第2部分-预习-第14讲 中心对称（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第14讲 中心对称（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共31页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，例2-1，例2-2，变式2-1，变式2-2，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。

知识点1.中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点归纳：
１、中心对称是旋转角为180°的旋转对称；
２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心；
３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分．
A
C
B
C′
B′
A′
O
知识点2.中心对称的性质（重点）
1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分;
2.中心对称的两个图形是全等图形
要点归纳：
(1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征
(2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据
(3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等
知识点3.确定对称中心的方法（重点）
方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心
方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心
知识点4.画已知图形关于某一点对称的图形
1.画图关键
先确定对称中心,再作出原图形上关键点关于对称中心的对称点
2.画图步骤
(1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长;
(2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的对称点:
(3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形
知识点5.中心对称图形（重点）
1.中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定
2.必须同时满足下列三个条件:
(1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合
3.中心对称图形的性质
(1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点
(2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等)
4.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
知识点6.关于原点对称的点的坐标（重点）
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y)
考点1.中心对称的识别
【例1】如下图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
解析：将选项中左边图形沿着某一点旋转180°能与右边图形重合的是(1)(2)(3)，所以(1)(2)(3)中左边图形与右边图形成中心对称．共3组，故选C.
【变式1-1】（2023八年级下·江苏·专题练习）下面五组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】本题考查中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念“在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”求解即可．
【详解】解：（1）、（5）都是轴对称图形；（4）既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
只有（2）、（3）是中心对称图形；
故选：B．
【变式1-2】下列四组图形中，成中心对称的有( )
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
【详解】由中心对称定义可得：（1），（2），（3）是中心对称关系.
故选C
【点睛】本题考核知识点：中心对称.解题关键点：理解中心对称的定义.
考点2.确定对称中心及对应元素
【例2-1】如图中，已知△ABC和△A′B′C′成中心对称，画出它们的对称中心．
解析：由于△ABC和△A′B′C′成中心对称，即从整体上看，此图是一幅中心对称图案，所以本题有两种解法．
解法一：根据观察，B、B′及C、C′应是两组对应点，连接BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则O为对称中心．如图．
解法二：B、B′是一对对应点，连接BB′，找出BB′的中点O，则点O即为对称中心．如图．
方法总结：利用中心对称的特征，找正确对应点．当两个图形成中心对称时，通过直接观察的方法找对应点；如果直观体现不明显，可采用测量方法找对应点．
【例2-2】如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．
(1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
(2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？
解：作法：①延长AD，并且使得DA′＝AD；
②同样可得：BD＝B′D，CD＝C′D；
③连接A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图所示．
(1)这两个图形成中心对称，对称中心是点D；
(2)A、B、C、D关于中心的对称点为A′、B′、C′和D.
【变式2-1】（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，和关于点成中心对称．

(1)找出它们的对称中心；
(2)若，求的周长；
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】（1）连接，，其交点就是对称中心；
（2）依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；

（2）解：和关于点成中心对称，
，
，，，
的周长；
答：的周长为15．
【点睛】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．
【变式2-2】在如图正方形网格中按要求画出图形：

(1)将平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、C的对应点分别为点E、F，请画出；
(2)画出点A旋转后的；
(3)已知与于点P成中心对称，请在图中画出点P．
【分析】（1）利用点A和点D的位置确定平移方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点E、F，最后顺次连接即可即可；
（2）延长到，使，延长到，使，连接即可解答；
（3）连接相交于P点，则可判断与于点P成中心对称．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图：即为所求．
（3）解：如图：点P即为所求．

【点睛】本题主要考查了平移作图、旋转变换、确定旋转中心等知识点，掌握通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形是解答本题的关键．
考点3.利用中心对称性质的应用求线段
【例3】如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是( )
A．3 B．6 C．8 D．12
解析：设AB边上的高为h，因为△AOB的面积是12，AB＝3，所以eq \f(1,2)×AB×h＝12，所以h＝8，又因为△AOB与△DOC成中心对称，△COD≌△AOB，所以△DOC中CD边上的高是8.故选C.
方法总结：成中心对称的两个图形全等，全等三角形的对应高相等．
【变式3-1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示是一个中心对称图形，点为对称中心．若，，，则的长为（ ）

A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的特点可知：，再根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，问题随之得解．
【详解】根据中心对称图形的特点可知：，
∵，，
∴在中，，
∵在中，，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的特点，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的特点得到，是解答本题的关键．
【变式3-2】．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．

