2026重庆市南开中学高三上学期10月月考试题数学含解析

重庆市南开中学高 2026 届高三第二次质量检测数 学 试 题注意事项:1. 本试卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟.2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集定义计算求解.【详解】集合 ，则 .故选：B.2. （ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案.第 1页/共 24页【详解】.故选：A3. 已知一扇形的周长为 ，弧长为 ，则该扇形的面积为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形周长和面积公式直接可得解.【详解】由已知可得扇形周长 ，即 ，解得 ，所以扇形面积 ，故选：A.4. 已知 内角 所对的边分别为 ， ，则 的面积为（ ）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可求 值，从而可求三角形的面积．【详解】因为 ，故 ，而 ，故 ，故 ，故三角形的面积为 ，故选：D．5. 高三某班有 15 名男生和 35 名女生， 在某次月考的数学成绩中， 男生的平均分比女生的平均分多 5第 2页/共 24页分， 则男生的平均分比全班的平均分（ ）A. 多 1.5 分 B. 多 2.5 分 C. 多 3.5 分 D. 多 4.5 分【答案】C【解析】【分析】由数据的均值性质，根据样本平均值估计总体平均值，从而得所求.【详解】设男生平均分为 ，女生平均分为 ；则 ，总体平均分为 ，则男生的平均分减全班的平均分为 （分），故男生的平均分比全班的平均分多 3.5 分.故选：C.6. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对 A、B，结合三角函数单调性及 判断；对于 C，通过当 时反例判断；对 D，分类讨论 的大小关系，结合余弦函数单调性判断.【详解】对于 A：因为函数 在 单调递增，所以当 时， ，得 ，又 ，所以 ，A 错误；对于 B：当 时，因为函数 在 单调递增，所以 ，得 ，又 ，所以此时 ，B 错误；对于 C：当 时，因为函数 在 单调递增，第 3页/共 24页所以 ，所以 ，得 ，又 得 ，所以此时 ，C 错误；对于 D：当 时， ，得 ，此时 得 ，所以 ，所以 ;当 时， ，得 ，此时 得 ，所以 ，所以 ;当 时， ，得 ，此时 得 ，所以 ，所以 ;综上， ，D 正确.故选：D.7. 已知函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于对任意 恒成立，则实数 的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换化简 ，结合周期公式可求出 ，由已知可得 的最大值为 ，求出 的表达式，结合不等式即可求得答案.【详解】由于 ，故 ，第 4页/共 24页因为函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于 ，故 ，又 对任意 恒成立，故 ，即 ，则 ，则 ，结合 ，可知 时， 取最小值 2，即实数 的最小值为 2，故选：B8. 设 且 ，若函数 的最小值为 2，则 （ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】由条件可得 ，令 ，根据基本不等式可得 ，由条件结合对数函数性质可得 ，且 ，由此可求 .【详解】由已知 ，所以 ，令 ，又 ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，因为函数 的最小值为 2，所以 ，解得 .故选：D.二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分.第 5页/共 24页9. 已知函数 的部分图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象， 则以下说法正确的有（ ）A. B. 图象关于直线 对称C. D. 在 上单调递增【答案】BC【解析】【分析】由图可知 ，结合 ，可得 ，即可判断选项 A；由，利用代入检验法，结合正弦函数的性质即可判断选项 B；根据图象的周期变换可得，即可判断选项 C；由 的周期为 ，区间 的长度为 2 个周期，结合正弦函数性质即可判断选项 D.【详解】由图可知 ，∴ .又 ，∴ ， ，∴ ，故选项 A 错误；∵ ，∴ 图象关于直线 对称，故选项 B 正确；∵函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，∴，故选项 C 正确；由 可知函数 的周期为 ，区间 的长度为 ，即 2 个周期，第 6页/共 24页结合正弦函数性质可知： 在 上必不单调，故选项 D 错误.故选：BC.10. 定义在 上的偶函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则下列说法正确的有（ ）A. 为奇函数 B. 的图象关于直线 对称C. 是周期函数且一个周期为 4 D. 是 的一个极值点【答案】AC【解析】【分析】由 是偶函数可得 ，根据函数求导法则及复合函数求导法则，两边同时求导可得 ，即可判断选项 A；由 及 是偶函数可得 ，即可判断选项 B；由 可得 ，根据周期函数的定义即可判断选项 C 正确；取特殊函数 ，即可判断选项 D.【详解】∵ 是定义在 上的偶函数，∴ ，两边同时求导可得 ，∴为奇函数，故选项 A 正确；∵ ， ，∴ ，∴ 的图象关于点 中心对称，故选项 B 错误；∵ ，∴ ，∴ 是周期函数且一个周期为 4，故选项 C 正确；取特殊函数 ，则 不是函数 的极值点，故选项 D 错误.