吉林省白城市实验高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份吉林省白城市实验高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
下列命题为真命题的是（）
b  cb
若 a  b ，则
a  ca
若 a  b ， c  d ，则 a  d  b  c
若 a  b  0 ，则 a2  ab  b2
11

若 a  b ，则
a  ba
已知集合 M  s s  2n 1，n  Z ， N  t t  4n 1，n  Z，则 M ∩ N  （）
A. B. MC. ND. Z
已知集合 A  (2, 0) ，集合 B  [1, 2) ，则 A ∪ B  （）
[1, 0]
(1, 0)
(2, 2)
[2, 2]
已知集合 M  {1 ， m  2 ， m2  4}，且5  M ，则m 的值为（）
1 或1
1 或 3C.
1或 3D. 1， 1或 3
已知二次函数 y  ax2  bx  c ，且 a  0 ， a  b  c  0 ，则一定有（）．
b2  4ac  0
C b2  4ac  0
b2  4ac  0
D. b2  4ac  0
已知 f  x  4m  5 xm 是幂函数，则m  （）
2
1
1
C. 1D. 2
已知集合 P={x |1  x  4}， Q  {x | 2  x  3} ，则 P  Q=（）
{x |1  x  2}
C. {x | 3  x  4}
{x | 2  x  3}
D. {x |1  x  4}
已知集合 A  1, 2, 3, 4， B  3, 4, 5, 6, 7 ，则 A ∩ B  （ ）
3, 4, 5, 6, 7
C. 3, 4
3, 5, 6
D. 5
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．）
下列各组对象能构成集合的有（）．
某一天到商场买过商品的顾客B. 小于 0 的实数
2023,1 与1, 2023
未来世界的高科技产品
（多选）设集合 P = {1, 2, 3}, Q = {x | 2„ x„ 3} ，则下列结论中正确的有
P  Q
C. (P ÇQ) Í P
P ∩ Q  P
D. (ð RQ)Ç P ¹ Æ
已知 a  b  c  0 ，则下列说法正确的有（）

11
a2b2
c  c
ab
ab
a  a  c
c  ac  bbb  c
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
已知α  1 , 1, 3, 4, 1 , 2, 3 ，幂函数 f  x  xα在, 0 上单调递增，其图像不过坐标原点，
 22

则α .
设 a 、b 为实数，比较两式的值的大小：a2  b22a  2b  2
（用符号, , ,  或=填入划线部
分）．
已知命题“ x x  2  x  3，使得等式3x  m  0 成立”是假命题，则实数m 的取值范围是
.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
2
15 已知函数 y  x 3
求定义域；
判断奇偶性；
已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间.
已知 f (x)  x2  2 ， x [1, ) ，判断函数的单调性，并证明
x
某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件．试销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售数量就减少 10 件．
写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大．
现有 A ， B ， C ， D 四个长方体容器， A ， B 的底面积均为 x2 ，高分别为 x ， y ； C ， D 的底面积均
为 y2 ，高分别为 x ， y （其中 x  y) ．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定 x 与 y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
（1）已知 ab  0 ， a  b ，求证： 1  1 .
ab
（2）A、B 地相距 2 公里，甲、乙两人同时从 A 地出发，沿同一条线路步行到 B 地.甲在前一半时间的行走速度为v1 ，后一半时间的行走速度为v2 ；乙用速度v1 走完 1 公里，用速度v2 走完剩下的 1 公里.若
v1  v2 ，问甲、乙两人谁先到达 B 地？并说明理由.
白城实验高中 2025～2026 学年度高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
下列命题为真命题的是（）
b  cb
若 a  b ，则
a  ca
若 a  b ， c  d ，则 a  d  b  c
若 a  b  0 ，则 a2  ab  b2
11

若 a  b ，则
【答案】B
【解析】
a  ba
【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.
