吉林省白城市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份吉林省白城市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
x2 1
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
f  x 
函数
x的大致图象为（ ）
A.B.
C.D.
“ 1  1”是“ x  1 ”的（）
x
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
命题“ x  R ，
6x
x2 1
3 ”的否定是（）
A. x  R ，
C. x  R ，
6x 3
x2 1
6x 3
x2 1
B. x  R ，
D. x  R ，
6x 3
x2 1
6x 3
x2 1
若命题 p : n  N ， n2  2n ，则命题 p 的否定为（ ）
A n  N ， n2  2nB. n  N ， n2  2n
C. n  N ， n2  2nD. n  N ， n2  2n
下列对应是集合 A 到集合 B 的函数的是（）
A  B  R ， f : x  y  1
A  Z ， B  Q ， f : x  y  1
x
CA  B  N* ， f : x  y 
x  3
x
D. A  [0, )，B  R ， f : x  y  
已知集合U  1, 2, 3, 4, 5, 6，A  1, 2, 3 ，集合 A 与 B 的关系如图所示，则集合 B 可能是（）
2, 4, 5
1, 2, 5
1, 6
1, 3
若对任意 x  (1, ) ，不等式(x 1)(ax 1)  0 恒成立，则 a 的取值范围为
1  a  1
a  1
a  1
a  1
x 1
已知函数 f  x 的定义域为1, 2 ，则函数 g  x  f  x 1 的定义域为（ ）
A 1,1
B. 1
C. 1, 3
D. 1, 3
二、多项选择题（本大题共 3 小题.每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.）
下列判断错误的是（）
函数 y  x  49 的最小值为 7
4x

49 x2 1
函数 y 
4
1
x2 1
的最小值为 7
函数 y  x2 
9
x2 1
的最小值为 7
函数 y   7x  1  7x  1  的最小值为 7
 44x x 

已知 a  0, b  0 ，且 a  2b  1 ，则（ ）
ab  1
2b
2
8
a2  4b2  1
2
a
​
D.
1  1  4
a2b
已知 1  1  0  1  1 ，则下列不等式中恒成立的是（）
badc
a  c  b  d
d  b  c  a
ad  bc
bd  ac
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
已知集合 A  1, 2， B  3, 4 ， f : A  B 为集合 A 到 B 的一个函数，则这样的函数有
个.
若函数 f (2x 1) 的定义域为(1, 2) ，则函数 f (x 1) 的定义域为.
 a , x  1

若f(x)=  x是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围为．
x  3a, x  1
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“  ”或“  ”表述下列命题.
（1）对任意 x x x  1 ， 3x  4  0 成立；
对所有实数 a ， b ，方程 ax  b  0 恰有一个解；
有些整数既能被 2 整除，又能被 3 整除；
某个四边形不是平行四边形.
已知集合 A  x m 1  x  2m 1，集合 B  x x 1  0，


x  2
（1）当 m  1时，求 A ∪ ðR B ；
（2）若 x  A 是 x  B 的充分不必要条件，求m 的取值范围.
已知集合U  R ， A  x x  2 或 x  2 ， B  x x  a.
（1）当 a  1 时，求 A  B ； A ∪ B ；
（2）若ðU A  B .求实数 a 的取值范围.
a
（1）已知a  b  c ，且 a  b  c  0 ，证明：
a．
a
（2）证明：

