第2部分-预习-第13讲 图形的旋转（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

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知识点1.旋转（重点）
在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)．
如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角．
要点归纳：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
知识点2.旋转的性质（重点）
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）；
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用．
2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题．
3．会利用简单的旋转作图．
要点归纳：
１、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转．
２、旋转前后图形的大小和形状没有改变．
知识点3.旋转作图（重点）
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点归纳：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点．
考点1.旋转图形的识别
【例1】下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？
解析：由旋转对称图形的定义逐一判断求解．
解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形．
方法总结：判断一个图形是否是旋转对称图形，其关键是要看这个图形能否找到一个旋转中心，且图形能绕着这个旋转中心旋转一定角度与自身重合．
【变式1-1】下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据旋转图形的定义可知．
【解答】解：前三个图形是旋转对称图形；第四个图形不是旋转对称图形．
故选：．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【变式1-2】．（2023秋•合肥期末）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形
A．可回收物B．有害垃圾C．厨余垃圾D．其他垃圾
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．据此判断即可．
【解答】解：选项的图形绕中心旋转后与原图重合，是旋转对称图形；选项、、的图形不是旋转对称图形．
故选：．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【变式1-3】．（2023秋•岚皋县期中）下列图形不是旋转对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断．
【解答】解：、、均能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，所以都是旋转对称图形；
选项不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，所以不是旋转对称图形．
故选：．
【点评】本题考查了旋转对称图形，正确记忆相关概念是解题关键．
考点2.旋转中心，旋转角的判断
【例2-1】如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A．格点M B．格点N
C．格点P D．格点Q
解析：只有点N到两个三角形的三个顶点的距离对应相等．故选B.
【例2-2】如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
A．30° B．45° C．90° D．135°
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋转角．由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角∠BOD＝90°.故选C.
【变式2-1】．（2023春•漳州期末）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是
A．点B．点C．点D．点
【分析】连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点，即可求解．
【解答】解：如图，连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上是解题的关键．
【变式2-2】．（2023秋•青山区期中）如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是
A．格点B．格点C．格点D．格点
【分析】观察图形，到和的对应顶点到点的距离相等的点是点，再通过计算进行验证即可．
【解答】解：连接、、、、、，
由勾股定理得，，
，
和的对应顶点到点的距离相等，
旋转中心是点，
故选：．
【点评】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，正确地找出到和的对应顶点的距离相等的点是解题的关键．
【变式2-3】．（2024•汉川市模拟）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为
A．B．C．D．
【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而、、都错误，能与其自身重合的是．
故选：．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【变式2-4】．（2023春•长春期末）如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为 ．
【分析】观察图形，最外边为正六边形，所以，旋转的的整数倍即可与原图形重合，然后求解即可．
【解答】解：图形为正六边形，
，
绕中心逆时针方向旋转的的整数倍即可与原图形重合，
最小旋转角为．
故答案为：60．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
考点3.旋转性质的理解
【例3】如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)AF的长度是多少？
(4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
解：(1)旋转中心是A点．
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点，又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°.
(3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝＝.∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，∴AF＝AE＝.
(4)∵∠EAF＝90°(旋转角相等)且AF＝AE，∴△EAF是等腰直角三角形．
【变式3-1】．如图， 四边形是正方形，经顺时针旋转后与重合 ．
（1） 旋转中心是哪一点？
（2） 则绕点旋转了多少度？
（3） 如果连接，那么是怎样的三角形？
【分析】（1） 根据图形判断点为旋转中心；
（2） 根据对应边、的夹角等于旋转角解答；
（3） 根据旋转的性质可得，，然后根据等腰直角三角形的定义判定即可 ．
【解答】解： （1） 旋转中心为点；
（2）四边形是正方形，
，
旋转角为；
（3） 由旋转的性质得，，，
所以是等腰直角三角形 ．
【点评】本题考查了旋转的性质， 正方形的性质， 等腰直角三角形的判定， 熟记性质并准确识图是解题的关键 ．
【变式3-2】．如图，点为正方形的边上一点，．旋转后能与重合．
（1）旋转中心是哪一点？的对应线段是什么？
（2）旋转了多少度？
（3）如果连接，那么是怎样的三角形？
（4）求出四边形的面积．
【分析】（1）根据旋转的性质可求得旋转中心．
（2）利用全等三角形的性质得出相等的线段和角度，从而判断顺时针旋转270度后能与重合，逆时针旋转90度后能与重合．
（3）根据（1）（2）中得出的条件可知道是等腰直角三角形；
（4）根据，对应三角形的边相等即可求解．
【解答】解：（1）因为旋转后能与重合，所以旋转中心是．
的对应线段是；
（2）根据旋转的性质可知，，
，
所以顺时针旋转后能与重合，逆时针旋转后能与重合，即旋转了或．
（3），，
是等腰直角三角形；
（4），
，
，
四边形的面积正方形的面积．
【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
【变式3-3】四边形是正方形，三角形旋转一定角度后得到三角形，如图所示，如果，．