故选：AC.11. 在 中 ， 为 边 上 一 点 ，，则（ ）第 7页/共 24页A. 若 ，则B. 若 ，则C. 若 ，则D. 当 面积最小时，【答案】BCD【解析】【分析】当 时， ，用二倍角公式可求得 ，判断选项 ，进而可知 为直角，利用三角函数求得各边关系判断选项 ；分别在 和 用正弦定理判断选项 ；利用三角形面积公式 ，用 表示 ，进而用二次函数性质求解.【详解】对于选项因为 ， ，所以 .因此 ，故选项 错误.对于选项 ，因为 ， ，所以 .因此 .由选项 可知， ，所以 ， .因此 ，即 .第 8页/共 24页故 ，解得 ，故选项 正确.对于选项 ，当 时， ，即 为 中点.对于 ，由正弦定理得， ，即 .对于 ，由正弦定理得， ，即 .又因为 ，所以 .所以 ，即 ，故选项 正确.对于选项 ，， ，所以 .在 中，由正弦定理得， ，化简得 .在 中，由正弦定理得， ，化简得 .因此，设 .则 .由二次函数性质可知， ，当 时， 取最大值，且最大值为正.即当 ， 取最小值，此时 ，故选项 正确.第 9页/共 24页故选：三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.12. 已知 ，则 _____.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意知 ，故 .故答案为：13. 在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，则的取值范围为_____.【答案】 .【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理将已知条件转化为边的关系，进而求出角 ，再根据锐角三角形的性质确定角 的取值范围，最后根据二倍角公式、余弦函数的图像性质以及二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意， ，根据正弦定理得， ，化简整理得 ，根据余弦定理，得 ，又 为锐角三角形，所以 ，所以 ，即 ，又 为锐角三角形，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，第 10页/共 24页令 ，令 ，则 ，其对称轴为 ，所以 时， 取得最小值，即 ，当 时， ；当 时， ；所以 的取值范围是 ，即 的取值范围是 .故答案为：14. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为 . 例如: 其中 为参数 是一个函数簇. 若函数簇 中的每一个函数都存在极小值点 ，且当参数 变化时，由所有的点构 成 一 条 曲 线 ， 则 称 函 数 簇 存 在 包 络 函 数 . 已 知 函 数 簇其中 为参数 ，若 “ ” 是 “ 存在包络函数 ” 的充要条件，则 _____；函数 的表达式为_____【答案】 ①. ， ②. ，【解析】【分析】利用求导，结合基本函数 与 的图象研究，可判断 的正负和原函数的极小值点，从而可得到求解.详解】由 求导得： ，下面在同一个坐标系中作出函数 与 的图象，如下图，第 11页/共 24页当 时，函数 与 的图象有一个交点横坐标可设 ，当 时， ，则 在 单调递减，当 时， ，则 在 单调递增，此时函数 在 处取到极小值，且 ，假设函数 在点 处的切线 过原点得： ，即过原点的直线 与曲线 相切，且切点为 .所以当 时，可知 ，此时函数 单调递增，无极小值点，则当 时，函数 与 的图象有两个交点横坐标可设 ， ，且 ，如下图，当 时， ，则 在 单调递增，当 时， ，则 在 单调递减，当 时， ，则 在 单调递增，此时函数 在 处取到极小值，且 ，综上， 时，函数簇 中的每一个函数都存在极小值点 ，且为充要条件，此时 ，第 12页/共 24页由所有的点 构成的曲线 满足：，代入 ，可得，且 或 ，所以函数 的表达式为 ， .故答案为： ， ，四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解 AINK 人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK 人工智能”知识竞赛（满分 100 分），并从中随机抽查了 100 名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6 组: ， ， ， ， ，统计结果如下面的频数分布表所示.组别频数 10 15 20 30已知高一学生的这次竞赛成绩 近似服从正态分布 ，其中 近似取为样本平均数 的整数部分，近似取为样本标准差 的整数部分，并已求得 （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（1）从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间 内的概率（结果保留一位小数）.（2）现从高一年级随机选取 名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在 范围内的概率不低于 ，求 的最大值（ 为正整数）参 考 数 据 : ， 若 ， 则.【答案】（1）（2）【解析】第 13页/共 24页【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案；（2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案.【小问 1 详解】由题意可知 个分组的中点值分别为 ，则样本平均数估计值 ，可得 .由 ，则 ， ，因为 ，所以.