九年级上学期数学压轴必考题型——二次函数的图像和性质练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——二次函数的图像和性质练习（含答案），共64页。试卷主要包含了中的x与y的部分对应值如表，其中正确的个数为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．（2021•河南模拟）若A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
2．（2021•濮阳一模）若二次函数y＝x2﹣4x+3的图象经过A（﹣2，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
3．（2021•河南模拟）已知二次函数y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m≤B．m＜﹣C．m＞D．m≤
4．（2020秋•薛城区期末）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3
5．（2020秋•淅川县期末）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象过不同的五点A（m，n），B（3﹣m，n），C（0，y1），D（，y2），E（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
6．（2018秋•荔湾区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a＞；⑤a+c＜1；
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2018•安岳县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤
8．（2018•江岸区校级自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2014秋•北塘区期末）如图，点A（a，b）是抛物线y＝x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题
10．（2021•苏州模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+a﹣3在﹣2≤x≤2时的函数值始终是负的，则常数a的取值范围是 ．
11．（2020秋•平阴县期末）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：
那么该二次函数在x＝0时，y＝ ．
12．（2021•日喀则市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴是直线x＝1，有以下四个结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③b＝﹣2a；④a+b+c＞2，
其中正确的是 （填写序号）
13．（2021•建平县模拟）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
14．（2021•苏州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表：
现给出下列说法：
①该函数开口向下．
②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y轴的直线．
③当x＝2时，y＝3．
④方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在3与4之间．
其中正确的说法为 ．（只需写出序号）
15．（2019春•西湖区校级月考）已知直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，则抛物线的解析式为 ；
（2）当抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上平移时，若△OMN与△AOB相似，则点M的坐标为 ．
16．（2019•张店区二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象过点A（3，m）．
（1）当a＝﹣1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标 ；
（2）如图，直线l：y＝kx+c（k＜0）交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线l于点D，作QE⊥y轴于点E，连接DE．设∠QED＝β，当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，a＝ ．
17．（2018秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣3与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，则点P的坐标是 ．
18．（2018秋•增城区期末）抛物线y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0 ④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正确的为 （填序号）．
三．解答题
19．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．
20．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．





21．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．









22．（2021•连云港）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

















23．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．













24．（2020秋•射洪市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

















25．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；
（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．















26．（2020秋•自贡期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C的坐标；
（3）无论k取何值，抛物线都经过定点H，当直线HN与y轴的交角为45°时，求k的值．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 二次函数的图像和性质
一．选择题
1．（2021•河南模拟）若A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
【思路引导】根据二次函数的性质得到抛物y＝（x+1）2+m（m为常数）的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【完整解答】∵抛物线y＝（x﹣1）2+m（m为常数）的开口向上，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，B（0，y2）点离直线x＝1最近，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
2．（2021•濮阳一模）若二次函数y＝x2﹣4x+3的图象经过A（﹣2，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
【思路引导】先求出二次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．
【完整解答】∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝2，
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（4，y3）与对称轴的距离B最远，C最近，且a＝1＞0，
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
3．（2021•河南模拟）已知二次函数y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m≤B．m＜﹣C．m＞D．m≤
【思路引导】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．
【完整解答】∵y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，
∴对称轴为x＝﹣＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴≤1，解得m≤，
故选：D．
4．（2020秋•薛城区期末）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3
【思路引导】易得原抛物线的顶点为（1，2），根据相应的平移得到新抛物线的顶点，利用平移不改变二次项的系数及顶点式可得新抛物线．
【完整解答】∵原抛物线的顶点为（1，2），
∴向左平移1个单位后，得到的顶点为（0，2），
∴平移后图象的函数解析式为y＝x2+2．
故选：A．
5．（2020秋•淅川县期末）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象过不同的五点A（m，n），B（3﹣m，n），C（0，y1），D（，y2），E（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
【思路引导】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2．
【完整解答】∵二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴开口向上，对称轴为直线x＝＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∴y2＜y3＜y1；
故选：B．
6．（2018秋•荔湾区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a＞；⑤a+c＜1；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路引导】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【完整解答】①因为抛物线开口向上，可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②抛物线和x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故②正确，符合题意；
③当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c＜0，故③正确，符合题意；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
又∵a+b+c＝2，
∴2b＞2，即：b＞1，
因为对称轴x＝﹣介于﹣1与0之间，因此﹣＞﹣1，得2a＞b，而b＞1，
∴a＞，因此④正确，符合题意；
⑤由④知，a+b+c＝2，则a+c＝2﹣b，而b＞1，故﹣b＜﹣1，则2﹣b＜1，
故⑤正确，符合题意；
故②③④⑤正确，符合题意，
故选：D．
7．（2018•安岳县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤
【思路引导】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2．
【完整解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
8．（2018•江岸区校级自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路引导】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【完整解答】（1）由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；
（3）∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∵c＝3，∴9a+3b+3＝3，∴9a+3b＝0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确；
（4）∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．
故选：C．
9．（2014秋•北塘区期末）如图，点A（a，b）是抛物线y＝x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【思路引导】过点A、B分别作x轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．△AOB的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可判断④是否正确．
【完整解答】过A、B分别作AC⊥x轴于C、BD⊥x轴于D，则：AC＝b，OC＝﹣a，OD＝c，BD＝d；
（1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有：
＝，即＝，
∴ac＝﹣bd，
故②正确．

