人教版数学九上期末复习讲练专项08 二次函数的图像与性质（2份，原卷版+解析版）

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考点1 根据函数解析式判断函数性质
考点2 根据函数解析式判断函数图像
一、选择题
1．（2022春•九龙坡区校级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：当a＞0时，y＝ax的函数图像经过原点和一，三象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向下，与y轴交于正半轴．
当a＜0时，y＝ax函数图像经过原点和二，四象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向上，与y轴交于负半轴．
故选：C．
2．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，
x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
3．（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
【答案】D
【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝﹣，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
4．（2022•梧州模拟）在函数①y＝4x2，②，③中，图象开口大小顺序用序号表示应为（ ）
A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③
【答案】C
【解答】解：∵|4|＝4，||＝，|﹣|＝，
∴＜＜4，
∵|a|越小，开口越大，
∴②＞③＞①，
故选：C．
5．（2022•老河口市模拟）如图，二次函数y＝αx2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列结论错误的是（ ）
A．αbc＞0B．b2﹣4αc＞0C．2α﹣b＝0D．3α+2c＜0
【答案】D
【解答】解：∵二次函数开口向下，
∴a＜0，
∵图象交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴x＝＝﹣1，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故A选项正确，不符合题意；
∵二次函数与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
故B选项正确，不符合题意；
∵对称轴x＝＝﹣1，
∴﹣b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝0，
故C选项正确，不符合题意；
∵2a﹣b＝0，
∴b＝2a，
∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
即a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∵c＞0，
∴3a+2c＞0，
故D选项错误，符合题意；
故选：D．
6．（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（ ）
A．±B．﹣或C．﹣或D．或2
【答案】B
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，
∴对称轴为x＝＝＝2，
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，
将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m＝，
②当m＜0时，
∵二次函数开口向下，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，
将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m＝﹣，
综上，m的值为或﹣，
故选：B．
7．（2022•武进区一模）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（1，3）
【答案】B
【解答】解：∵二次函数为y＝2（x+1）2+3，
∴顶点坐标为：（﹣1，3），
故选：B．
8．（2022•岚山区一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．则下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＝0；④若（﹣，y1）（，y2）是图象上的两点，则y1＞y2；⑤若y≤c，则﹣2≤x≤0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴在x轴的负半轴，
∴a，b同号，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
设抛物线与x轴的另一个交点为（x，0），由题意得，
对称轴x＝＝﹣1，解得x＝1，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
当x＝2时，y＝4a+2b+c，根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可知，y＞0，即4a+2b+c＞0，②正确；
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
把b＝2a代入a+b+c＝0得3a+c＝0，③正确；
设抛物线上与点（﹣，y1）的对称点为（x1，y1），
由题意得（﹣+x1）＝﹣1，
解得x1＝﹣，
∵﹣＜，
根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可得，y1＜y2，④错误．
由题图可知，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
设抛物线上与（0，c）对称的点的坐标为（x2，c），
由题意得（0+x2）＝﹣1，解得x2＝﹣2，
由题图可以看出，当y≤c时，﹣2≤x≤0，⑤正确．
共有3个选项正确．
故选：B．
9．（2022•长清区二模）二次函数y＝ax2﹣6ax﹣5（a≠0），当5≤x≤6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解答】解：原函数化为：y＝a（x﹣3）2﹣9a﹣5，
当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴当5≤x≤6时，y随x的增大而增大，
∴﹣5a﹣5≤y≤﹣5，
∵y的整数值只有4个，
∴﹣9＜﹣5a﹣5≤﹣8，
∴≤a＜，
当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝3，
∴当5≤x≤6时，y随x的增大而减小，
∴﹣5≤y≤﹣5a﹣5，
∵y的整数值只有4个，
∴﹣2≤﹣5a﹣5＜﹣1，
∴﹣＜a≤﹣．
综上：﹣＜a≤﹣或≤a＜，
故选：D．