a  2

a 1

a  cb  c
a  3
． (a  3)
已知α、β是关于 x 的一元二次方程 x2  2m  3 x  m2  0 的两个不相等的实数根
直接写出m 的取值范围
若满足 1  1
α β
 1，求m 的值.
若α 2 ，求证： β 2 ；
白城一中 2025-2026 学年度高一上学期第一次月考
数学试卷
x2 1
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
f  x 
函数
x的大致图象为（ ）
A.B.
CD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性，正负情况以及增长趋势判断即可.
x2 1
【详解】Q函数 f  x 的定义域为∞, 0 0, ∞ ，
x
x2 1
 f x x
  f  x ，
该函数为奇函数，故 A 错误；
x2 1
当 x  0 时， f  x  0 ，故 D 错误；
x
当 x  1 时， f  x  x2 1  x  1 ，且0  1  1，
xxx
当 x 增大时， x  1 的值也越来越大，故 C 错误，故 B 正确.
x
故选：B.
“ 1  1”是“ x  1 ”的（）
x
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由 1  1，得 x 1  0 ，则 x  x 1  0 ，解得 x  0 或 x  1 ，
xx
所以由“ 1  1”不能得到“ x  1 ”，由“ x  1 ”能得到“ 1  1”，
xx
所以“ 1  1”是“ x  1 ”的必要而不充分条件.
x
故选：B.
命题“ x  R ，
6x
x2 1
3 ”的否定是（）
A. x  R ，
C. x  R ，
6x 3
x2 1
6x 3
x2 1
B. x  R ，
D. x  R ，
6x 3
x2 1
6x 3
x2 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得解.
【详解】由全称命题的否定可知，
命题“ x  R ，故选：D
6x
x2 1
3 ”的否定是“ x  R ，
6x
x2 1
 3 ”，
若命题 p : n  N ， n2  2n ，则命题 p 的否定为（ ）
【分析】根据特称命题的否定直接得出结果.
【详解】因为“ x  M ， p  x ”的否定是“ x  M ， p  x ”，所以命题“ n  N ， n2  2n ”的否定是“ n  N ， n2  2n ”.
故选：C
A. n  N ， n2  2n
C. n  N ， n2  2n
B.
D.
n  N ， n2  2n
n  N ， n2  2n
【答案】C
【解析】
下列对应是集合 A 到集合 B 的函数的是（）
A  B  R ， f : x  y  1
A  Z ， B  Q ， f : x  y  1
x
A  B  N* ， f : x  y  x  3
x
A  [0, )，B  R ， f : x  y  
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义进行判断即可．
【详解】对于 A 选项，满足函数的定义，A 选项正确；
对于 B 选项，集合 A 中取 x  0 ，在集合 B 中没有对应元素，故 B 选项错误；对于 C 选项，集合 A 中取 x  3 ，在集合 B 中没有对应元素，故 C 选项错误；
对于 D 选项，集合 A 中当 x  0 时，在集合 B 中都有两个元素与 x 对应，不满足函数的定义，故 D 选项错误.
故选：A．
已知集合U  1, 2, 3, 4, 5, 6，A  1, 2, 3 ，集合 A 与 B 的关系如图所示，则集合 B 可能是（）
2, 4, 5
1, 2, 5
1, 6
1, 3
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可得 B  A ，由选项即可判断.
【详解】解：由图可知： B  A ，
Q A  1, 2, 3 ，
由选项可知：1, 3  A ，故选：D.
若对任意 x  (1, ) ，不等式(x 1)(ax 1)  0 恒成立，则 a 的取值范围为
1  a  1
a  1
a  1
a  1
【答案】D
【解析】
【分析】对任意 x 1,  ，不等式 x 1ax 1  0 恒成立，即 ax 1  0 恒成立，代入计算得到答案.
【详解】对任意 x 1,  ，不等式 x 1ax 1  0 恒成立
x 1  0 即 ax 1  0 恒成立
ax 1  0  a   1  a  1
x
故答案为 D
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.
x 1
已知函数 f  x 的定义域为1, 2 ，则函数 g  x  f  x 1 的定义域为（ ）
A 1,1
B. 1
C. 1, 3
D. 1, 3
【答案】C
【解析】
【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；
【详解】由题意：要使 g  x 
f  x 1
1  x 1  2,
x 1

有意义，则x  1,
解得1  x  3 ，所以 g  x  的定义域为1, 3 ．故选：C
二、多项选择题（本大题共 3 小题.每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.）
下列判断错误的是（）
函数 y  x  49 的最小值为 7
4x

49 x2 1
函数 y 
4
1
x2 1
的最小值为 7
函数 y  x2 
9
x2 1
的最小值为 7
函数 y   7x  1  7x  1  的最小值为 7
 44x x 

