重庆市南开中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市南开中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含重庆市南开中学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷Word版含解析docx、重庆市南开中学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 命题 ： ， 的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由全称命题的否定可得.
【详解】由题意可得命题 ： ， 的否定是 ， .
故选：C.
2. 若全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用补集的意义求得 ，利用并集的意义求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 .
故选：D.
3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
第 1页/共 14页
【解析】
【分析】利用同一函数的定义逐项判断即得.
【详解】对于 A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，A 不是；
对于 B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，B 不是；
对于 C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，C 不是；
对于 D， 与 的定义域都为 ，且 ，D 是.
故选：D
4. “ 成立”是“ 成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分、必要条件的定义进行判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
解得 .
因为 ，所以解得 .
由此可以看出，“ 成立”推不出“ 成立”，
而“ 成立”能推出“ 成立”.
所以“ 成立”是“ 成立”的必要不充分条件.
故选：B
5. 函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
第 2页/共 14页
【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立求出范围.
【详解】由函数 的定义域为 ，得 ， 成立，
当 时， 恒成立，则 ；
当 时， ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
6. 已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质求解．
【详解】因为 ，又 ， ，所以 的取值范围是
．
故选：C．
7. 已知实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 5
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将 配凑为 ；再根据 得出 ， ，利用
基本不等式可求解.
详解】由 可得： .
因为 ，
所以 ， ，
则 ，当且仅当 ，即 时等
第 3页/共 14页
号成立
故选：B.
8. 已知 ， ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最小
值是（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点 ，由此得 是方程
的根，可得 ， 的关系，消 再利用基本不等式求解最值可得．
【详解】设 ， ，又 ，所以 在 单调递增，
当 时， ；当 时， ，由 图象开口向上， ，
可知方程 有一正根一负根，即函数 在 有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意知 ，则当 时， ；
当 时， ，
所以 是方程 的根，则 ，即 ，且 ，
所以 ，当且仅当 ，
即 时，等号成立，
则 的最小值是 8.
第 4页/共 14页
故选：C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 以下说法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】举例说明判断 AC；利用不等式性质推理判断 B；作差比较大小判断 D.
【详解】对于 A，取 ，得 ，A 错误；
对于 B，由 ， ，得 ， ，则 ，B 正确；
对于 C，取 ，满足 ，而 ， ，C 错误；
对于 D，由 ，得 ，则 ，D 正确.
故选：AC
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 的最小值为 1
B. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为 8
C. 若 ， ，且 ，则 的最小值为 16
D. 若正数 a，b 满足 ，则 的最小值为 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式等号成立的条件判断 A；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断 BD；利用
基本不等式求出最小值判断 C.
第 5页/共 14页
【详解】对于 A， ，
当且仅当 ，即 取等号，而 ，即等号不能被取到，A 错误；
对于 B，正数 ， 满足 ，则
，当且仅当 ，即 时取等号，B 正确；
对于 C，由 ，得 ，而 ，则 ，
解得 ，当且仅当 ，即 时取等号，C 正确；
对于 D，由正数 a，b 满足 ，得 ，
则
，
当且仅当 ，即 时取等号，D 正确.
故选：BCD
11. 定义 ，若函数 ，且 在区间 上的
值域为 ，则 的值可以是（ ）
A 1 B. C. D. 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，求得 ，再画出函数 的图象，结合图象求出
的范围即可判断得解.
【详解】由 ，解得 ；由 ，得 或 ，
第 6页/共 14页
则函数 的图象（实线部分）如图，其中 ，
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
当 或 ，由 ，得 或 ；由 ，得 ，
图象中点
观察图象知，当 或 时，函数 在 上的值域为 ，
当 时， ，当 时， ，
因此 的取值范围是 ，选项 ABC 满足题意，D 不满足题意.
故选：ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 不等式 的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】变形给定的不等式，再利用一元二次不等式求解.
【详解】不等式 ，
则 ，解得 或 ，且 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为：
第 7页/共 14页
13. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域列式求解.
【详解】函数 的定义域为 ，由 有意义，得 ，
解得 ，且 ，所以函数 的定义域是 .
故答案为：
14. 已知 a，b， ，且 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式将目标最小值问题转化为求 的最小值，再利用换元法及基本不等式
求出最小值.
【详解】由 ，得 ， ，当且仅当 时取等号，
又 ，令 ，则
，
当且仅当 ，且 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）比较 与 的大小；
第 8页/共 14页
（2）设 ，比较 与 的大小.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用作差法比较大小.