10．（2022•滦南县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t，n），则2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0．
①∵（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a），
当x＝1时，
y＝a+b+c＞0．
∵a＜0，
∴﹣a＞0，
∵b＞0，c＞0，
∴b+c﹣a＞0，
∴（b+c+a）（b+c﹣a）＞0，即（b+c）2＞a2，
故①正确；
②由二次函数图象的对称性可知，当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
故②正确；
③由图象可知，当x＝1时，二次函数取得最大值，
即最大值为a+b+c．
∴当x＝m时，y＝am2+bm+c＝m（am+b）+c≤a+b+c，
即a+b≥m（am+b）．
故③正确；
④由二次函数图象的对称性可知，图象上的点C（t，n）关于对称轴x＝1对称的点的坐标为（2﹣t，n），且点（2﹣t，n）在二次函数图象上，
∴x＝2﹣t是方程ax2+bx+c＝n的一个根．
故④正确．
故选：D．
11．（2022•吴中区模拟）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝3D．x＝﹣1
【答案】D
【解答】解：∵y＝2（x+3）（x﹣1）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
∴对称轴为x＝
＝
＝﹣1，
故选：D．
12．（2022•乐陵市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示，则方程ax2+bx+1.37＝0的根是（ ）
A．0或4B．或4﹣C．1或5D．无实根
【答案】B
【解答】解：将（0，0.37）代入y＝ax2+bx+c得c＝0.37，
∵抛物线经过（0，0.37），（4，0.37），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
ax2+bx+1.37＝0可整理为ax2+bx+c＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的一个交点坐标为（ ，﹣1），
由抛物线的对称性可得：抛物线与直线y＝﹣1的另一交点坐标为（4﹣，﹣1），
∴ax2+bx+1.37＝0的根是x1＝或x2＝4﹣．
故选：B．
13．（2022•泰山区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣4，0），其对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③3b+2c＞0；
④a﹣b≥am2+bm．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0．
∵对称轴在x轴负半轴，
∴x＝﹣＜0，
∴＞0，即a，b同号，
∴b＜0．
∴abc＞0．故①错误；
②设抛物线与x轴的另一个交点为（x，0）由题意得，
对称轴x＝＝﹣1，解得x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）．
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，故②错误；
③由②得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，函数y＝a+b+c＞0
∵抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴a＝b，
∴a+b+c＝b+b+c＞0，整理得3b+2c＞0．故③正确；
④∵由题意得，（﹣1，y1）是抛物线的顶点坐标，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最大值y1＝a﹣b+c，
∴无论x取何值，二次函数值都不大于y1，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，整理得a﹣b≥am2+bm．故④正确．
综上所述，以上结论共有2个正确．
故选：B．
14．（2022•石景山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式
②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2
④若y＞0，则x＞3
其中所有正确的结论为（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①③
【答案】D
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝3时的函数值相同，都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
当x＝1时，y＝﹣2
∴抛物线的顶点为（1，﹣2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式，
所以①正确；
∵由表格可知x＝1时函数的值最小，
∴抛物线的开口向上，
故②错误；
∵x＝0与x＝2关于对称轴对称，
∴x＝0时，y＝﹣1.5，x＝3时，y＝﹣1.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2，
故③正确；
∵抛物线的开口向上，x＝﹣1和x＝3时，y＝0，
∴若y＞0，则x＞3或x＜﹣1，
故④错误；
综上所述：其中正确的结论有①③．
故选：D．
15．（2022•晋中一模）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝﹣x2+x+1，则板球运行中离地面的最大高度为（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】B
【解答】解：将二次函数y＝﹣x2+x+1，化成y＝﹣（x﹣4）2+，
当x＝4时，y有最大值，y最大值＝，
因此，板球运行中离地面的最大高度为．
故选：B．
16．（2022•拱墅区模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣6，n），B（m+2，n），则n的值为（ ）
A．﹣32B．﹣18C．﹣16D．﹣12
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过点A（m﹣6，n），B（m+2，n），
∴对称轴是直线x＝m﹣2．
又∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴设抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣m+2）2，
把A（m﹣6，n）代入，得
n＝﹣2（m﹣6﹣m+2）2＝﹣32，即n＝﹣32．
故选：A．
17．（2022•石家庄模拟）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
【答案】D