【答案】ABC
【解析】
【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断.
【详解】对于 A，当 x  0 时函数值为负数，显然错误.
对于 B， y 
49 x2 1
4
1 2
49
4
x2 1
 7 ，当且仅当
49 x2 1
4
1时等号成立，但
x2 1
9
2
x2 12  1，所以取等条件不成立，错误；
对于 C， y  x2 1
9
x2 1
1  2
1  5 ，当且仅当 x  时等号成立，错误；
 7x
1 1 749x2
17
49x21
2
对于 D， y   4
 4x  7x  x   2 
 2
49
16
44x22
 7 ，当且仅当，即

x  

7 时等号成立，正确.
7
44x
故选：ABC
已知 a  0, b  0 ，且 a  2b  1 ，则（ ）
ab  1
8
a2  4b2  1
2
a
​
D.
1  1  4
a2b
2b
2
【答案】BCD
【解析】
a
【分析】根据基本不等式可得选项 A 错误；通过配方结合选项 A 可得选项 B 正确；通过计算
结合选项 A 可得 C 正确；利用“1”的代换可得选项 D 正确.
【详解】A.∵ a  0, b  0 ，且 a  2b  1 ，
2b 2
∴ 2
 1，当且仅当 a  2b  1 时，等号成立，解得 ab  1 ，A 错误．
2ab
28
B.由 A 得， a2  4b2  (a  2b)2  4ab  1 4ab  1 4  1  1 ，
82
当且仅当 a  2b  1 时，等号成立，B 正确．
2ab
2
a
C.由 A 得， 
2b 2  a  2b  2
 11  2 ，
∴
，当且仅当 a  2b  1 时，等号成立，C 正确．
a
2b
2
2
D.∵ a  2b  1 ，
1
1
∴  a  2b 1 
1   2b  a
 2  2
 2  4 ，当且仅当 a  2b  1 时，等号成立，
a2b
 a2b 
a2b2

2b  a a2b
D 正确． 故选：BCD.
已知 1  1  0  1  1 ，则下列不等式中恒成立的是（）
badc
a  c  b  d
【答案】AC
【解析】
d  b  c  a
ad  bc
bd  ac
【分析】由不等式的性质可判断 A, C ；由特值法可判断 B, D .
【详解】由 1  1  0  1  1 ，得 a  b  0  c  d .
badc
对于 A，由 d  c ， b  a ，得 d  b  a  c 成立，该选项正确；
对于 B，取 a  2 ， b  1 ， c  1， d  2 得 d  b  3 ， c  a  3 ，此时 d  b  c  a ，该选项错误；
对于 C，由 d  c  0 ， a  b  0 ，得ad  bc ，所以 ad  bc 成立，该选项正确；
对于 D，取 a  2 ， b  1 ， c  1， d  2 得bd  2 ， ac  2 ，此时bd  ac ，该选项错误.
故选：AC.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
已知集合 A  1, 2， B  3, 4 ， f : A  B 为集合 A 到 B 的一个函数，则这样的函数有
个.
【答案】 4
【解析】
【分析】列举出满足题意得出函数，可得结果.
 f 1  3 f 1  4 f 1  3 f 1  4
【详解】满足题意得出函数为：  f 2  3 或 f 2  4 或 f 2  4 或 f 2  3 .

故满足条件的函数个数为4 .
故答案为： 4 .

若函数 f (2x 1) 的定义域为(1, 2) ，则函数 f (x 1) 的定义域为.
【答案】(0, 6) .
【解析】
【分析】
由 f（2x+1）的定义域得 x 的取值范围，求出 2x+1 的取值范围，即函数 f (x 1) 中 x  1的范围，从而解出 x
即为函数 f (x 1) 的定义域.
【详解】由 f (2x 1) 的定义域为(1, 2) ，
得 f (x) 的定义域为1  2x  1  5 ，即(1,5) ，由1  x  1  5 得0  x  6 ，
 f (x 1) 的定义域为(0, 6) .
故答案为： (0, 6) .
【点睛】本题考查复合函数的定义域求法，根据函数定义域之间的关系求解即可，注意函数的定义域始终为自变量 x 的范围这一概念，属于基础题.
 a , x  1