【答案】1
【分析】根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，，
∴，，
∵，，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，解题的关键在掌握成中心对称图形的对应边相等，对应角相等，以及勾股定理的内容．
考点4.中心对称图形的识别
【例4】下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
解析：根据轴对称和中心对称的概念和性质逐一进行判断，选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是中心对称图形，又是轴对称图形；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故选B.
方法总结：识别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形．
【变式4-1】.（2023江西）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
【变式4-2】.（2023黑龙江绥化） 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
考点5.补全中心对称图形
【例5】（23-24九年级上·云南昭通·期中）如图，网格中有1个四边形和2个三角形．
(1)请你画出3个图形关于点O的中心对称图形；
(2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，这个整体图形有 条对称轴，画出这个整体图形的对称轴．
【答案】(1)见解析
(2)4，作图见解析
【分析】本题借助于作图复习了轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形关于这条直线对称(轴对称)，这条直线就是对称轴．
（1）根据轴对称图形的作法即可完成解答；
（2）结合（1）中所得图形，根据轴对称的性质，找对称轴，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线即可得到对称轴的条数．
【详解】（1）画出中心对称图形如图；
（2）这个整体图形有4条对称轴，画出这个整体图形的对称轴如图．
故答案为：4．
【变式5-1】如图，将其补全，使其成为中心对称图形．
【答案】见解析
【分析】根据中心对称图形的性质把原图补充完整即可．
【详解】解：如图所示：就是中心对称图形．
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案，熟知中心对称图形旋转180°后所得图形与原图形完全重合是解答此题的关键．
【变式5-2】如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请按要求画图．（仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角，保留作图痕迹）
(1)在图1中，找一格点，使四边形是中心对称图形，并补全该四边形；
(2)在图2中，在上作点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由于平行四边形为中心对称图形，所以可以在图中找一个格点D，使，，此时四边形ABCD为平行四边形；
（2）先根据格点的特点，以BC为对角线作正方形BFCG，连接GF，并延长，交AC于一点，该点即为E点．
【详解】（1）解：根据格点的特点作平行四边形ABCD，则四边形即为所求，如图1所示：
（2）根据格点的特点，以BC为对角线作正方形BFCG，由于正方形的对角线互相垂直平分，所以此时GF垂直平分BC，故延长GF，交AC于一点，该点即为所求作的E点，如图2所示：
【点睛】本题主要考查了复杂的作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定，线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
考点6.利用中心对称图形的性质求面积
【例6】如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，试求图中阴影部分的面积．
解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中，于是此面积即可求得．
解：因为矩形ABCD是中心对称图形，所以△BOF与△DOE关于点O成中心对称，所以图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中．又因为AB＝2，BC＝3，所以Rt△ADC的面积为eq \f(1,2)×3×2＝3，即图中阴影部分的面积为3.
方法总结：利用中心对称的性质将阴影部分转化到一个直角三角形中来解决更简单．
【变式6-1】（2023·全国·九年级假期作业）如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8B．10C．15D．30
【答案】C
【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．
【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．
【变式6-2】．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】12
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，，
∴，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和=长方形的面积．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
考点7.中心对称性质的实际应用
【例7】有一块长方形土地ABCD，其中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜，若使两家得到的面积一样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法(假设土地都一样好)．
分析：已知整个图形是由一个长方形和一个圆组成，而这两个图形又都是中心对称图形，所以只要设法分别找出这两个图形的对称中心，并经过两个中心作一条直线，这条直线即将面积一分为二，问题随之解决．
作法：(1)任意作出已知圆的两条直径，交点为O；
(2)连接AC、BD，交点为O′；
(3)过点O、O′作一条直线l.如图②中所示直线l即为所分的痕迹．
【变式7-1】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积．
【答案】阴影部分的面积为平方米
【分析】根据中心对称图形的性质可得阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆，即可求解．
【详解】解：因为观赏鱼池是中心对称，且米，
所以阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆，
所以阴影部分的面积为（平方米），
答：阴影部分的面积为平方米．
【变式7-2】．（2023·西藏日喀则·一模）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形．