【详解】对于 A，可以取 a  2 ， b  1， c  1 ，此时 b  c  b ，所以 A 错误.
a  ca
对于 B：∵ c  d ，∴ d  c ，因为 a  b ，所以 a  d  b  c ，故 B 正确；
对于 C：取 a  2 ， b  1 时，则 a2  4 ， ab  2 ， b2  1 ，则 a2  ab  b2 ，故 C 错误；
1
对于 D：当 a  1 ， b  1 时，
 1 ， 1  1 ，则 1
 1 ，故 D 错误；
故选：B
a  b2a
a  ba
已知集合 M  s s  2n 1，n  Z ， N  t t  4n 1，n  Z，则 M ∩ N  （）
A. B. MC. ND. Z
【答案】C
【解析】
【分析】理解 M , N 含义后运算
【详解】由题意得， M 是所有奇数的集合， N 是所有被 4 除余3 的整数集故 N  M ， M  N  N
故选：C
已知集合 A  (2, 0) ，集合 B  [1, 2) ，则 A ∪ B  （）
[1, 0]
(1, 0)
(2, 2)
[2, 2]
【答案】C
【解析】
【分析】由并集定义计算．
【详解】由题意 A U B  (2, 2) ，故选：C．
已知集合 M  {1 ， m  2 ， m2  4}，且5  M ，则m 的值为（）
1 或1
【答案】B
【解析】
1 或 3C.
1或 3D. 1， 1或 3
【分析】根据元素与集合的关系，得到 m + 2 = 5 或 m2 + 4 = 5 ，从而求得 m 值，并验证是否符合集合互异性即可.
【详解】解：Q5 {1 ， m  2 ， m2  4}，
 m  2  5 或 m2 + 4 = 5 ，即 m  3 或 m  1.
当 m  3 时， M  {1 ，5，13} ；当 m  1时， M  {1 ，3， 5}；
当 m  1时， M  {1 ，1， 5} 不满足互异性，
 m 的取值集合为{1 ， 3}.
故选： B .
已知二次函数 y  ax2  bx  c ，且 a  0 ， a  b  c  0 ，则一定有（）．
b2  4ac  0B. b2  4ac  0
C. b2  4ac  0D. b2  4ac  0
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的性质即可求解.
【详解】∵二次函数 y  ax2  bx  c 中， a  b  c  0 ，
∴当 x  1 时， y  a  b  c  0 ．
又∵ a  0 ，∴抛物线开口向下且穿过 x 轴，
∴抛物线与 x 轴肯定有两个交点，即判别式  b2  4ac  0 ．故选：A.
已知 f  x  4m  5 xm 是幂函数，则m  （）
2
1
【答案】B
【解析】
1
C. 1D. 2
【分析】根据幂函数的定义求解.
【详解】由题意得4m  5  1 ，得 m  1．故选：B.
已知集合 P={x |1  x  4}， Q  {x | 2  x  3} ，则 P  Q=（）
{x |1  x  2}
C. {x | 3  x  4}
{x | 2  x  3}
D. {x |1  x  4}
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集定义求解.
【详解】 P I
Q  (1, 4) I
(2, 3)  (2, 3)
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
已知集合 A  1, 2, 3, 4， B  3, 4, 5, 6, 7 ，则 A ∩ B  （ ）
3, 4, 5, 6, 7
C. 3, 4
3, 5, 6
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的定义可求得集合 A  B .
【详解】因为集合 A  1, 2, 3, 4， B  3, 4, 5, 6, 7 ，则 A ∩ B  3, 4 .
故选：C.
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．）
下列各组对象能构成集合的有（）．
某一天到商场买过商品的顾客B. 小于 0 的实数
2023,1 与1, 2023
未来世界的高科技产品
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据集合中元素的确定性即可得解.
【详解】A 中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定，能构成集合；
B 中小于 0 是一个明确的标准，能构成集合；
C 中2023,1 与1, 2023 是两个不同的点，是确定的，能构成集合；
D 中未来世界的高科技产品，该对象不具备确定性，不能构成一个集合．故选：ABC
（多选）设集合 P = {1, 2, 3}, Q = {x | 2„ x„ 3} ，则下列结论中正确的有
P  Q
C. (P ÇQ) Í P
P ∩ Q  P
D. (ð RQ)Ç P ¹ Æ
【答案】CD
【解析】
【分析】对 A，1 Q ；对 B， P ÇQ = {2, 3} ；对 C，D，通过集合运算，可知都是正确；
【详解】对 A，集合 P 中1 Q ，故 A 错误；对 B， P ÇQ = {2, 3} ，故 B 错误；
对 C，因为 P ÇQ = {2, 3} ， P = {1, 2, 3} ，显然(P ÇQ) Í
P ，故 C 正确；
对 D， ðRQ  {x | x  2 或 x  3}，(ðRQ)I
P = {1} ，故 D 正确
故选 CD.