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x＜时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x＞时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在x＝处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．
故选：D．
18．（2022•舟山一模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣＜a≤﹣或a≥1B．a≥﹣或a＜﹣
C．≤a≤1且a≠0D．a≤﹣或a≥1
【答案】A
【解答】解：当a＞0时，x＝﹣2时y≥3，x＝2时，y≥1，
∴，
解得a≥1，
当a＜0时，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2，
联立方程组，
∴ax2﹣x﹣1＝0，
∴Δ＝+4a＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
当x＝﹣2时，y＝4a+4+1＝3，
∴a＝﹣，此时抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴﹣＜a≤﹣，
综上所述：a≥1或﹣＜a≤﹣时，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
故选：A．
19．（2022•罗湖区校级一模）如图，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1，当直线y＝x+b（b＜1）与图形C1恰有两个公共点时，则b的取值范围是（ ）
A．﹣3＜b＜1B．﹣3≤b＜1C．﹣1≤b＜1D．﹣1＜b＜1
【答案】A
【解答】解：如图，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
即：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
当直线y＝x+b经过点B时，与新图象有一个公共点，
把B（3，0）代入y＝x+b得：
3+b＝0，
∴b＝﹣3，
当直线y＝x+b经过点A时，与新图象有三个公共点，
把A（﹣1，0）代入y＝x+b中得：
﹣1+b＝0，
∴b＝1，
∴当直线y＝x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围是﹣3＜b＜1．
故选：A．
20．（2021•仁怀市模拟）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．B．C．﹣6≤m≤﹣2D．﹣7≤m≤﹣3
【答案】D
【解答】解：如图所示，直线l、n在图示位置时，直线与新图象有3个交点，
y＝﹣x2+x+6，令y＝0，则x＝3或﹣2，则点A（3，0），
将点A的坐标代入y＝x+m并解得：m＝﹣3，
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，对应的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣6，
联立y＝x2﹣x﹣6、y＝x+m并整理得：x2﹣2x﹣6﹣m＝0，
Δ＝4+4（6+m）＝0，
解得：m＝﹣7，
故答案为：﹣7或﹣3．
有上图可以看出：
当﹣7＜m＜﹣3时，直线y＝x+m与这个新图象有四个交点，
故选：D．
21．（2022•历下区一模）已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：设抛物线P'上任意一点（x，y），
则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，
∴抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，
∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，
当x＝2a时，y有最大值4a2+3，
∵1≤x≤3，
①当2a＜1时，即a＜，x＝1时y有最大值，
∴2+4a≤3，
∴a≤，
此时a≤；
②当2a＞3时，即a＞，x＝3时y有最大值，
∴﹣6+12a≤3，
∴a≤，
此时a不存在；
③当1≤2a≤3时，即≤a≤，x＝2a时y有最大值，
∴4a2+3≤3
∴a＝0，
此时a不存在；
综上所述：0＜a≤，
故选：A．
22．（2021秋•房县期末）二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（ ）
A．一个交点B．两个交点C．三个交点D．无交点
【答案】C
【解答】解：当x＝0时，y＝1，
当y＝0时，0＝﹣x2+2x+1，
∴△＝b2﹣4ac
＝22﹣4•（﹣1）•1
＝8＞0．
∴与x轴有两个交点
∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点．
故选：C．
23．（2022•定远县校级开学）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝﹣ax﹣b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：因为y＝ax2+bx的图象经过原点，故排除B、C；A选项中，因为二次函数图象开口向上，故a＞0，则﹣a＜0，一次函数y＝﹣ax﹣b图象下降，不符合，故A错；D符合题意．
故选：D．
24．（2022春•福州期末）若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣1图象上的三点，则y3，y2，y1的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【解答】解：∵A（﹣6，y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣1图象上的三点，
∴y1＝71，y2＝17，y3＝1，
∴y3＜y2＜y1．
故选：A．
25．（2022•兴宁区校级模拟）二次函数的图象（1≤x≤3）如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（ ）
A．y≥1B．1≤y≤3C．D．0≤y≤3
【答案】C
【解答】解：∵函数y的最小值是，最大值是3，
∴函数y的取值范围是≤y≤3，
故选：C．
26．（2021秋•晋江市校级期末）对于函数y＝﹣3（x﹣5）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下B．x＞5时，y随x增大而增大
C．最大值为0D．与y轴交点在x轴下方
【答案】B
【解答】解：∵﹣3＜0，
∴抛物线y＝﹣3（x﹣5）2的开口向下，
∴A选项的说法正确；
∵抛物线y＝﹣3（x﹣5）2的开口向下，对称轴为直线x＝5，
∴当x＞5时，随x增大而减小，
∴B选项的说法不正确；
∵抛物线y＝﹣3（x﹣5）2的开口向下，顶点为（5，0），
∴函数y＝﹣3（x﹣5）2有最大值0．
∴C选项的说法正确；
∵函数y＝﹣3（x﹣5）2，当x＝0时，y＝﹣75＜0，
∴函数y＝﹣3（x﹣5）2与y轴交点为（0，﹣75），在x轴下方，
∴D选项的说法正确．
综上，说法不正确的是B，
故选：B．