(1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有__________，是中心对称图形有________
(2)设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是_______，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是_________，则花瓣图形仅是轴对称图形
(3)根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形：
①九瓣图形是_______________ ②十二瓣图形是_______________
【答案】(1)A、B、C、D、E；A、C、E
(2)偶数；奇数
(3)轴对称图形，轴对称图形和中心对称图形
【分析】本题主要属于轴对称图形与中心对称的图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键；
（1）轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可回答第一问；
（2）通过第一问所填的轴对称图形和中心对称图形，便可发现“花瓣”的个数与其是什么图形的关系；
（3）根据（2）发现的规律回答第三问．
【详解】（1）A，B，C，D，E的图形具有沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的特点；A，C，E的图形具有绕某一点旋转度后的图形，能和原图形完全重合的特点，
∴A，B，C，D，E的图形是轴对称图形，A，C，E的图形是中心对称图形．
（2）轴对称图形A，B，C，D，E中，花瓣的个数分别为，，，，；中心对称图形A，C，E中，花瓣的个数分别为，，，“花瓣”在圆中均匀分布时，“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律：当花瓣是偶数个，则是中心对称图形也是轴对称图形；若花瓣是奇数个，则是轴对称图形．
（3）九瓣图形是轴对称图形；十二瓣图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
考点8.关于原点的对称的点坐标特征
【例8-1】填空：
(1)在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点P′的坐标是________．
(2)点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，则(m＋n)2015＝________．
(3)点M(3，－5)绕原点旋转180°后到达的位置是________．
解析：(1)因为点P(2，－3)与点P′关于原点对称，所以点P′的坐标是P′(－2，3)．
(2)因为点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，所以m＝－2，n＝3，则(m＋n)2015＝(－2＋3)2015＝1.
(3)因为点M(3，－5)绕原点旋转180°后到达的位置与原来的点关于原点对称，所以到达的位置是(－3，5)．
方法总结：在平面直角坐标系中，任意点A(x，y)关于坐标轴、原点都存在对称点．关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数．如：点A(x，y)关于x轴的对称点为A′(x，－y)；关于y轴的对称点为A″(－x，y)，关于原点对称的点为A(－x，－y)．
【例8-2】若点A的坐标是(a，b)且a，b满足eq \r(a－3)＋b2＋4b＋4＝0，求点A关于原点O的对称点A′的坐标．
解：∵eq \r(a－3)＋b2＋4b＋4＝0，∴eq \r(a－3)＋(b＋2)2＝0.∵eq \r(a－3)≥0，(b＋2)2≥0，∴a－3＝0，b＋2＝0.即a＝3，b＝－2.∴点A的坐标是(3，－2)．又因为点A和点A′关于点O对称，所以A′(－3，2)．
方法总结：透过问题的表象找到隐含条件，再根据点的对称性质作出解答．
【变式8-1】（2023秋·九年级课时练习）如果点关于原点的对称点为，则 ．
【答案】
【分析】由关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：∵点关于原点的对称点为，
∴，，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点之间的坐标关系，熟记关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数是解本题的关键．
【变式8-2】若点和点关于原点对称，求，的值．
【答案】，
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数列出方程，求出，的值即可．
【详解】解：点和点关于原点对称，
，，
解得，．
【点睛】此题考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．
考点9.画关于原点的中心对称图形
【例9】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－2，3)、B(－3，2)、C(－1，1)．
(1)若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；
(3)△A′B′C′与△ABC关于原点成中心对称，请写出对称中心的坐标：________；
(4)顺次连接C、C1、C′、C2，所得到的四边形CC1C′C2是轴对称图形吗？
解：(1)(2)如图所示；
(3)(0，0)；
(4)是轴对称图形．
方法总结：熟练掌握图形变换的几种形式是解决问题的关键．
【变式9-1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图所示的10×10的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：
(1)画出绕原点O旋转后的．
(2)将沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位长度，得到，请画出，若在内有一点经过这两次变换后的对应点是，请直接写出点的坐标．
(3)将绕某点逆时针旋转后，得到，顶点A，B，C的对应点分别为，，，请画出，并直接写出旋转中心的坐标．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查作图-旋转变换、轴对称变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据轴对称和平移的性质作图即可；结合轴对称和平移的性质可得答案．
（3）根据点，，的坐标描点再连线可得；连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，则点M即为旋转中心，即可得出答案．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
由题意得，点的横坐标为a，纵坐标为，
∴点的坐标为．
（3）如图，即为所求．
连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，
则将绕点M逆时针旋转后可得到，
∴旋转中心点M的坐标为．
【变式9-2】（2023秋·九年级课时练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1．