（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，有：
b＝a2…Ⅰ、d＝c2…Ⅱ；
Ⅰ×Ⅱ，得：bd＝a2c2，即﹣ac＝a2c2，ac＝﹣4．
故①正确．

（3）S△AOB＝S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BOD
＝（b+d）（c﹣a）﹣（﹣a）b﹣cd
＝bc﹣ad＝（bc﹣•）＝（bc+）
由此可看出，△AOB的面积不为定值，
故③错误．

（4）设直线AB的解析式为：y＝kx+h，代入A、B的坐标，得：
ak+h＝b…Ⅲ、ck+h＝d…Ⅳ
Ⅲ×c﹣Ⅳ×a，得：
h＝＝＝﹣ac＝2；
∴直线AB与y轴的交点为（0，2）．
故④正确．
综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，
故选：B．
二．填空题
10．（2021•苏州模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+a﹣3在﹣2≤x≤2时的函数值始终是负的，则常数a的取值范围是 a＜且a≠0 ．
【思路引导】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数的性质判断即可．
【完整解答】y＝ax2+2ax+a﹣3＝a（x+1）2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
当a＜0时，y＜0，
当a＞0时，由题意得，当x＝2时，y＜0，
即9a﹣3＜0，
解得，a＜，
由二次函数的定义可知，a≠0，
故答案为：a＜且a≠0．
11．（2020秋•平阴县期末）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：
那么该二次函数在x＝0时，y＝ 3 ．
【思路引导】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x＝0时，y的值即可．
【完整解答】由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），
∴对称轴为x＝2，
∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值，
∵当x＝4时，y＝3，
∴当x＝0时，y＝3．
故答案是：3．
12．（2021•日喀则市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴是直线x＝1，有以下四个结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③b＝﹣2a；④a+b+c＞2，
其中正确的是 ②③④ （填写序号）
【思路引导】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【完整解答】①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴a、b异号，即b＞0，
∴abc＜0；
故本结论错误；
②从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△＝b2﹣4ac＞0；
故本结论正确；
③∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
故本结论正确；
④由图象知，x＝1时y＞2，所以a+b+c＞2，故本结论正确．
故答案为②③④．
13．（2021•建平县模拟）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≥0 ．
【思路引导】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【完整解答】抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m+1，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m+1≤1，
解得m≥0．
故m的取值范围是m≥0．
故答案为：m≥0．
14．（2021•苏州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表：
现给出下列说法：
①该函数开口向下．
②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y轴的直线．
③当x＝2时，y＝3．
④方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在3与4之间．
其中正确的说法为 ①③④ ．（只需写出序号）
【思路引导】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对①进行判断；利用x＝0和x＝3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝1和x＝2的函数值相等，则可对③进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝﹣1和x＝4的函数值相等，则可对④进行判断．
【完整解答】∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，所以①正确；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，所以②错误；
点（1，3）和点（2，3）为对称点，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，所以④正确．
故答案为①③④．
15．（2019春•西湖区校级月考）已知直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，则抛物线的解析式为 y＝﹣x2+5x﹣ ；
（2）当抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上平移时，若△OMN与△AOB相似，则点M的坐标为 （2，﹣1）、（4，3） ．
【思路引导】（1）抛物线的顶点为：（，0），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣）2，即可求解；
（2）当∠OMN＝90°时，则直线OM表达式中的k值为﹣，即＝﹣，即可求解；当∠ONM＝90°时，同理可得：点M（4，3）；当∠MON＝90°时，证明tan∠GMO＝tan∠HON，即：，即可求解．
【完整解答】（1）直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，
则点A、B的坐标分别为：（，0）、（0，﹣5），
则抛物线的顶点为（，0），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣）2，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+5x﹣，
故答案为：y＝﹣x2+5x﹣；
（2）设点M（m，2m﹣5），点N（x，y），
将抛物线表达式与直线表达式联立并整理得：
﹣（x﹣m）2+2m﹣5＝2x﹣5，
x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0，
（x﹣m）（x﹣m+2）＝0，
则x＝m或m﹣2，故点N（m﹣2，2m﹣9），
则MN＝2，则AB＝，
①当∠OMN＝90°时，
则直线OM表达式中的k值为﹣，
即＝﹣，解得：m＝2，
故点M、N的坐标分别为：（2，﹣1）、（0，﹣5），
则OM＝，ON＝5，
经验证：，满足△OMN与△AOB相似，
故点M（2，﹣1）；
②当∠ONM＝90°时，
同理可得：点M（4，3）；
③当∠MON＝90°时，
过点M、N分别作y轴的垂线交于点G、H，
∵∠GMO+∠GOM＝90°，∠GOM+∠HON＝90°，
∴∠GMO＝∠HON＝α，则tan∠GMO＝tan∠HON，
即：，解得：m＝3，
故点M（3，1）（△OMN为等腰直角三角形，故舍去）；
综上，点M的坐标为：（2，﹣1）、（4，3），
故答案为：（2，﹣1）、（4，3）．
16．（2019•张店区二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象过点A（3，m）．
（1）当a＝﹣1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标 （1，4） ；
（2）如图，直线l：y＝kx+c（k＜0）交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线l于点D，作QE⊥y轴于点E，连接DE．设∠QED＝β，当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，a＝ ﹣ ．
【思路引导】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，可以直接得到答案；
（2）将点Q（x，y）代入抛物线解析式得到：y＝ax2﹣2ax+c．结合一次函数解析式推知：D（x，kx+c）．则由两点间的距离公式知QD＝ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）＝ax2﹣（2a+k）x．在Rt△QED中，由锐角三角函数的定义推知tanβ＝＝＝ax﹣2a﹣k．所以tanβ随着x的增大而减小．结合已知条件列出方程组，解该方程组即可求得a的值．
【完整解答】（1）当a＝﹣1，m＝0时，y＝﹣x2+2x+c，A点的坐标为（3，0），
∴﹣9+6+c＝0．
解得 c＝3．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
即y＝﹣（x﹣1）2+4．
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．