【小问 2 详解】设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在 范围内”为事件 ，则 ；可得从高一年级随机选取 名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在 范围内的概率为 ；由 ，两边取对数可得 ；因为 ， ，所以 ，由 为正整数，所以 的最大值为 .16. 如图 1，在平行四边形 中， ， ， . 现将 沿着 翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面 平面 （如图 2），点 是线段 的中点，点 在线段 上.（1）求证: 平面 平面 ;第 14页/共 24页（2）若 平面 ，求二面角 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】（1）先证明 ，结合面面垂直性质定理证明 平面 ，由此可得 ，再证明 ，根据线面垂直判定定理证明 平面 ，再由面面垂直判定定理证明结论；（2）由 平面 ，根据线面平行性质定理证明 ，由此可得 是 的中点，建立空间直角坐标系，求平面 和平面 的法向量，结合向量夹角公式可得结论.【小问 1 详解】由题可知， 和 都是等腰直角三角形，所以 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，在 中， 为 中点， ，所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 ，【小问 2 详解】因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 ，又 为 中点，所以 是 的中点，以 为坐标原点， 分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则由题可知 ， ， ， ， ，， ， ，设平面 的一个法向量为 ，第 15页/共 24页则 ，取 ，则 ， ，所以 为平面 的一个法向量，设平面 的一个法向量为 ，则 ，则 ，取 ，可得 ，所以 为平面 的一个法向量，设二面角 的平面角为 ，则 ，由图可知二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .17. 过点 的动直线 与抛物线 相交于 两点，线段 的中点为 .（1）求点 的轨迹 的方程；（2）设 为轨迹 上的两点，且 ，设轨迹 在 处的切线交于点 ，若 在直线上，求直线 的斜率.【答案】（1） ， 或 ；第 16页/共 24页（2）1.【解析】【分析】（1）设 为 ，联立抛物线，由根的判别式求出 或 ，由韦达定理得到两根之和，两根之积，设 ，表达出 ，消去 可得 ，求出轨迹方程；（2）设 ，由 得到 ①，求导，得到切线方程，联立两切线方程，将 代入，得到 ，将其代入①中得，从而得到直线 的斜率为 .【小问 1 详解】当直线 的斜率不存在时，直线 与 只有 1 个交点，不合要求，设直线 方程为 ，联立 ，得 ，，解得 或 ，设 ，则 ，设点 ，则 ， ，故消去 可得 ，其中 或 ，故 或 ，所以点 的轨迹 的方程为 ， 或 ；【小问 2 详解】设 ，则 ， ，第 17页/共 24页或 ， 或 ，则，故 ①，，故轨迹 在 处的切线斜率分别为 ，轨迹 在 处 切线方程分别为 ，，即 ， ，联立两切线方程，消去 得 ，故 ，在直线 上，故将 代入上式得 ，即 ，因为 ，所以 ，故 ，即 ，将其代入①中得 ，即 ，令 ，则 ，即 ，解得 ，故 ，第 18页/共 24页直线 的斜率为 .18. 如图，在平面四边形 中， ， 为线段 上一点，且 ，.（1）若 ，求 ；（2）记 ， ， ，（ i ） 证明： ；（ii） 求 的值.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）在 中，由余弦定理可得 ，再在 中，由正弦定理可得解；（2）（i）由三角形内角和为 ，及诱导公式可知 ，再在 与 中分别用余弦定理可得 ，再在 及 中用余弦定理可得 与 ，即可得证；（ii）根据两角和与差的余弦公式化简可得解.小问 1 详解】在 中，由 ，且 ，第 19页/共 24页可得 ， ，由余弦定理可得 ，即 ，即 ，又 ，所以 ，即 ，所以在 中，由正弦定理可知 ，即 ，即 ；【小问 2 详解】（i）在 中，易知 ，则 ，所以 ，在 中，由余弦定理可知 ，又在 中，由余弦定理可知 ，则 ，化简可得 ，即 ，所以 ，在 中，由余弦定理可知 ，第 20页/共 24页在 中， ，则由余弦定理可知 ，所以 ，即 成立；（ii）由（i）可得 ，即 ，又 ，则 ，整理可得 ，即 ， ，又在 中可知 ，所以 ，则 .19. 已知函数 .（1）当 时，求函数 在区间 的最值;（2）若 ，求 的取值范围；（3）当 时，求证: ．【答案】（1）最大值为 ，最小值为 0（2）（3）见详解【解析】第 21页/共 24页【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调性，得到最值；（2）令 ，求导，分 ， ， 三种情况讨论，利用导数确定参数的取值范围；（3）令 ，求导再令 ，继续求导，利用导数确定单调性，根据最值证明恒成立即可．【小问 1 详解】当 时， ， ，， ，解得 ，所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，则 ，又 ，所以函数 在区间 的最大值为 ，最小值为 0；【小问 2 详解】令 ，，当 时， ，，在 单调递增， ，即 成立；当 时， ，若 ，即 时， ， ，第 22页/共 24页，在 上单调递减，，又 ，所以 ，即 ，则 ，在 单调递增， ，若 ，即 ，存在 ，使得 时， ，，所以不满足 成立，综上， 的取值范围为 ；【小问 3 详解】令 ，，令 ，，当 时， ，所以 ， 单调递增， ，即 ， 单调递减， ，当 时，，又 ，所以 ，第 23页/共 24页即 ， 单调递增， ，综上，当 时， ．