(1)观察图①②中所画的“”形图形，然后各补画一个小正方形，使图①中所得到的图形是轴对称图形，图②中所得到的图形是中心对称图形；
(2)补画后，图①②中所得到的图形是不是正方体的展开图？
【答案】(1)作图见解析
(2)图①左不是正方体的展开图，图①右是正方体的展开图，图②是正方体的展开图．
【分析】（1）根据轴对称及中心对称图形的定义作图即可得到答案；
（2）由正方体的平面展开图验证即可判断．
【详解】（1）解：如图所示（所画轴对称图形不唯一）：
图①是轴对称图形，图②是中心对称图形；
（2）解：由（1）中图形可知，图①左不是正方体的展开图，图①右是正方体的展开图，图②是正方体的展开图．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义、正方体的平面展开图等知识，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
一．选择题（共7小题）
1．（2024•赤峰三模）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项、、不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2024春•信宜市校级期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（m，n），则m+n的值是（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【分析】理解“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标互为相反数”是解题的关键．两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标互为相反数，由此即可求解．
【解答】解：∵点P（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（m，n），
∴m＝﹣3，n＝2，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
3．（2024•石家庄模拟）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是
A．点B．点C．线段的中点D．无法确定
【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
【解答】解：如图对称中心是的中点，
故选：．
【点评】本题考查了中心对称，理解中心对称的定义是解题的关键．
4．（2024•秦都区校级模拟）如图，点是菱形的对称中心，连接、，，，为过点的一条直线，点、分别在、上，则图中阴影部分的面积为
A．24B．16C．18D．12
【分析】先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积．
【解答】解：连接、，
，
点是菱形的对称中心，
，是与的交点，
，，
，，
为过点的一条直线，
四边形的面积四边形的面积菱形的面积，
菱形的面积，
四边形的面积，
阴影部分的面积四边形的面积，，
阴影部分的面积，
故选：．
【点评】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．
5．（2023秋•厦门期末）如图，直线是正方形的一条对称轴，与，分别交于点，，，的延长线相交于点，连接．下列三角形中，与成中心对称的是
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【解答】解：观察图形可知，与成中心对称的是．
故选：．
【点评】本题考查中心对称，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023秋•邯郸期末）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是
A．点B．点C．点D．点
【分析】、两点到的距离相等且三点在一条直线上，、两点到都是的网格且三点在一条直线上，、两点到都是的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点．
【解答】解：、、相交于点，
点是与的对称中心，
故选：．
【点评】本题考查了中心对称，关键是能够仔细观察网格图．
7．（2024•任丘市校级四模）如图，在平面直角坐标系中，点、、、、、、，都是平行四边形的顶点，点、、在轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接轴于点，
，，
，
，
，重合，
，
则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：，，，
则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是；
同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，，
故选：．
【点评】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2024春•娄星区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则 ．
【分析】根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数这一特征求解即可．
【解答】解：已知点与点关于原点对称，
则，即，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系，掌握关于原点对称两点坐标特征是解题的关键．
9．（2024春•新吴区校级月考）在下列图形中：①菱形；②等边三角形；③矩形；④平行四边形；⑤线段；⑥正六边形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ①③⑤⑥ ．（填写序号）
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：①菱形是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意；
②等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
③矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
④平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
⑤线段是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意；
⑥正六边形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
故答案为：①③⑤⑥．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10．（2024•芗城区校级模拟）在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点，的坐标分别是，，将沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ．
