第2部分-预习-第14讲 中心对称（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第14讲 中心对称（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共14页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，例2-1，例2-2，变式2-1，变式2-2，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。

知识点1.中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点归纳：
１、中心对称是旋转角为180°的旋转对称；
２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心；
３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分．
A
C
B
C′
B′
A′
O
知识点2.中心对称的性质（重点）
1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分;
2.中心对称的两个图形是全等图形
要点归纳：
(1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征
(2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据
(3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等
知识点3.确定对称中心的方法（重点）
方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心
方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心
知识点4.画已知图形关于某一点对称的图形
1.画图关键
先确定对称中心,再作出原图形上关键点关于对称中心的对称点
2.画图步骤
(1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长;
(2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的对称点:
(3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形
知识点5.中心对称图形（重点）
1.中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定
2.必须同时满足下列三个条件:
(1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合
3.中心对称图形的性质
(1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点
(2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等)
4.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
知识点6.关于原点对称的点的坐标（重点）
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y)
考点1.中心对称的识别
【例1】如下图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【变式1-1】（2023八年级下·江苏·专题练习）下面五组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【变式1-2】下列四组图形中，成中心对称的有( )
A．1组B．2组C．3组D．4组
考点2.确定对称中心及对应元素
【例2-1】如图中，已知△ABC和△A′B′C′成中心对称，画出它们的对称中心．
【例2-2】如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．
(1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
(2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？
【变式2-1】（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，和关于点成中心对称．

(1)找出它们的对称中心；
(2)若，求的周长；
【变式2-2】在如图正方形网格中按要求画出图形：

(1)将平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、C的对应点分别为点E、F，请画出；
(2)画出点A旋转后的；
(3)已知与于点P成中心对称，请在图中画出点P．
考点3.利用中心对称性质的应用求线段
【例3】如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是( )
A．3 B．6 C．8 D．12
【变式3-1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示是一个中心对称图形，点为对称中心．若，，，则的长为（ ）

A．4B．C．D．
【变式3-2】．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．

考点4.中心对称图形的识别
【例4】下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
【变式4-1】.（2023江西）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【变式4-2】.（2023黑龙江绥化） 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
考点5.补全中心对称图形
【例5】（23-24九年级上·云南昭通·期中）如图，网格中有1个四边形和2个三角形．
(1)请你画出3个图形关于点O的中心对称图形；
(2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，这个整体图形有 条对称轴，画出这个整体图形的对称轴．
【变式5-1】如图，将其补全，使其成为中心对称图形．
【变式5-2】如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请按要求画图．（仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角，保留作图痕迹）
(1)在图1中，找一格点，使四边形是中心对称图形，并补全该四边形；
(2)在图2中，在上作点，使得．
考点6.利用中心对称图形的性质求面积
【例6】如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，试求图中阴影部分的面积．
【变式6-1】（2023·全国·九年级假期作业）如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8B．10C．15D．30
【变式6-2】．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ．
考点7.中心对称性质的实际应用
【例7】有一块长方形土地ABCD，其中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜，若使两家得到的面积一样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法(假设土地都一样好)．
【变式7-1】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积．
【变式7-2】．（2023·西藏日喀则·一模）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形．
(1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有__________，是中心对称图形有________
(2)设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是_______，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是_________，则花瓣图形仅是轴对称图形
(3)根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形：
①九瓣图形是_______________ ②十二瓣图形是_______________
考点8.关于原点的对称的点坐标特征
【例8-1】填空：
(1)在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点P′的坐标是________．
(2)点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，则(m＋n)2015＝________．
(3)点M(3，－5)绕原点旋转180°后到达的位置是________．
【例8-2】若点A的坐标是(a，b)且a，b满足eq \r(a－3)＋b2＋4b＋4＝0，求点A关于原点O的对称点A′的坐标．
【变式8-1】（2023秋·九年级课时练习）如果点关于原点的对称点为，则 ．
【变式8-2】若点和点关于原点对称，求，的值．
考点9.画关于原点的中心对称图形
【例9】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－2，3)、B(－3，2)、C(－1，1)．
(1)若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；
(3)△A′B′C′与△ABC关于原点成中心对称，请写出对称中心的坐标：________；
(4)顺次连接C、C1、C′、C2，所得到的四边形CC1C′C2是轴对称图形吗？
【变式9-1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图所示的10×10的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：
(1)画出绕原点O旋转后的．
(2)将沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位长度，得到，请画出，若在内有一点经过这两次变换后的对应点是，请直接写出点的坐标．
(3)将绕某点逆时针旋转后，得到，顶点A，B，C的对应点分别为，，，请画出，并直接写出旋转中心的坐标．
【变式9-2】（2023秋·九年级课时练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1．

(1)观察图①②中所画的“”形图形，然后各补画一个小正方形，使图①中所得到的图形是轴对称图形，图②中所得到的图形是中心对称图形；
(2)补画后，图①②中所得到的图形是不是正方体的展开图？
一．选择题（共7小题）
1．（2024•赤峰三模）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（2024春•信宜市校级期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（m，n），则m+n的值是（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
3．（2024•石家庄模拟）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是
A．点B．点C．线段的中点D．无法确定
4．（2024•秦都区校级模拟）如图，点是菱形的对称中心，连接、，，，为过点的一条直线，点、分别在、上，则图中阴影部分的面积为
A．24B．16C．18D．12
5．（2023秋•厦门期末）如图，直线是正方形的一条对称轴，与，分别交于点，，，的延长线相交于点，连接．下列三角形中，与成中心对称的是
A．B．C．D．
6．（2023秋•邯郸期末）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是
A．点B．点C．点D．点
7．（2024•任丘市校级四模）如图，在平面直角坐标系中，点、、、、、、，都是平行四边形的顶点，点、、在轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
8．（2024春•娄星区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则 ．
9．（2024春•新吴区校级月考）在下列图形中：①菱形；②等边三角形；③矩形；④平行四边形；⑤线段；⑥正六边形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ．（填写序号）
10．（2024•芗城区校级模拟）在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点，的坐标分别是，，将沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ．
11．（2024•泸州校级二模）平面直角坐标系中，点关于点成中心对称的点的坐标是 ．
12．（2024春•丰城市校级月考）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ．
三．解答题（共4小题）
13．（2023秋•绥阳县期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图甲中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．
（2）请在图乙中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图甲中所给出的图案相同．
14．（2023春•丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点．
（1），分别是点关于原点的对称点和关于轴对称的点，直接写出点，的坐标，并在图中描出点，．
（2）求使为等腰三角形的点的坐标．
15．（2024•鹿城区一模）如图，绕点旋转得到，点的对应点为点，分别延长，至点，，且，连结，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求四边形的周长．
16．（2023秋•吉安县期末）在的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知，．是第四象限内的一个格点，由点与线段组成一个以为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：点的坐标是 ，的面积是 ；
（2）将绕点旋转得到△，连接、，则四边形的形状是何特殊四边形？ ．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点，使四边形的面积等于面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
理解中心对称与中心对称图形的概念以及中心对称与中心对称图形的区别和联系。掌握中心对称的性质，会画已知图形关于已知点成中心对称的图形。
掌握关于原点对称的点的坐标特征，能画出已知图形关于原点对称的图形。
运用中心对称的性质以及关于原点对称的点的坐标特征解决相关的问题。

中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系．
②对称中心不定．
①指一个图形本身成中心对称．
②对称中心是图形自身或内部的点．
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．