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求的长度；
（3）与的位置关系如何？请说明理由（提示：三角形的内角和等于．
【分析】（1）根据旋转的性质，点为旋转中心，对应边、的夹角为旋转角；
（2）根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解；
（3）根据旋转可得，，然后求出，判断出．
【解答】解：（1）旋转中心为点，顺时针旋转角为；
（2）按顺时针方向旋转一定角度后得到，
，，
；
（3）、的位置关系为：，
理由如下：延长交于，
按顺时针方向旋转一定角度后得到，
，，
，
，
，
、的位置关系为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
考点4.旋转的性质的运用
【例4】如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
解析：连接EE′，由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴EE′＝2.在△EE′C中，EE′＝2，E′C＝1，EC＝3，由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
【变式4-1】．（2023春•合肥期中）如图，点是正方形内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则求的度数．（提示：连接
【分析】连接，如图，根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，在中，由于，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，然后利用求解．
【解答】解：连接，如图，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质和正方形的性质．
【变式4-2】如图，已知是正方形边上的一动点，点与点不重合，将点绕点顺时针旋转，点旋转后的对应点为点，连接交于点，连接，．
（1）如图①，当点与点重合时，线段和的数量关系是 ．
（2）如图②，当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？说明理由．
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
（2）过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得出，，得出，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
将点绕点顺针旋转，点旋转后的对应点为点，
，，
又，
，
，
，
即．
故答案为：．
（2）（1）中的结论仍成立．
理由：过点作于点，
四边形是正方形，
，，
将点绕点顺针旋转，点旋转后的对应点为点，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【变式4-3】．（2022秋•滨城区校级期末）如图，点是正方形内的一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，的长为2．
（1）求的长；
（2）若，，求的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）由勾股定理的逆定理可求，即可求解．
【解答】解：（1）绕点顺时针旋转得到，
，，
为等腰直角三角形，
设，则（2），
解得：，
的长为；
（2）绕点顺时针旋转得到，
，，
在中，，，，
（2），，
，
为直角三角形，
，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
考点5.旋转作图
【例5】在如图所示的网格图中按要求画出图形：
(1)先画出△ABC向下平移5格后的△A1B1C1.
(2)再画出△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2.
解：(1)如图，△A1B1C1即为△ABC向下平移5格后的图形．
(2)△A2B2C2即为△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形．
【变式5-1】（2024春•朝阳区校级期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在格点上，点、也在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的△．
（2）画出关于直线对称的△．
（3）画出绕点按顺时针方向旋转后得到的△．
（4）的面积是 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（4）利用割补法求面积即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）如图，△即为所求；
（3）如图，△即为所求．
（4）的面积．
【点评】本题考查作图旋转变换，轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
【变式5-2】．（2023春•宽城区期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在格点上，点、也在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的△；
（2）画出关于直线对称的△；
（3）画出绕点按顺时针方向旋转后得到的△，保留作图痕迹．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）如图，△即为所求；
（3）如图，△即为所求．
【点评】本题考查作图旋转变换，轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
【变式5-3】．（2022春•本溪期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，且，，（本题不必写作图结论）．
（1）将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的△，并直接写出点的坐标： ， ， ；
（2）画出向下平移6个单位长度后的△，并直接写出点的坐标： ， ， ．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，对应点，，即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求，，，；
故答案为：，，；
（2）如图，△即为所求，，，；
故答案为：，，．
【点评】本题考查作图平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，旋转变换，属于中考常考题型．
一．选择题
1.（2024•钦南区校级三模）如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】由旋转的性质可得，，可求的度数．
【解答】解：将三角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形，
，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
2．给出下列图形：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形．其中属于旋转对称图形的有
A．①②③④⑤B．①②④⑤C．②③⑤D．①②④
【分析】直接利用旋转对称图形的定义分析得出答案．
【解答】解：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形，其中属于旋转对称图形的有①②④．
故选：．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3．（2024•郑州模拟）如果一个四边形绕对角线交点旋转，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【分析】根据旋转对称图形的定义和正方形的判定作答．
【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．
故选：．
【点评】此题主要考查旋转对称图形的定义和正方形的判定，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转
的角度叫做旋转角．
4．如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则旋转中心是
A．格点B．格点C．格点D．格点
【分析】根据图形旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等判断即可．
【解答】解：根据图形旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等可以判断，