若f(x)=  x
x  3a, x  1
【答案】 1 , 
是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围为．
 2

【解析】
【详解】试题分析： 因为当 x  1时， f (x)  x  3a 为单调递减函数，所以当 x ≥1时， f (x)  a 也为单
x
调递减函数，因此 a  0 且1 3a  a, a  1 .
2
考点：分段函数单调性
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“  ”或“  ”表述下列命题.
（1）对任意 x x x  1 ， 3x  4  0 成立；
对所有实数 a ， b ，方程 ax  b  0 恰有一个解；
有些整数既能被 2 整除，又能被 3 整除；
某个四边形不是平行四边形.
【答案】（1）全称量词命题，表示为x x x  1 ， 3x  4  0
全称量词命题，表示为a ， b  R ，方程 ax  b  0 恰有一个解
存在量词命题，表示为x  Z ， x 既能被 2 整除，又能被 3 整除
存在量词命题，表示为x y y是四边形， x 不是平行四边形
【解析】
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可.
【小问 1 详解】
全称量词命题，表示为 x x x  1 ， 3x  4  0 .
【小问 2 详解】
全称量词命题，表示为a ， b  R ，方程 ax  b  0 恰有一解.
【小问 3 详解】
存在量词命题，表示为x  Z ， x 既能被 2 整除，又能被 3 整除.
【小问 4 详解】
存在量词命题，表示为x y y是四边形， x 不是平行四边形.
已知集合 A  x m 1  x  2m 1，集合 B  x x 1  0，


x  2
（1）当 m  1时，求 A ∪ ðR B ；
（2）若 x  A 是 x  B 的充分不必要条件，求m 的取值范围.
【答案】（1） A ðR B  x x  2 或 x  0
（2）m m  2 或1  m  0
【解析】
【分析】（1）由 m  1得 B  x 2  x  1 ，再利用集合的补集和并集的定义求解即可；
（2）由 x  A 是 x  B 的充分不必要条件，得 A 是 B 的真子集，分情况讨论即可.
【小问 1 详解】
当 m  1时， A  x 0  x  3 ，
因为 B  x x 1  0，所以 B  x 2  x  1 ，


x  2
所以ðR B  x x  2 或 x  1，
所以 A ðR B  x x  2 或 x  0；
【小问 2 详解】
由于 x  A 是 x  B 的充分不必要条件，故 A 是 B 的真子集，若 A   ，则 m  1  2m  1 ，所以 m  2 ，
若 A   ，则m  2 ，且2m 1  1 且 m 1  2 （等号不同时取得），当 m  0 时， A  x 1  x  1 真包含于 B ，
当 m  1时， A  x 2  x  1 真包含于 B ，故： 1  m  0 ，
综上所述，实数m 的取值范围是m m  2 或1  m  0.
已知集合U  R ， A  x x  2 或 x  2 ， B  x x  a.
（1）当 a  1 时，求 A  B ； A ∪ B ；
（2）若ðU A  B .求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） A ∩ B  , 2 ， A ∪ B  ,1∪ 2,  ；（2） a  2 .
【解析】
【分析】
根据交集并集的定义分别求解即可；
求出ðU A ，根据包含关系列出式子即可求出.
【详解】（1）当 a  1 时， B  x x  1 ，又 A  x x  2 或 x  2 ，所以 A ∩ B  , 2 ， A ∪ B  ,1∪ 2,  .
a
（2）因为ðU A  x 2  x  2， B  x x  a，且ðU A  B ，所以 a  2 .
（1）已知a  b  c ，且 a  b  c  0 ，证明：
a．
a
（2）证明：

a  2

a 1

a  cb  c
a  3
． (a  3)
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
a  3
a  2
a a  3
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
a
(2) 等价于证明
+
a 1 +
， 对不等式两边同时平方后只需证明
a 1a  2
，再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由a  b  c ，且 a  b  c  0 ，所以 a