【分析】先根据点坐标的中心对称可得点的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得．
【解答】解：的对称中心是坐标原点，
顶点与顶点关于坐标原点对称，
，
，
将沿轴向右平移3个单位长度，
顶点的对应点的坐标是，即，
故答案为：．
【点评】本题考查了点坐标的中心对称变换、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的中心对称变换规律是解题关键．
11．（2024•泸州校级二模）平面直角坐标系中，点关于点成中心对称的点的坐标是 ．
【分析】连接并延长到点，使，设，则，．过作轴于点，过作轴于点．利用证明△，得出，，即，，求出，，进而得到的坐标．
【解答】解：如图，连接并延长到点，使，设，则，．
过作轴于点，过作轴于点．
在△与中，
，
△，
，，
，，
，，
．
故答案为．
【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定与性质，准确作出点关于点对称的点是解题的关键．
12．（2024春•丰城市校级月考）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 1.25 ．
【分析】连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一．
【解答】解：连接，，
正方形的边长分别为3和2，
面积分别为9和4，
正方形和正方形的对称中心都是点，
．
故答案为：1.25．
【点评】本题考查了中心对称，正方形的性质，解题的关键是掌握关于中心对称的两个图形能够完全重合．
三．解答题（共4小题）
13．（2023秋•绥阳县期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图甲中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是 中心对称图形 对称图形，都不是 对称图形．
（2）请在图乙中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图甲中所给出的图案相同．
【分析】（1）观察图甲中三个图形的阴影部分，利用中心对称图形和轴对称图形的概念即可解答；
（2）根据中心对称的性质设计图案即可，此外还需满足阴影部分的面积为4．
【解答】解：（1）结合中心对称图形以及轴对称图形的概念，可得图甲中的三个网格中阴影部分构成的图案，都是中心对称图形，都不是轴对称图形．
故答案为：中心对称图形，轴对称图形；
（2）设计出的图形，如图中的阴影部分所示（答案不唯一）．
每个小正方形的边长为1，
图乙中阴影部分的面积为．
【点评】本题考查的是利用旋转设计图案，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
14．（2023春•丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点．
（1），分别是点关于原点的对称点和关于轴对称的点，直接写出点，的坐标，并在图中描出点，．
（2）求使为等腰三角形的点的坐标．
【分析】（1）利用关于原点对称和轴对称的点的坐标特征写出点，的坐标，然后描点；
（2）先计算出的长，再分类讨论：当或或时，利用直角坐标系分别写出对应的点坐标．
【解答】解：（1），，如图，
（2）设点坐标为，
，
当时，点坐标为，或，；
当时，点坐标为，
当时，点坐标为，
综上所述，点坐标为，或，或或．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．也考查了等腰三角形的性质．
15．（2024•鹿城区一模）如图，绕点旋转得到，点的对应点为点，分别延长，至点，，且，连结，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求四边形的周长．
【分析】（1）利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明即可．
（2）过点作的垂线，根据平行四边的性质结合勾股定理即可解决问题．
【解答】证明：（1）由绕点旋转得到，
，，且，，三点在一条直线上，，，三点在一条直线上．
，
，
即，
四边形是平行四边形．
解：（2）过点作的垂线，垂足为，
，
．
又，
．
，且，
．
又，
．
在中，
，
，
解得，
，
，
．
又，
四边形的周长为：．
【点评】本题考查旋转的性质及平行四边形的判定与性质，熟知旋转的性质及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
16．（2023秋•吉安县期末）在的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知，．是第四象限内的一个格点，由点与线段组成一个以为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：点的坐标是 ，的面积是 ；
（2）将绕点旋转得到△，连接、，则四边形的形状是何特殊四边形？ ．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点，使四边形的面积等于面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意点在线段的垂直平分线上，且腰长为无理数，所以，利用分割法求出的面积即可；
（2）如图2，根据旋转的性质得到，，在同一直线上，，，在同一直线上，，，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（3）由（1）知，则．同（1）中的方法得；当在轴负半轴时，当在轴负半轴时，而当在轴正半轴及轴正半轴时均不能形成四边形；于是得到结论．
【解答】解：（1）根据题意点坐标为，如图1．
．
故答案为：，4
（2）如图2，
将绕点旋转得到△，
，，在同一直线上，，，在同一直线上，，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：矩形；
（3）存在．
由（1）知，则．同（1）中的方法得；
当在轴负半轴时，，高为4，那么底边长为1，所以；
当在轴负半轴时，，高为2，所以底边长为2，此时；
而当在轴正半轴及轴正半轴时均不能形成四边形；
故点的坐标为，．
【点评】本题考查了中心对称，三角形的面积的计算，矩形的判定，正确的画出图形是解题的关键．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
理解中心对称与中心对称图形的概念以及中心对称与中心对称图形的区别和联系。掌握中心对称的性质，会画已知图形关于已知点成中心对称的图形。
掌握关于原点对称的点的坐标特征，能画出已知图形关于原点对称的图形。
运用中心对称的性质以及关于原点对称的点的坐标特征解决相关的问题。

中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系．
②对称中心不定．
①指一个图形本身成中心对称．
②对称中心是图形自身或内部的点．
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．