【点睛】本题集合间的基本关系、集合间的交、并、补运算，考查基本运算求解能力.
已知 a  b  c  0 ，则下列说法正确的有（）

11
a2b2
c  c
ab
ab
a  a  c
c  ac  b
【答案】ACD
【解析】
bb  c
【分析】对于 AB，利用不等式的性质进行判断即可；对于 CD，结合不等式的性质利用作差法判断即可.
【详解】对于 A，因为 a  b  c  0 ，所以 a2  b2 ，所以 1
a2
 1 ，正确
b2
1
对于 B，因为 a  b  c  0 ，所以 ac  bc  0 ，两边同乘
ab
得 c  c ，错误；
ba
对于 C，因为 a  b  c  0 ，所以 a  b  a c  b  b c  a  c a  b  0 ，正确；
c  ac  bc  ac  bc  ac  b
对于 D， a  c  a  ab  bc  ab  ac  b  ac ，
b  cbb b  cb b  c
因为 a  b  c  0 ，所以 a  c  a  0 ，所以 a  a  c 成立，正确.
故选：ACD
b  cb
bb  c
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
已知α  1 , 1, 3, 4, 1 , 2, 3 ，幂函数 f  x  xα在, 0 上单调递增，其图像不过坐标原点，
 22

则α .
【答案】 4
【解析】
【分析】根据幂函数的性质分析求解.
【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则α 0 ，
x
1 11
当α  ， f  x  x
2
2 的定义域为0, ∞ ，不合题意；
当α 1， f  x  x1  1 在区间, 0 上单调递减，不合题意；
x
当α 3 ， f  x  x3 
当α 4 ， f  x  x4 
综上所述：α 4 .
故答案为： 4 .
1 在区间, 0 上单调递减，不合题意；
x3
1 在区间, 0 上单调递增，符合题意；
x4
设 a 、b 为实数，比较两式的值的大小： a2  b2 2a  2b  2 （用符号, , ,  或=填入划线部
分）．
【答案】
【解析】
【分析】利用作差比较法求得正确答案.
【详解】因为 a2  b2  (2a  2b  2)  (a 1)2  (b 1)2  0 ， a  1, b  1 时等号成立，
所以 a2  b2  2a  2b  2 ．故答案为： 
已知命题“ x x  2  x  3，使得等式3x  m  0 成立”是假命题，则实数m 的取值范围是
.
【答案】 m  6 或 m  9
【解析】
【分析】存在量词命题的否定为真命题，从而得到 m 6, 9 ，得到m 的取值范围.
【详解】由题意得“ x x  2  x  3 ，使得等式3x  m  0 成立”是真命题，故 m 6, 9 ，
所以实数m 的取值范围是 m  6 或 m  9 .
故答案为： m  6 或 m  9
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
2
已知函数 y  x 3
求定义域；
判断奇偶性；
已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间.
y  x 3
【答案】（1）定义域为 x ,  ；（2）偶函数；（3）图像见解析， 2 的单调增区间是0，  ，
单调减区间是，0
【解析】
3 x2
2
【分析】（1）将函数 y  x 3 改写成 y ，即可判断定义域;
2
令 f (x)  x 3 = 3 x2 ，计算 f (x) 并判断与 f (x) 的关系即可确定函数的奇偶性；
2
根据 y  x 3 的奇偶性补全图像，根据补全后的图像确定函数的单调区间；
2
【详解】（1） y  x 3 = 3 x2 ，定义域为实数集 R;
22
（2）令 y  x 3 = 3 x2 =f (x) Q f (x)  x 3 = 3 x2
 f (x)= 3 x2 = 3 x2 =f (x) ，且定义域关于坐标原点对称，函数
2
为偶函数.
yx 3
（3）因为函数 2 为偶函数,所以函数 2 的图像关于 y 轴对称，
y  x 3y  x 3
2
根据 y  x 3 第一象限的图像补全图像如图所示:
根据图像可知，函数 2 单调增区间是0，  ，单调减区间是，0.
y  x 3
已知 f (x)  x2  2 ， x [1, ) ，判断函数的单调性，并证明
x
【答案】 f (x) 在[1, ) 递增，见解析
【解析】
【分析】运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号、下结论几个步骤．
【详解】在[1, ) 上任取 x1, x2 ，且1  x1  x2 ，
有 f (x )  f (x )  x 2  2   x 2  2   x 2  x 2  2  2
121x 2x 12xx
12 21
  x  x  x  x   2  x1  x2    x  x  x  x  2 
1212x x
12  12
x x 
1 21 2 
12
Q1  x  x ， x  x  0 ， x  x  2 0 ，所以 f (x )  f (x ) .
