第2部分-预习-第13讲 图形的旋转（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

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知识点1.旋转（重点）
在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)．
如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角．
要点归纳：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
知识点2.旋转的性质（重点）
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）；
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用．
2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题．
3．会利用简单的旋转作图．
要点归纳：
１、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转．
２、旋转前后图形的大小和形状没有改变．
知识点3.旋转作图（重点）
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点归纳：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点．
考点1.旋转图形的识别
【例1】下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？
【变式1-1】下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】．（2023秋•合肥期末）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形
A．可回收物B．有害垃圾C．厨余垃圾D．其他垃圾
【变式1-3】．（2023秋•岚皋县期中）下列图形不是旋转对称图形的是
A．B．
C．D．
考点2.旋转中心，旋转角的判断
【例2-1】如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A．格点M B．格点N
C．格点P D．格点Q
【例2-2】如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
A．30° B．45° C．90° D．135°
【变式2-1】．（2023春•漳州期末）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是
A．点B．点C．点D．点
【变式2-2】．（2023秋•青山区期中）如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是
A．格点B．格点C．格点D．格点
【变式2-3】．（2024•汉川市模拟）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为
A．B．C．D．
【变式2-4】．（2023春•长春期末）如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为 ．
考点3.旋转性质的理解
【例3】如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)AF的长度是多少？
(4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
【变式3-1】．如图， 四边形是正方形，经顺时针旋转后与重合 ．
（1） 旋转中心是哪一点？
（2） 则绕点旋转了多少度？
（3） 如果连接，那么是怎样的三角形？
【变式3-2】．如图，点为正方形的边上一点，．旋转后能与重合．
（1）旋转中心是哪一点？的对应线段是什么？
（2）旋转了多少度？
（3）如果连接，那么是怎样的三角形？
（4）求出四边形的面积．
【变式3-3】四边形是正方形，三角形旋转一定角度后得到三角形，如图所示，如果，．
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求的长度；
（3）与的位置关系如何？请说明理由（提示：三角形的内角和等于．
考点4.旋转的性质的运用
【例4】如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
【变式4-1】．（2023春•合肥期中）如图，点是正方形内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则求的度数．（提示：连接
【变式4-2】如图，已知是正方形边上的一动点，点与点不重合，将点绕点顺时针旋转，点旋转后的对应点为点，连接交于点，连接，．
（1）如图①，当点与点重合时，线段和的数量关系是 ．
（2）如图②，当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？说明理由．
【变式4-3】．（2022秋•滨城区校级期末）如图，点是正方形内的一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，的长为2．
（1）求的长；
（2）若，，求的度数．
考点5.旋转作图
【例5】在如图所示的网格图中按要求画出图形：
(1)先画出△ABC向下平移5格后的△A1B1C1.
(2)再画出△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2.
【变式5-1】（2024春•朝阳区校级期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在格点上，点、也在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的△．
（2）画出关于直线对称的△．
（3）画出绕点按顺时针方向旋转后得到的△．
（4）的面积是 ．
【变式5-2】．（2023春•宽城区期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在格点上，点、也在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的△；
（2）画出关于直线对称的△；
（3）画出绕点按顺时针方向旋转后得到的△，保留作图痕迹．
【变式5-3】．（2022春•本溪期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，且，，（本题不必写作图结论）．
（1）将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的△，并直接写出点的坐标： ， ， ；
（2）画出向下平移6个单位长度后的△，并直接写出点的坐标： ， ， ．
一．选择题
1.（2024•钦南区校级三模）如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是
A．B．C．D．
2．给出下列图形：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形．其中属于旋转对称图形的有
A．①②③④⑤B．①②④⑤C．②③⑤D．①②④
3．（2024•郑州模拟）如果一个四边形绕对角线交点旋转，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
4．如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则旋转中心是
A．格点B．格点C．格点D．格点
二．填空题
5．（2023秋•建昌县期中）时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过5分钟，分针旋转了 ．
6．（2024•前郭县二模）将如图所示的图案围绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转角可能是 度．（写出一个即可）
7．（2023秋•三台县期中）把如图所示五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合，则旋转的度数至少为 ．
8．（2022秋•徐汇区期末）在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有 个旋转对称图形．
9．（2023•白城模拟）如图所示的图形绕其中心至少旋转 度就可以与原图形完全重合．
三．解答题
10．（2023秋•洪山区期末）如图，点是正方形内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．
（1）判断的形状为 ；
（2）若，，，求的度数．
11．（2023秋•立山区期中）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，在网格中按要求解答下列问题：
（1）画出向右平移6个单位长度后的图形△，点坐标是 ；
（2）画出绕点顺时针方向旋转后的图形△；
（3）画出以为位似中心按放大后的图形△．
12．（2023秋•东港区校级月考）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出把向下平移4个单位后的图形△；
（2）画出将绕原点按顺时针方向旋转后的图形△；
（3）若在该坐标系中，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 ．
13．（2023•巴中模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，的位置如图所示，的三个顶点都在格点上，解答下列问题：
（1）画出向右平移1个单位，向下平移4个单位得到△．
（2）画出关于点为对称中心的中心对称图形△．
（3）画出绕着点逆时针旋转的△，并求出点到点走过的路径长．
14．问题情境：如图1，点为正方形内一点，，将绕点顺时针旋转，得到，延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图1，若，，直接写出的长 ．（结果可含根式）
15.已知正方形，为平面内任意一点，连接，，将绕点顺时针旋转得到．
（1）如图1，求证：
①；
②．
（2）若，
①如图2，点在正方形内，连接，若，，求的长；
②如图3，点在正方形外，连接，若，当、、在一条直线时，求的长．