（2）∵点Q（x，y）在抛物线上，
∴y＝ax2﹣2ax+c．
又∵QD⊥x轴交直线 l：y＝kx+c（k＜0）于点D，
∴D点的坐标为（x，kx+c）．
又∵点Q是抛物线上点B，C之间的一个动点，
∴QD＝ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）＝ax2﹣（2a+k）x．
∵QE＝x，
∴在Rt△QED中，tanβ＝＝＝ax﹣2a﹣k．
∴tanβ是关于x的一次函数，
∵a＜0，
∴tanβ随着x的增大而减小．
又∵当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，且tanβ随着β的增大而增大，
∴当x＝2时，β＝60°；当x＝4时，β＝30°．
∴，
解得 ，
故答案为：﹣．
17．（2018秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣3与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，则点P的坐标是 （0，6）或P（0，﹣） ．
【思路引导】过点F作FM⊥x轴，垂足为M．设E（0，t），则OE＝t，则F（6，4t），将点F的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值，最后，依据ct∠FAB＝的值；然后求得ct∠DAB＝，则∠FAB＝∠DAB．当点P在AF的上方时可证明PF∥AB，从而可求得点P的坐标；当点P在AF的下方时，设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA＝∠FAB，可得到FG＝AG，从而可求得m的值，然后再求得PF的解析式，从而可得到点P的坐标．
【完整解答】过点F作FM⊥x轴，垂足为M．
设E（0，t），则OE＝t．
∵＝，
∴＝＝．
∴F（6，4t）．
将点F（6，4t）代入y＝x2﹣x﹣3得：×62﹣3×6﹣3＝0，解得t＝．
∴ct∠FAB＝＝．
∵y＝﹣3＝（x+2）（x﹣4）．
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
易得抛物线的对称轴为x＝1，C（0，﹣3）．
∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
∴D（2，﹣3）．
∴ct∠DAB＝，
∴∠FAB＝∠DAB．
如下图所示：
当点P在AF的上方时，∠PFA＝∠DAB＝∠FAB，
∴PF∥AB，
∴yP＝yF＝6．
由（1）可知：F（6，4t），t＝．
∴F（6，6）．
∴点P的坐标为（0，6）．
当点P在AF的下方时，如下图所示：
设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA＝∠FAB，可得到FG＝AG，
∴（6﹣m）2+62＝（m+2）2，解得：m＝，
∴G（，0）．
设PF的解析式为y＝kx+b，将点F和点G的坐标代入得：，
解得：k＝，b＝﹣．
∴P（0，﹣）．
综上所述，点P的坐标为（0，6）或P（0，﹣）．
故答案是：（0，6）或P（0，﹣）．
18．（2018秋•增城区期末）抛物线y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0 ④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正确的为 1，2，6 （填序号）．
【思路引导】由抛物线的开口向上知a＞0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c＞0，由此判定①正确；
由对称轴为x＝＝﹣2，得4a＝b，∴a、b同号，即b＞0，然后即可判定⑤错误；
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，由此判定④错误；
当x＝1时，y＝a+b+C＞0，由此判定②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，由此判定③错误；
由图象知道a﹣b+c＜0，而4a＝b，可以推出c＜3a，进一步得到4a＞c，由此判定⑥正确．
【完整解答】∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴①正确；
∵b＝4a，
∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＞0，
∴⑤错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴④错误；

当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴②正确；

当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴③错误；

∵a﹣b+c＜0，4a＝b，
∴c＜3a，
∴4a＞c，
∴⑥正确．
故填空答案：①②⑥．
三．解答题
19．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．
【思路引导】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，进而求解；
（3）在点OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，利用解直角三角形的方法，求出OM的长度，进而求解．
【完整解答】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝4，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4①；

（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
即点H的坐标为（2，0），
则CH和抛物线的交点即为点P，
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣8）；

