2023年中考九年级数学重难点专项练习（综合题）：二次函数的图象与性质附答案

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2023年中考九年级数学专项练习（综合题）：二次函数的图象与性质附答案
一、综合题
1．如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点B(3，0)，C(0，3)，D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=−x2+bx+c的对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，请直接写出点M的坐标．





2．抛物线C：y＝ 12x[a（x﹣1）+x+1]（a为任意实数）．

（1）无论a取何值，抛物线C恒过定点　 　，　 　．
（2）当a＝1时，设抛物线C在第一象限依次经过的整数点（横、纵坐标均为整数的点）为A1，A2，……An，将抛物线C沿着直线y＝x（x≥0）平移，将平移后的抛物线记为C n，抛物线C n经过点An，C n的顶点坐标为Mn（n为正整数且n＝1，2，…，n，例如n＝1时，抛物线C1经过点A1，C1的顶点坐标为M1）．
①抛物线C2的解析式为　 ▲ 　，顶点坐标为　 ▲ 　．
②抛物线C1上是否存在点P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出点P的坐标，并判断四边形PM1M2A2的形状；若不存在，请说明理由．
③直接写出Mn﹣1，Mn两顶点间的距离：　 ▲ 　．








3．已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，顶点为A.

（1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP．
①当OA⊥OP时，求OP的长；
②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B，联结OB，当∠OAP=∠OBP时，求点B的坐标．




4．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m，宽AB=1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x(m)(x>0)，加长后水池1的总面积为y1(m2)，则y1关于x的函数解析式为：y1=x+4(x>0)；设水池2的边EF的长为x(m)(0