12
1212
x1 x2
所以 f (x) 在[1, ) 递增.
【点睛】本题考查函数单调性的判断和证明，注意运用定义法，属于基础题．
某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件．试销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售数量就减少 10 件．
写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大．
【答案】（1） w  10x2  700x 10000
（2）35 元
【解析】
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）由二次函数的性质即可求解.
【小问 1 详解】
由题意得，销售量 250 10  x  25  10x  500 ， 则 w   x  2010x  500  10x2  700x 10000 ．
【小问 2 详解】
w  10x2  700x 10000  10  x  352  2250 ．
∵ 10  0 ，∴函数图象为开口向下的抛物线，w 有最大值，又∵对称轴为直线 x  35 ，∴当 x  35 时， wmax  2250 ，故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大．
现有 A ， B ， C ， D 四个长方体容器， A ， B 的底面积均为 x2 ，高分别为 x ， y ； C ， D 的底面积均
为 y2 ，高分别为 x ， y （其中 x  y) ．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定 x 与 y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
【答案】在不知道 x ， y 的大小的情况下，取 A ， D 能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有1
种，即取 A ， D ．
【解析】
【分析】当 x  y 时可得VA  VB  VC  VD ；当 x  y 时可得VD  VC  VB  VA ，分情况讨论，最终有
x3  y3  xy2  x2 y   0 ，故可得到答案.
【详解】设 A ， B ， C ， D 的体积分别为VA ，VB ，VC ，VD ，
①当 x  y 时，则 x3  x2 y  xy2  y3 ，即VA  VB  VC  VD ，在此种条件下取 A ， B 能够稳操胜券．
②当 x  y 时，则 y3  y2 x  yx2  x3 ，即VD  VC  VB  VA ，
在此种条件下取 D ， C 能够稳操胜券．
若甲先取 A 、 D ， x3  y3  xy2  x2 y   x3  x2 y    y3  xy2   (x  y)2 (x  y)  0 .若甲先取 A 、 B ， x3  x2 y  xy2  y3   x x2  y2   y x2  y2   x2  y2  x  y 因为 x ， y 的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜；
若甲先取 A 、C ， x3  xy2  x2 y  y3    x  y x2  y2  ，因为 x ， y 的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜；
在不知道 x ， y 的大小的情况下，取 A ， D 能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有1种，就是取 A ， D ．
19 （1）已知 ab  0 ， a  b ，求证： 1  1 .
ab
（2）A、B 地相距 2 公里，甲、乙两人同时从 A 地出发，沿同一条线路步行到 B 地.甲在前一半时间的行走速度为v1 ，后一半时间的行走速度为v2 ；乙用速度v1 走完 1 公里，用速度v2 走完剩下的 1 公里.若
v1  v2 ，问甲、乙两人谁先到达 B 地？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）甲先到达 B 地，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据不等式的性质即得；
（2）由题可表示出两人所用的时间，然后利用作差法即得.
1
【详解】（1）因为 ab  0 ，所以
1
ab
0 ，
将 a  b 的两边同乘
，则 a  1  b  1 ，即 1  1 ，
ab
所以 1  1 ；
ab
（2）甲先到达 B 地.
ababba
因为 A、B 地相距 2 公里，设甲从 A 地出发到达 B 地所用的时间为t1 ，乙从 A 地出发到达 B 地所用的时间为t2 ，
则t 4， t  1  1  v1  v2 ，
1v  v2vvv v
12121 2
因为v1  v2 ，且v1  0 ， v2  0 ，
4v  v4v v  v  v 2v  v 2
所以t  t  12  1 212   12  0 ，
12v  vv vv v v  v v v v  v 
121 21 2121 212
即t1  t2 ，
故甲先到达 B 地.