（3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
过点E作EF⊥BC于点F，
在△BCE中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
则EF＝EB＝（4﹣2）＝＝BF，
由点B、C的坐标知，BC＝4，
则CF＝BC﹣BF＝4＝3，
则tan∠ECB＝＝＝＝tan∠AMO，
则tan∠AMO＝＝＝，
则OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
则t＝2或10．
20．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【思路引导】（1）将点（﹣2，0）代入求解．
（2）分别求出点A,B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
【完整解答】（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9,
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得n＝5或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5,﹣9≤yP＜16．
21．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
【思路引导】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）设BP与y轴交于点E，设OE＝a，则CE＝4﹣a，BE＝4﹣a，运用勾股定理可求得a＝，得出E（0，），再利用待定系数法即可求出答案；
（3）设PD与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，利用待定系数法求出直线AC表达式，再利用BM∥PN，可得△PNQ∽△BMQ，进而得出＝＝，设P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），则N（a0，a0+4），从而得到＝，利用二次函数的性质即可求得答案．
【完整解答】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
设OE＝a，则CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a＝，
∴E（0，），
设BE所在直线表达式为y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；
（3）有最大值．
如图，设PD与AC交于点N，
过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，
设直线AC表达式为y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AC表达式为y＝x+4，
∴M点的坐标为（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝，
设P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），则N（a0，a0+4），
∴＝＝＝，
∴当a0＝﹣2时，有最大值，
此时，点P的坐标为（﹣2，6）．
22．（2021•连云港）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
【思路引导】（1）把点B坐标直接代入抛物线的表达式，可求m的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点C的坐标，设直线BC的表达式，把点B和点C的坐标代入函数表达式即可；
（2）过点A作直线BC的平行线AP1，联立直线AP1与抛物线表达式可求出P1的坐标；设出直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线P2P3，联立直线表达式与抛物线表达式，可求出点P的坐标；
（3）取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，可得△CDE≌△DAF，求出点D的坐标，联立求出点Q的坐标．
【完整解答】（1）将B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化简得，m2+m＝0，
则m＝0（舍）或m＝﹣1，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3．
∴C（0，﹣3），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入表达式，可得，
，解得，，
∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3．
（2）如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3．
由（1）得直线BC的表达式为y＝x﹣3，A（1，0），
∴直线AG的表达式为y＝x﹣1，
联立，解得，或，
∴P1（2，1）或（1，0），
由直线AG的表达式可得G（0，﹣1），
∴GC＝2，CH＝2，
∴直线P2P3的表达式为：y＝x﹣5，
联立，
解得，，或，，
∴P2（，），P3（，），；
综上可得，符合题意的点P的坐标为：（2，1），（1，0），（，），（，）；