（2）利用作商法比较大小.
【详解】（1） ，
所以 .
（2）由 ，得 ， ， ，
因此 ，
所以 .
16. （1）已知 是二次函数，且满足 ，求 的解析式；
（2）已知函数 满足：对任意非零实数 ，都有 ，求 的解析式.
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即得.
（2）根据给定条件，利用方程法求解即得.
【详解】（1）由 是二次函数，设 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
化简并整理得 ，因此 ，解得 ，
所以 的解析式为 .
第 9页/共 14页
（2）由 ， ，得 ，即 ，
用 替换 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 的解析式为 ，
17. 我国某企业计划在 2025 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定
成本 250 万元，且年产量 （单位：千部）与另投入成本 （单位：万元）的关系式为
，由市场调研知，每部手机售价为 0.7 万元，且全年内生产的手机
当年能全部销售完.
（1）求 2025 年的利润 （单位：万元）关于年产量 （单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成
本）；
（2）当 2025 年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ；
（2）当 2025 年年产量为 100 千部时，企业所获利润最大，最大利润是 8250 万元.
【解析】
【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数；
（2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
第 10页/共 14页
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时， 万元，
当 时， ，当且仅当 ，即
时等号成立， 万元.
即当 2025 年年产量为 100 千部时，企业所获利润最大，最大利润是 8250 万元.
18. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数
成为高斯函数，其中[x]表示不超过实数 的最大整数，如 ， ．
（1）求 的解集和 的解集．
（2）若 的解集为 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由 表示不超过实数 最大整数可得不等式 的解集；先解二次不等式
得 的范围，再求 的范围即可；
（2）不等式可化为 ，分 ， ， 三类情况讨论解集，由不等式
解集为 ，求 的取值范围．.
【小问 1 详解】
由题意得 ，且 ，
由 ，即 ，所以 ，
故 的解集为 ；
第 11页/共 14页
由 ，即 ，
，则 ，所以 .
所以 的解集为 .
【小问 2 详解】
不等式 ，即 ，
方程 ，可得 或 .
当 时，不等式为 ，解得 ，所以 ，不合题意；
当 时， ，由 ，解得 ，
由不等式的解集为 ，所以有 ，解得 ；
当 时， ，由 ，解得 ，
由不等式的解集为 ，所以有 ，解得 ；
综上， 或
故 的取值范围为 .
19. 已知集合 ，若集合 中存在三个元素 ，同时满足:① ；② ；③
为偶数，则称集合 具有性质 .已知集合 ，对于集合 的
非空子集 ，若 中存在三个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集
合 的 “期待子集”.
（1）若集合 ，判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）若集合 具有性质 ，证明: 集合 是集合 的“期待子集”；
（3）已知集合 是集合 的非空子集，证明: “集合 是集合 的‘期待子集’” 是 “集合 具有性质 ”
的充要条件.
【答案】（1） 不具有性质
第 12页/共 14页
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义条件，进行判断；
（2）由性质 P 确定集合 B，再根据“期待子集”的定义，确定集合 是集合 的“期待子集”.
（3）分别证明充分性和必要性.
【小问 1 详解】
集合 不具有性质 ，理由如下：
若取 ， 为奇数，不满足条件③；
若取 ，或 或 ，
均有 ，不满足条件②，
所以 不具有性质 ；
【小问 2 详解】
由 是偶数，得实数 是奇数，
当 时，由 ，得 ，即 ，
因为 不是偶数，所以 不合题意.
当 时，由 ，得 ，即 ，或 ，
因为 是偶数， 不是偶数，所以 不合题意.
所以集合 ，令 ，
解得 ，
显然 ，所以集合 是集合 的“期待子集”；
【小问 3 详解】
先证充分性：当集合 是集合 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 ，
使得 均属于 ，不妨设 ，令 ， ， ，
则 ，即满足条件①，
因为 ，所以 ，即满足条件②，
因为 ，所以 为偶数，即满足条件③，
第 13页/共 14页
所以当集合 是集合 的“期待子集”时，集合 具有性质 .
再证必要性：
当集合 具有性质 ，则 中存在 ，同时满足① ；② ；③ 为偶数，
令 ， ， ，则由条件①得 ，
由条件②得 ，由条件③得 均为整数，
因为 ，
所以 ，且 均为整数，所以 ，
因为 ，所以 均属于 ，
所以当集合 具有性质 时，集合 是集合 的“期待子集”，
综上所述，对于 的非空子集 ，集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质 .
【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略：
（1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的
目的；
（2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，
逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决．