第2部分-预习-第16讲 圆的有关性质（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第16讲 圆的有关性质（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共20页。学案主要包含了例1-1，例1-2，例1-3，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式1-4，例2-1等内容，欢迎下载使用。

知识点1.圆（重点）
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
要点归纳：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点归纳：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
知识点2.圆的有关概念
1.弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
2.直径：
经过圆心的弦叫做直径.
要点归纳：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
3.弧的有关概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点归纳：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
4.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
5.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
知识点3.垂直于弦的直径（难点）
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的逆定理1
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的逆定理2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
要点归纳：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
知识点4.弧、弦、圆心角的关系（重点）
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等．
要点归纳：
等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
知识点5.圆周角（重点）
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
知识点6.圆内接多边形
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
1.圆内接四边形的对角互补．
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）
考点1.圆的有关概念
【例1-1】有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【例1-2】如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.
【例1-3】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．
【变式1-1】（2023秋•永善县期末）已知中最长的弦为8，则的半径是
A．4B．8C．12D．16
【变式1-2】．（2023秋•绥化期末）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】．（2023秋•游仙区期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．若，求的度数．
【变式1-4】．（2023秋•赣榆区月考）已知：如图，是的直径，点、在上，于，于，且，与相等吗？为什么？
考点2.垂径定理
【例2-1】如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )
A．2eq \r(3)cm B．3eq \r(2)cm
C．4eq \r(2)cm D．4eq \r(3)cm
【例2-2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的eq \(AB,\s\up8(︵)))，点O是这段弧的圆心，C是eq \(AB,\s\up8(︵))上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.
【例2-3】如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是eq \(AB,\s\up8(︵))、eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠MON的度数是( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
【例2-4】如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．
【例2-5】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
【变式2-1】．（2024•荔湾区校级三模）如图，是的直径，于，若，，则的半径是
A．B．C．D．
【变式2-2】．（2024•新疆）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为
A．1B．2C．3D．4
【变式2-3】．（2024•溧阳市一模）如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是
A．B．C．D．
【变式2-4】．（2024•凉州区二模）点，，都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长．
【变式2-5】．（2024•南郑区校级一模）如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求的半径．
考点3.圆心角、弦、弧之间的关系
【例3-1】如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )
A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB
【例3-2】如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是eq \(BE,\s\up8(︵))的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的大小是( )
A．40° B．60° C．80° D．120°
【例3-4】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).
【变式3-1】（2024•丛台区校级三模）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是
A．B．C．D．无法确定
【变式3-2】．（2024•桓台县一模）如图，的直径与弦交于点，且．若弧的度数为，则弧的度数为
A．B．C．D．
【变式3-3】如图所示，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∠B＝70°，则∠A＝________．
【变式3-4】（2024•武威二模）如图，在中，，．求证是等边三角形．
【变式3-5】．（2024•武威三模）如图，在中，、是直径，且交圆于，求证：．
【变式3-6】．（2024•凉州区二模）如图，在中，，，直径于点，连接，．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
【变式3-7】．（2024•安徽模拟）如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：．
考点4.圆周角定理
【例4-1】如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于( )
A．25° B．30° C．35° D．50°
【例4-2】如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，AB＝10cm，∠A＝30°，则BC的长为________．
【变式4-1】如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
【变式4-2】如图，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∠A＝30°，则∠B＝( )
A．150° B．75° C．60° D．15°
【变式4-3】（2023•西湖区校级三模）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC 的度数为（ ）
​
A．40°B．45°C．50°D．55°
【变式4-4】（2023•西湖区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝ ．
【变式4-5】．（2024•突泉县二模）已知：如图，为的直径，点为上一点，过点作，交于点、．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点为上一点，连接交直径于点，连接，若，求证：．
【变式4-6】．（2024•康县模拟）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
考点5.圆的内接四边形
【例5-1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
【例5-2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
【变式5-1】．（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
【变式5-2】．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 °．
【变式5-3】．（2023秋•广陵区月考）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．
（1）求证∠DAB＝∠DCE；
（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．
【变式5-4】．（2023秋•台江区校级月考）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．求证：∠DAE＝∠DAC．
一．选择题（共7小题）
1．（2024春•秦安县校级月考）如图，是的直径，若，是的中点，则的度数为
A．B．C．D．
2．（2024•文山州一模）如图，是的直径，、为圆上两点，，则的度数为
A．B．C．D．
3．（2024春•兴化市期末）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为
A．B．C．D．
4．（2024•凉州区三模）如图，已知为的直径，于点，于点．若过圆心，．则四边形的面积为
A．B．C．D．
5．（2024•永昌县三模）如图，是半圆的直径，、、三点依次在半圆上，若，，则与之间的关系是
A．B．C．D．
6．（2024•秦安县校级三模）如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是
A．B．C．D．
7．（2024•深圳模拟）苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为2.4米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.4米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（ ）
A．2.1米B．2.0米C．1.9米D．1.8米
二．填空题（共9小题）
8．（2024•罗湖区模拟）如图，的弦、的延长线相交于点，，，则 ．
9．（2024•惠农区模拟）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数）
10．（2024•益阳三模）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．
11．（2024•北京）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则 ．
12．（2024•雨花台区模拟）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ．
13．（2024春•巴彦县校级月考）如图，在中，弦、交于点，若的半径为1，，，则的度数为 ．
14．（2024•盱眙县校级模拟）如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则 ．
15．（2024•陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
16．（2024•罗湖区校级模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接．若，，则的半径长为 ．
三．解答题（共3小题）
17．（2023秋•金湾区期末）如图，是的直径，，求的度数．
18．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
19．（2024•蚌埠二模）如图，中两条互相垂直的弦，交于点，经过点，是的中点，连接并延长，交于点．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
了解圆及弦、弧（劣弧、优弧）圆心角、圆周角、等圆、等弧、圆内接多边形等有关概念。
通过观察实验，认识圆的对称性，理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及其推论解决实际问题。
掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
掌握圆周角定理及其推论，并能进行相关的证明和算计。