（3）如图，取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
则△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴AF＝DE，CE＝DF．
设DE＝AF＝a，则CE＝DF＝a+1，
由OC＝3，则DF＝3﹣a，
∴a+1＝3﹣a，解得a＝1．
∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3），
∴直线CD对应的表达式为y＝x﹣3，
设Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3，
∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2﹣n＝0．
又n≠0，则n＝．
∴Q（，﹣）．
23．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【思路引导】（1）利用待定系数法将A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝x2+bx+c，即可求得答案；
（2）先运用待定系数法求出AB的函数表达式，设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，根据点E在直线y＝x﹣1上，PE∥x轴，可得出PE＝﹣2（t﹣2）2+8，再根据△PDE∽△AOC，即可得到△PDE的周长l＝﹣（t﹣2）2++8，运用二次函数最值方法即可求出答案；
（3）分两种情况：①若AB是平行四边形的对角线，②若AB是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
【完整解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣1；
（2）如图1，设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，
∵A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1，
令y＝0，得x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，
∵点E在直线y＝x﹣1上，PE∥x轴，
∴t2﹣t﹣1＝x﹣1，
∴x＝2t2﹣7t，
∴E（2t2﹣7t，t2﹣t﹣1），
∴PE＝t﹣（2t2﹣7t）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，
∵PD⊥AB，
∴∠AOC＝∠PDE＝90°，
又∵PE∥x轴，
∴∠OCA＝∠PED，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴△AOC的周长为3+，
令△PDE的周长为l，则＝，
∴l＝•[﹣2（t﹣2）2+8]＝﹣（t﹣2）2++8，
∴当t＝2时，△PDE周长取得最大值，最大值为+8．
此时，点P的坐标为（2，﹣4）．
（3）如图2，满足条件的点M坐标为（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x，对称轴为直线x＝2，
①若AB是平行四边形的对角线，
当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，
即MN经过AB的中点C（2，0），
∵点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，﹣4），
②若AB是平行四边形的边，
Ⅰ．当MN∥AB且MN＝AB时，四边形ABNM是平行四边形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2﹣4＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，12）；
Ⅱ．当NM∥AB且NM＝AB时，四边形ABMN是平行四边形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2+4＝6，
∴点M的坐标为（6，12）；
综上所述，点M的坐标为（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．
24．（2020秋•射洪市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）根据坐标轴上点的特征以及待定系数法进行求解即可；
（2）联立y＝kx和y＝x2﹣2x﹣3，根据根与系数的关系推出xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3，再根据题意易求得k＝﹣2，将其代入x2﹣（2+k）x﹣3＝0，进而求得点A和点B的坐标；
（3）结合图形可知S△ABC＝OC•|xA﹣xB|，利用根与系数的关系进行代入求解即可．
【完整解答】（1）令抛物线y＝ax2+bx﹣3中x＝0，则y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，
代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）将y＝kx代入y＝x2﹣2x﹣3得：kx＝x2﹣2x﹣3，
整理得：x2﹣（2+k）x﹣3＝0，
∴xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3，
∵原点O为线段AB的中点，
∴xA+xB＝2+k＝0，
解得k＝﹣2，
