重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级下第一次月考数学试卷（含答案解析）

这是一份重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级下第一次月考数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 下列各式是分式的是（ ）
2. 下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ）
3. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则的长为（ ）
4. 与最接近的整数是（ ）
5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，若，，则的值为（ ）
6. 下列命题为真命题的是（ ）
7. 用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个圆，第②个图案中有个圆，第③个图案中有个圆，，按此规律，若第个图案中有个圆，则的值为（ ）
8. 如图，在中，，以为直径作半圆，分别与，交于，两点，点为圆心，连接，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
9. 如图，在正方形中，，分别为边和上的点，且，连接，，过作交于，过作交于，交延长线于，若，则的度数为（ ）
10. 已知：，，下列说法：
①当时，的值为或；
②若关于的方程恰有3个不同的实数根，则的值为3；
③无论取任何实数，关于的函数的最小值都不可能是8．
其中正确的个数是（ ）
二、填空题
11. 单项式的系数为________．
12. 一个不透明的箱子里装有红，白两种颜色的小球共4个，它们除颜色外其他均相同，若摸出1个小球恰好是白色小球的概率为，则同时摸出2个小球都是红色小球的概率为________．
13. 如图，在四边形中，，的平分线交于点，连接和，，，若，，则________．
14. 关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为________．
15. 如图，是的直径，弦交于点，，弦于点，连接，．若，则__________，________．
16. 一个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数，，是“方数”，则最大的“方数”是__________，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的最大值与最小值的差是________．
三、解答题
17. 计算：
(1)；
(2)先化简，再求值：，其中．
18. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：
A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：
名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
名同学对《哪吒2》评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的________，________，________；
(2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
19. 米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形是矩形．
证明：四边形是菱形，
，①__________．
．
，
②__________．
，
③__________．
四边形是平行四边形，
④__________．
四边形是矩形．
米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是⑤__________．
20. 米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多个，购买哪吒手办共需元，敖丙手办共需元．
(1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？
(2)经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了个，最终总费用比原计划多了元，求的值．
21. 如图1，在中，，，，为上一点，，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围．
22. 寒假期间，小明和小亮相约在公园进行跑步练习，两人从公园大门出发，准备沿路线跑到终点，一起跑到点后，小明体力不支，准备走近路，小亮则继续按原计划路线行进，已知点在点的东北方向米处，点在点的正东方向，米，点在点的正东方向，点在点的北偏东方向上．（参考数据：，，）
(1)求的长度；（结果保留根号）
(2)同时离开点后，小明的速度是每分钟米，小亮的速度是每分钟米，请通过计算说明，离开点多少分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上？（结果精确到）
23. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，．
(1)求该拋物线解析式；
(2)如图1，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于D，点E为直线上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值；
(3)如图2，将拋物线绕点旋转得到新拋物线，M为新抛物线对称轴上一点，将沿射线方向平移，在平移过程中，若存在平移后的三角形恰有两个顶点同时落在新拋物线上，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程．
24. 如图，为等边三角形，D为中点，过点A作线段，连接，交于点G，连接，交于点H，且．
(1)如图1，若，，，求的长；
(2)如图2，连接，过D作于M，若，求证：；
(3)如图3，，，连接，M为直线上一动点，将绕点H逆时针旋转至，连接，当取最小值时，直线上方存在一点N，使得，连接，请直接写出的最小值．
重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷
整体难度：适中
考试范围：数与式、图形的变化、函数、图形的性质、方程与不等式、统计与概率
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．2
D．
A．0
B．1
C．2
D．3
A．4
B．6
C．8
D．16
A．同旁内角互补
B．三角形的外角大于它的任意一个内角
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A．9
B．10
C．11
D．12
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．0
B．1
C．2
D．3
性别
平均数
众数
中位数
方差
满分占比
女生
男生
题型
数量
单选题
10
填空题
6
解答题
8
难度
题数
容易
1
较易
10
适中
9
较难
2
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
分式的判断
2
0.85
轴对称图形的识别
3
0.85
利用相似三角形的性质求解；求两个位似图形的相似比
4
0.85
无理数的大小估算；二次根式的混合运算
5
0.85
根据图形面积求比例系数（解析式）；反比例函数与几何综合
6
0.85
证明四边形是平行四边形；判断命题真假；两直线平行同旁内角互补；三角形的外角的定义及性质
7
0.85
图形类规律探索
8
0.85
三角形内角和定理的应用；求其他不规则图形的面积；等腰三角形的性质和判定
9
0.65
全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质证明；三角形内角和定理的应用
10
0.4
因式分解法解一元二次方程；y=ax²+bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题
二、填空题
11
0.85
单项式的系数、次数
12
0.85
已知概率求数量；列表法或树状图法求概率
13
0.65
全等三角形综合问题；斜边的中线等于斜边的一半；角平分线的有关计算；用勾股定理解三角形
14
0.85
根据分式方程解的情况求值；求一元一次不等式组的整数解
15
0.65
利用弧、弦、圆心角的关系求解；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；半圆（直径）所对的圆周角是直角
16
0.4
整式加减的应用；二元一次方程的解
三、解答题
17
0.65
分式化简求值；二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
18
0.65
由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数；由扇形统计图求某项的百分比；求众数
19
0.65
尺规作一个角等于已知角；证明四边形是菱形；证明四边形是矩形；利用菱形的性质证明
20
0.65
营销问题(一元二次方程的应用)；分式方程的经济问题
21
0.65
求一次函数解析式；解直角三角形的相关计算；画一次函数图象；一次函数与几何综合
22
0.65
方位角问题(解直角三角形的应用)
23
0.15
线段周长问题(二次函数综合)；其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的相关计算
24
0.15
相似三角形的判定与性质综合；解直角三角形的相关计算；全等三角形综合问题；等边三角形的判定和性质
序号
知识点
对应题号
1
数与式
1,4,7,11,16,17
2
图形的变化
2,3,15,21,22,23,24
3
函数
5,10,21,23
4
图形的性质
6,8,9,13,15,19,24
5
方程与不等式
10,14,16,20
6
统计与概率
12,18