第2部分-预习-第17讲 点和圆、直线和圆的位置关系（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第17讲 点和圆、直线和圆的位置关系（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共21页。学案主要包含了例1-1，例1-2，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式1-4，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。

知识点1.点和圆的位置关系（重点）
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
知识点2.圆的确定条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
要点归纳：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
知识点3.三角形的外接圆
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
知识点4.反证法（难点）
1.反证法
假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法.
2.用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立;
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确
知识点5.直线和圆的位置关系（重点）
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

知识点6.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点）
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
（3）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（4）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（5）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
要点归纳：
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
知识点7.切线长及切线长定理（重点）
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
知识点8.三角形的内切圆
1.三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
要点归纳：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
知识点9.圆和圆的位置关系（拓展）
1．圆与圆的五种位置关系的定义
两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.
两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.

2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：
设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离 d＞r1+r2
两圆外切 d=r1+r2
两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)
两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2)
两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2)
要点归纳：
(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
考点1.点和圆的位置关系
【例1-1】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.
(1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
【例1-2】如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由．
【变式1-1】（2023秋•江夏区校级期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是
A．点在外B．点在上C．点在内D．无法确定
【变式1-2】（2024•蒸湘区一模）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为
A．2B．4C．6D．8
【变式1-3】（2024•榕城区校级三模）如图，为矩形的边的延长线上的动点，于，点在边上，若，，，则线段的最大值为 ．
【变式1-4】（2023秋•东光县期中）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．
（1）圆心的坐标为 ；
（2）判断点与的位置关系．
考点2.确定圆的条件
【例2】已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C.
【变式2-1】（2024•上饶一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为
A．4B．3C．2D．1
【变式2-2】．（2023秋•遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为、、，则、、这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以” ．
【变式2-3】．（2023秋•滨海县月考）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上．
考点3.三角形的外接圆
【例3-1】如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．
【例3-2】如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
【变式3-1】（2024•香洲区二模）如图，已知四边形，过，，的圆交于点，连接，，，则的度数为
A．B．C．D．
【变式3-2】．（2024•黑龙江）如图，内接于，是直径，若，则 ．
【变式3-3】．（2024•云岩区校级二模）如图，等边内接于，是上任一点（点不与点、重合），连接、，过点作交的延长线于点．
（1）求和的度数；
（2）求证：；
（3）若，，求四边形的面积．
考点4.直线与圆的位置关系
【例4-1】已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【例4-2】△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，以点B为圆心、6cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是________．
【例4-3】如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( )
A．(－1，－2) B．(1，2) C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
【例4-4】已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________．
【变式4-1】（2024春•丰城市校级月考）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024•汉川市模拟）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是
A．相切B．相离C．相交D．相切或相交
【变式4-3】．（2024•西湖区校级开学）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ．
【变式4-4】．（2023秋•安州区期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是 ．
考点5.切线的判定
【例5】如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．
【变式5-1】（2024•凉州区校级三模）如图，为的直径，点，在上，，．
求证：是的切线．
【变式5-2】（2024•赣州二模）如图，的顶点，在上，交于点，连接，已知．（1）若的半径为3，求弦的长；
（2）当，求证：是的切线．
【变式5-3】（2024•良庆区校级模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）求证：为的切线．
考点6.切线的性质
【例6-1】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝eq \r(,3)，求⊙O的半径．
【例6-2】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且eq \(AF,\s\up8(︵))＝eq \(FC,\s\up8(︵))＝eq \(CB,\s\up8(︵))，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝2eq \r(3)，求⊙O的半径．
【例6-3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是eq \(BC,\s\up8(︵))上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.
(1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
(2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长．
【变式6-1】（2024春•东昌府区校级月考）如图，四边形是平行四边形，是的直径，点在上，与相交于点，连接，过点作的切线交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【变式6-2】（2024•永城市校级二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，作切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
考点7.切线长定理
【例7-1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在eq \(AB,\s\up8(︵))上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．
【例7-2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．
【例7-3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
【变式7-1】（2024•城中区校级一模）如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为
A．60B．55C．45D．50
【变式7-2】．（2023秋•康县期末）如图，，是的切线，，为切点，，则
．
【变式7-3】（2022秋•永年区校级月考）已知、分别切于、，为劣弧上一点，过点的切线交于、交于．
（1）若，求的周长．
（2）若求．
考点8.三角形的内切圆
【例8-1】如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．
【例8-2】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧eq \(DE,\s\up8(︵))(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为( )
A．r B.eq \f(3,2)r C．2r D.eq \f(5,2)r
【变式8-1】（2024•阳新县校级二模）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则的大小是
A．B．C．D．
【变式8-2】．（2024•高青县模拟）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为
A．19B．17C．22D．20
【变式8-3】（2024•克什克腾旗一模）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为
A．B．C．D．
一．选择题（共10小题）
1．（2024•萨迦县一模）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接，，，若，则的度数为
A．B．C．D．
2．（2024•越秀区校级二模）在中，，是角平分线．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是
A．相交B．相切C．相离D．不确定
3．（2024•西宁二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为
A．0B．1或0C．0或2D．1或2
4．（2024•东莞市校级模拟）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为
A．8B．6C．12D．10
5．（2024•二道区校级四模）如图，为的直径，为的切线，连结交于点，连结．若，则的大小为
A．B．C．D．
6．（2024•福建）如图，已知点，在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于
A．B．C．D．
7．（2024•临邑县一模）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为
A．9B．10C．D．12
8．（2024春•大足区期末）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为
A．B．C．D．
9．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为
A．44B．42C．46D．47
10．（2024•武汉模拟）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为、，则的值为
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024•浙江）如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为 ．
12．（2024春•海淀区校级期末）如图，点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为优弧上一点，若，则 ．
13．（2024•龙马潭区校级二模）如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ．
14．（2024•西城区二模）如图，与相切于点．点，分别在，上，四边形为正方形．若，则 ．
15．（2024•六合区校级三模）如图，菱形的顶点，，在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 ．
16．（2024•南岗区校级二模）如图，已知四边形为菱形，以为直径作，过点作的切线交于点．若，则的度数为 ．
三．解答题（共4小题）
17．（2024•辽阳三模）如图，一个圆形瓶盖和一个直角三角形纸板，点在斜边上．与分别交于点和，与切于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径长．
18．（2024•凉州区三模）如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
19．（2024•民权县校级四模）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观
察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
20．（2024•河北区二模）在中，是的直径，，弦交于点，．
（Ⅰ）如图①，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，过点作于点，若，求的长．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
了解点和圆的三种位置关系的图形特征；掌握点到圆心的距离与半径之间的数量关系；掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆。
了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明。
掌握直线和圆的三种位置关系的特点及判别方法；了解割线、切线的概念；掌握切线的判定和性质，并能灵活运用。
了解并会应用切线长定理，了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
体验数形结合思想和建模思想，提高解决实际问题的能力。
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.