将k＝﹣2代入x2﹣（2+k）x﹣3＝0，
解得：xA＝﹣，xB＝，
∴yA＝﹣2xA＝2，yB＝﹣2xB＝﹣2，
故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A、B坐标分别为（﹣，2），（，﹣2）；
（3）假设存在，
由（2）可知xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3，
根据题意S△ABC＝OC•|xA﹣xB|＝×3×＝3，
解得（k+2）2＝16，
∴k+2＝±4，
∴k＝2或k＝﹣6，
故存在k＝2或k＝﹣6，使得△ABC的面积为．
25．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；
（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）运用待定系数法将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，解方程组即可求得答案；
（2）根据题意，当S1＝S2+5，即S△ABD＝S△ABC+5，设D（x，y），表示出△ABD和△ABC的面积，列方程求解即可；
（3）分情况讨论，列出三角形相似的三种情况，画出相应图形，设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），运用相似三角形性质，建立方程求解即可．
【完整解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∵S1＝S2+5，
∴S1+S△AEB＝S2+S△AEB+5，
即S△ABD＝S△ABC+5，
∵A（4，0），B（﹣1，0），
∴AB＝5，
设D（x，y），
∴×5×y＝×5×4+5，
∴y＝6，
∴﹣x2+3x+4＝6，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴D1（1，6），D2（2，6）；
（3）设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），
①如图2，△BOC∽△NMC，
则＝，
∴＝，
解得：m＝0（舍去），m＝，
经检验，m＝是原方程的解，
∴M（，4）；
②如图3，△BOC∽△CMN，
则＝，
∴＝，
解得：m＝0（舍去），m＝﹣1，
经检验，m＝﹣1是原方程的解，
∴M（﹣1，4）；
③如图4，△BOC∽△NMC，
则＝，
∴＝，
解得：m＝0（舍去），m＝，
经检验，m＝是原方程的解，
∴M（，4）；
④如图5，△BOC∽△CMN，
则＝，
∴＝，
解得：m＝0（舍去），m＝7，
经检验，m＝7是原方程的解，
∴M（7，4）；
综上所述，点M的坐标为（，4）或（﹣1，4）或（，4）或（7，4）．
26．（2020秋•自贡期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C的坐标；
（3）无论k取何值，抛物线都经过定点H，当直线HN与y轴的交角为45°时，求k的值．
【思路引导】（1）把A点代入解析式即可求出k值，进而确定函数解析式；
（2）由题知，E是CD中点，设出C点和E点坐标，求出直线AB的表达式，根据E点在直线AB上即可求出C点坐标；
（3）先求出定点H的坐标，在利用顶点公式确定N的坐标，画图分情况讨论k值即可．
【完整解答】（1）∵抛物线过点A（﹣3，1），
∴﹣9﹣3k﹣2k＝1，
解得k＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）如图，设C点坐标为（t，﹣t2﹣2t+4），则E（t，﹣﹣t+2），
设直线AB的解析式为y＝sx+t，
代入A点，B点坐标，得，
解得，
故直线AB的解析式为y＝x+4，
∵点E在直线AB上，
∴﹣﹣t+2＝t+4，
解得t1＝t2＝﹣2，
∴C（﹣2，4）；
（3）∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+kx﹣2k＝﹣x2+k（x﹣2），
当x＝2时，y＝﹣4，
∴无论k取何值，抛物线都过点H（2，﹣4），
由顶点坐标公式可得，N（，﹣2k），
①如图1，连接HN并延长，交x轴于P，交y轴于Q，过H，N分别作y轴，x轴的垂线交于点G，
此时＞2，即k＞4，
∵HN与y轴的夹角为45°，即∠OQP＝45°，
∴∠NHG＝45°，而∠G＝90°，
∴NG＝HG，
则G（，﹣4），
tan∠GNH＝＝＝1，
解得k＝6或k＝4（舍去），
②如图2，连接HN并延长，交x轴于P，交y轴于Q，过H，N分别作y轴，x轴的垂线交于点G，
此时＜2，即k＜4，
∵HN与y轴的夹角为45°，即∠OQP＝45°，
∴∠NHG＝45°，而∠G＝90°，
∴NG＝HG，
则G（，﹣4），
tan∠GNH＝＝＝1，
解得k＝2或k＝4（舍去），
综上，k的值为6或2．
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣1
3
5
3
…
x
…
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
0
﹣1
0
3
…
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣1
3
5
3
…
x
…
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
0
﹣1
0
3
…
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…