三角形甲绕点旋转可得到三角形乙，
故选：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握对应点到旋转中心相等的性质是解题的关键．
二．填空题
5．（2023秋•建昌县期中）时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过5分钟，分针旋转了 30 ．
【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为，再求5分钟分针旋转的度数即可．
【解答】解：时钟上的分针匀速旋转一周的度数为，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：，
经过5分钟，分针旋转了．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了旋转，解决本题的关键是求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数．
6．（2024•前郭县二模）将如图所示的图案围绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转角可能是 度．（写出一个即可）
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：将如图所示的团绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转角可能是，
故答案为：60（答案不唯一），
【点评】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键．
7．（2023秋•三台县期中）把如图所示五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合，则旋转的度数至少为 ．
【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，
旋转的度数至少为，
故答案为：．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
8．（2022秋•徐汇区期末）在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有 个旋转对称图形．
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可．
【解答】解：在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中只有五角、圆、平行四边形是旋转对称图形．
故答案为3．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
9．（2023•白城模拟）如图所示的图形绕其中心至少旋转 度就可以与原图形完全重合．
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【解答】解：整个图形被分成3个完全相同的部分，
每个部分对应的圆心角是，因而最少旋转的度数是120度．
故答案为：120．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．
三．解答题
10．（2023秋•洪山区期末）如图，点是正方形内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．
（1）判断的形状为 ；
（2）若，，，求的度数．
【分析】（1）利用全等三角形即可解决问题．
（2）分别求出，及的长，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
．
，
，，，
，
即，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
（2），
．
又，，
，
即，
．
又是等腰直角三角形，
，
．
【点评】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的证明及勾股定理逆定理的巧妙运用是解题的关键．
11．（2023秋•立山区期中）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，在网格中按要求解答下列问题：
（1）画出向右平移6个单位长度后的图形△，点坐标是 ；
（2）画出绕点顺时针方向旋转后的图形△；
（3）画出以为位似中心按放大后的图形△．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）根据位似的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
点．
故答案为：．
（2）如图，△即为所求．
（3）如图，△即为所求．
【点评】本题考查作图平移变换、旋转变换、位似变换，熟练掌握平移、旋转、位似的性质是解答本题的关键．
12．（2023秋•东港区校级月考）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出把向下平移4个单位后的图形△；
（2）画出将绕原点按顺时针方向旋转后的图形△；
（3）若在该坐标系中，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 ．
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据平行四边形的性质结合网格即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求；
（2）如图所示，△即为所求；
（3）如图所示，点的坐标为：或或，
故答案为：或或．
【点评】本题考查了作图旋转变换、平移变换，熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键．
13．（2023•巴中模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，的位置如图所示，的三个顶点都在格点上，解答下列问题：
（1）画出向右平移1个单位，向下平移4个单位得到△．
（2）画出关于点为对称中心的中心对称图形△．
（3）画出绕着点逆时针旋转的△，并求出点到点走过的路径长．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可，再利用弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）如图，△即为所求；
（3）如图，△即为所求．
点到点走过的路径长．
【点评】本题考查作图平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
14．问题情境：如图1，点为正方形内一点，，将绕点顺时针旋转，得到，延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图1，若，，直接写出的长 ．（结果可含根式）
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形；
（2）过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
（3）求出，，再利用勾股定理可求的长．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）结论：；
理由：如图2，过点作于，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
；
（3）如图1，过点作于，
四边形是正方形，
，
，
，
由（2）可知：，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15.已知正方形，为平面内任意一点，连接，，将绕点顺时针旋转得到．
（1）如图1，求证：
①；
②．
（2）若，
①如图2，点在正方形内，连接，若，，求的长；
②如图3，点在正方形外，连接，若，当、、在一条直线时，求的长．
【分析】（1）①证明，利用全等三角形的对应边对应角相等证明；图4
②判断出，得出，，再利用四边形的内角和即可得出结论；
（2）①连接，由且，可得，，，即可得出结论；
②Ⅰ、当点在线段上时，过点作于点，利用勾股定理可得，，，进而求出即可得出结论．
Ⅱ、当点在线段的延长线上时，同Ⅰ的方法，即可得出结论．
【解答】解：（1）①绕点顺时针旋转得到，
，
；
②如图1，
延长交于，
由①知，，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
；
（2）①如图2，
连接，由旋转知，且，
，
在中，，
，
，，
，
点，，在同一条直线上，
由（1）知，，
在中，，利用勾股定理得，，
②Ⅰ、当点在线段上时，如图3，四边形是正方形，
，
在中，，
，
过点作于点，
，
在中，利用勾股定理得，，
故，
，
Ⅱ、当点在线段的延长线上时，如图4，
同Ⅰ的方法得，．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，四边形的内角和定理，判断出，解决问题是解本题的关键．