27．（2021秋•峄城区期末）抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，2）B．（﹣2，0）
C．（﹣2，0）、（1，0）D．（0，﹣2）
【答案】D
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2，
∴抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．
故选：D．
28．（2021秋•澧县期末）已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．mB．mC．m且m≠1D．m且m≠1
【答案】D
【解答】解：令（m﹣1）x2+3x﹣1＝0，
则Δ＝32+4（m﹣1）＝4m+5，
当4m+5≥0时，即m≥﹣时图象与x轴有交点，
∵m﹣1≠0，
∴m≥﹣且m≠1，
故选：D．
29．（2021秋•樊城区期末）对称轴为y轴的二次函数是（ ）
A．y＝（x+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1D．y＝﹣（x﹣1）2
【答案】C
【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，
故选：C．
30．（2022•襄城区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④b＝2a．其中正确的是（ ）
A．④B．③C．②D．①
【答案】B
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，故②不符合题意．
③∵＝1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，故③符合题意．
④∵＝1，
∴b＝﹣2a，故④不符合题意．
故选：B．
31．（2022•永昌县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝1，
∴＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由＝1可知：b＝﹣2a，
∵抛物线过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，故②符合题意．
③由图象可知：x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，故③符合题意．
④由图象可知：x＝1时，y的最大值为a+b+c，
∴当x＝m时（m≠1），
∴am2+bm+c＜a+b+c，
∴a+b＞m（am+b），故④符合题意．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
32．（2022•泌阳县四模）请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式 ．
【答案】y＝x2+1
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
且与y轴的交点为（0，1），
∴函数解析式可以为：y＝x2+1（答案不唯一），
故答案为：y＝x2+1．
33．（2022春•长春月考）如图，“心”形是由抛物线y＝﹣x2+6和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB＝ ．
【答案】6
【解答】解：如图1，连接OD，过点B作BH⊥OC于点H，
∵抛物线y＝﹣x2+6和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形交于A、B两点，
∴∠COD＝60°，C、D关于直线OB对称，
∴∠COB＝∠BOD＝30°，
∵∠OHB＝90°，
∴OB＝2BH，设BH＝a，则OB＝2a，
∴OH＝＝＝a，
∴B（a，a），
∵抛物线y＝﹣x2+6经过点B，
∴a＝﹣a2+6，
解得：a＝或﹣2 ，
∴B（ ，3），B（﹣2 ，﹣6）（舍去）
∴直线AB的解析式为：y＝x，
联立，
解得：xA＝﹣2，xB＝，
∴A点坐标是：（﹣2，﹣6）
∴AB＝＝6 ．
故答案为：6．
34．（2022春•崇川区校级月考）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣3﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜2的范围内有实数根，则t的取值范围是 ．
【答案】﹣4≤t＜5
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝﹣2．
∴关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣3﹣t＝0为：x2+2x﹣3﹣t＝0．
当x＝﹣3时，
9﹣6﹣3﹣t＝0，
解得：t＝0．
当x＝2时，
4+4﹣3﹣t＝0，
解得：t＝5．
∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣3﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜2的范围内有实数根，
∴0＜t＜5．
关于x的一元二次方程x2+2x﹣3﹣t＝0（t为实数）有实数根，可以看作是抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝t有交点，
∵抛物线y＝x2+2x﹣3在x＝﹣1时有最小值﹣4，
∴t的取值范围是：﹣4≤t≤5．
故答案为：﹣4≤t＜5．
35．（2021秋•淮安区期末）若函数y＝x2﹣x+m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ．
【答案】
【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
36．（2021秋•兴山县期末）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的公共点是（﹣1，0），（﹣3，0），该抛物线的对称轴是直线 ．
【答案】x＝﹣2
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（﹣3，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
a的正负决定开口方向
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
a，b共同决定对称轴位置
b=0
对称轴为y轴
a,b同号
对称轴在y左侧
a,b异号
对称轴在y轴右侧
c决定与y轴交点位置
C=0
抛物线过原点
c＞0
抛物线与y轴交于正半轴
c＜0
抛物线与y轴交于负半轴
b²-4ac决定与x轴交点个数
b²-4ac=0
与x轴有唯一交点
b²-4ac＞0
与x轴有两个交点
b²-4ac＜0
与x轴没有交点
x
…
0
4
…
y
…
0.37
﹣1
0.37
…
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
0
﹣1.5
﹣2
0
…
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…