
∴tan∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，
∵OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，
∴OD＝2OB＝2，
∴CD＝OD+OC＝3，
∵∠D＝∠OCB，
∴BD＝BC，
∵BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴BF∥CD，
∵BD＝BE，
∴BF＝CD＝；
②解：连接OE，
∵OD＝2、OB＝1，
∴BD＝，
则DE＝2BD＝2，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED＝30°，
∴∠DOE＝120°，
S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE＝﹣×2×1＝π﹣．
22．（2021•海陵区一模）已知：如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，∠ACD＝60°，给出下列信息：
①∠ADC＝50°；②AB是⊙O的直径；③∠CEB＝100°．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ①② ，结论是 ③ （只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的情况下，若AD＝2，求的长度．
【思路引导】（1）选择条件为①②，结论为③，根据圆周角定理的推论：直径所得的圆周角为直角，直角三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出答案；
（2）求出弧AD所在圆的半径和相应的圆心角度数，利用弧长公式进行计算即可．
【完整解答】解：（1）条件为①②，结论为③，结论正确，理由如下：
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝50°＝∠ABC，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝40°+60°＝100°；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）连接OC，BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ABD＝∠ACD＝60°，AD＝2，
∴AB＝＝＝4，
∴OA＝AB＝2，
又∵∠AOD＝2∠ACD＝2×60°＝120°，
∴的长度为＝．
23．（2020秋•汝南县期末）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）
【思路引导】（1）根据ASA证明三角形全等即可．
（2）连接OF，求出圆心角，利用弧长公式计算即可．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA）．

（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
24．（2020秋•松江区期末）如图，O1、O2分别是两个扇形的圆心，求图中阴影部分的周长．
【思路引导】先求出⊙O2的半径，再根据弧长公式和圆的周长求出答案即可．
【完整解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，
∴⊙O2的半径是3＝（cm），
∴图中阴影部分的周长是+×2π×+3＝（π+3）cm．
25．（2021•黔东南州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
【思路引导】（1）根据∠D＝60°，可得出∠B＝60°，继而求出BC，判断出OE是△ABC的中位线，就可得出OE的长；
（2）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．
【完整解答】解：（1）∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
又∵AB＝6，
∴BC＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝；

（2）连接OC，
则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
S扇形FOC＝＝π．
即可得阴影部分的面积为π．
26．（2020秋•朝阳区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为5cm的圆柱和一个同底面的高为3cm圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．整个注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系如图②所示．
（1）圆柱形容器的高为 12 cm．
（2）求线段BC所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
【思路引导】（1）根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高；
（2）根据题意和函数图象分两种情况可以求得“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
【完整解答】解：（1）由题意和函数图象可得，
圆柱容器的高为12cm，
故答案为：12；
（2）BC过点（26，8），（42，12），
设线段BC所对应的函数表达式为h＝kt+b，
将点（26，8），（42，12）代入，得
，
解得，
所以线段BC所对应的函数表达式为h＝t+；
（3）以为“柱锥体”的高为：5+3＝8（cm），
所以顶端距离水面3.5cm位置有2个，
①当h＝8﹣3.5＝4.5时，在OA上，
设OA解析式为h＝kt，过点A（15，5），
所以15k＝5，解得k＝，
所以OA解析式为h＝t，
当h＝4.5时，t＝13.5；
②当h＝8+3.5＝11.5时，在BC上，
将h＝11.5代入h＝t+，
解得t＝40．
综上所述：“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值为13.5s或40s．
27．（2019秋•乐亭县期末）将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，与直径AB交于点C，连接点C与圆心O′．
（1）求的长；
（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积S白．
【思路引导】（1）连接BC，作O′D⊥BC于D，根据旋转变换的性质求出∠CBA′的度数，根据弧长公式计算即可；
（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可．
【完整解答】解：（1）连接BC，作O′D⊥BC于D，
由题意得，∠CBA′＝30°，
则∠BO′C＝120°，O′D＝O′B＝5，
∴的长为：＝；
（2）由题O′B＝O′C＝10，∠O′BC＝30°，
∴在Rt△O′BD中，O′D＝O′B＝5，BD＝＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∴S△O′BC＝＝＝25，
∴S白＝×π×102﹣（﹣S△O′BC）
＝50π﹣+25
＝π+25．
28．（2019秋•伊通县期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连接BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连接AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．
【思路引导】（1）连接AP，由圆周角定理可知∠APB＝90°，故AP⊥BC，再由PC＝PB即可得出结论；
（2）①先根据直角三角形的性质求出AP的长，再由勾股定理可得出PB的长；
②连接OP，根据直角三角形的性质求出△PAB的度数，由圆周角定理求出∠POB的长，根据S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB即可得出结论．
【完整解答】（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；

（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴AP＝AB＝2，
∴BP＝＝＝2；

②连接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵点O是AB的中点，
∴S△POB＝S△PAB＝×AP•PB＝×2×2＝，
∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB
＝﹣
＝π﹣．
29．（2019秋•浦东新区期末）如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A，B，C，D为圆心，以AD，BE，CF，DG为半径画扇形，求阴影部分的面积．
【思路引导】由图可知，扇形的半径分别为1，2，3，4，圆心角为90°，再由扇形的面积公式即可得出结论．
【完整解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴扇形的半径分别为1，2，3，4，圆心角为90°，
∴S阴影＝π×12+π×22+π×32+π×42
＝π+π+π+4π
＝π．