重庆市南开中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 本试卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟.
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集定义计算求解.
【详解】集合 ，
则 .
故选：B.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案.
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【详解】
.
故选：A
3. 已知一扇形的周长为 ，弧长为 ，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形周长和面积公式直接可得解.
【详解】由已知可得扇形周长 ，
即 ，解得 ，
所以扇形面积 ，
故选：A.
4. 已知 内角 所对的边分别为 ， ，则 的面积为
（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理可求 值，从而可求三角形的面积．
【详解】因为 ，故 ，
而 ，故 ，
故 ，故三角形的面积为 ，
故选：D．
5. 高三某班有 15 名男生和 35 名女生， 在某次月考的数学成绩中， 男生的平均分比女生的平均分多 5
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分， 则男生的平均分比全班的平均分（ ）
A. 多 1.5 分 B. 多 2.5 分 C. 多 3.5 分 D. 多 4.5 分
【答案】C
【解析】
【分析】由数据的均值性质，根据样本平均值估计总体平均值，从而得所求.
【详解】设男生平均分为 ，女生平均分为 ；
则 ，
总体平均分为 ，
则男生的平均分减全班的平均分为 （分），
故男生的平均分比全班的平均分多 3.5 分.
故选：C.
6. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对 A、B，结合三角函数单调性及 判断；对于 C，通过当 时反例判断；对 D，
分类讨论 的大小关系，结合余弦函数单调性判断.
【详解】对于 A：因为函数 在 单调递增，
所以当 时， ，得 ，
又 ，所以 ，A 错误；
对于 B：当 时，因为函数 在 单调递增，
所以 ，得 ，又 ，
所以此时 ，B 错误；
对于 C：当 时，因为函数 在 单调递增，
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所以 ，所以 ，得 ，
又 得 ，
所以此时 ，C 错误；
对于 D：当 时， ，得 ，
此时 得 ，所以 ，
所以 ;
当 时， ，得 ，
此时 得 ，所以 ，
所以 ;
当 时， ，得 ，
此时 得 ，所以 ，
所以 ;
综上， ，D 正确.
故选：D.
7. 已知函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于
对任意 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简 ，结合周期公式可求出 ，由已知
可得 的最大值为 ，求出 的表达式，结合不等式即可求得答案.
【详解】由于 ，故 ，
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因为函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于 ，故 ，
又 对任意 恒成立，故 ，
即 ，则 ，则 ，
结合 ，可知 时， 取最小值 2，即实数 的最小值为 2，
故选：B
8. 设 且 ，若函数 的最小值为 2，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得 ，令 ，根据基本不等式可得 ，
由条件结合对数函数性质可得 ，且 ，由此可求 .
【详解】由已知 ，
所以 ，
令 ，又 ，
故 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
因为函数 的最小值为 2，
所以 ，解得 .
故选：D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分.
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9. 已知函数 的部分图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标变为
原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象， 则以下说法正确的有（ ）
A. B. 图象关于直线 对称
C. D. 在 上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】由图可知 ，结合 ，可得 ，即可判断选项 A；由
，利用代入检验法，结合正弦函数的性质即可判断选项 B；根据图象的周期变换可得
，即可判断选项 C；由 的周期为 ，区间 的长
度为 2 个周期，结合正弦函数性质即可判断选项 D.
【详解】由图可知 ，∴ .
又 ，∴ ， ，∴ ，故选项 A 错误；
∵ ，∴ 图象关于直线 对称，故选项 B 正确；
∵函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，∴
，故选项 C 正确；
由 可知函数 的周期为 ，区间 的长度为 ，即 2 个周期，
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结合正弦函数性质可知： 在 上必不单调，故选项 D 错误.
故选：BC.
10. 定义在 上的偶函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则下列说法正
确的有（ ）
A. 为奇函数 B. 的图象关于直线 对称
C. 是周期函数且一个周期为 4 D. 是 的一个极值点
【答案】AC
【解析】
【分析】由 是偶函数可得 ，根据函数求导法则及复合函数求导法则，两边同时求导可
得 ，即可判断选项 A；由 及 是偶函数可得 ，
即可判断选项 B；由 可得 ，根据周期函数的定义即可判断选项 C 正
确；取特殊函数 ，即可判断选项 D.
【详解】∵ 是定义在 上的偶函数，∴ ，两边同时求导可得 ，∴
为奇函数，故选项 A 正确；
∵ ， ，∴ ，∴ 的图象关于点 中心
对称，故选项 B 错误；
∵ ，∴ ，∴ 是周期函数且一个周
期为 4，故选项 C 正确；
取特殊函数 ，则 不是函数 的极值点，故选项 D 错误.
故选：AC.
11. 在 中 ， 为 边 上 一 点 ，
，则（ ）
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A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 当 面积最小时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】当 时， ，用二倍角公式可求得 ，判断选项 ，进而可知 为直角，利用
三角函数求得各边关系判断选项 ；分别在 和 用正弦定理判断选项 ；利用三角形面积公
式 ，用 表示 ，进而用二次函数性质求解.
【详解】对于选项
因为 ， ，所以 .
因此 ，故选项 错误.
对于选项 ，
因为 ， ，所以 .
因此 .
由选项 可知， ，所以 ， .
因此 ，即 .
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故 ，解得 ，故选项 正确.
对于选项 ，
当 时， ，即 为 中点.
对于 ，由正弦定理得， ，即 .
对于 ，由正弦定理得， ，即 .
又因为 ，所以 .
所以 ，即 ，故选项 正确.
对于选项 ，
， ，所以 .
在 中，由正弦定理得， ，化简得 .
在 中，由正弦定理得， ，化简得 .
因此，
设 .
则 .
由二次函数性质可知， ，
当 时， 取最大值，且最大值为正.
即当 ， 取最小值，
此时 ，故选项 正确.
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故选：
三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 已知 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式，即可求得答案.
【详解】由题意知 ，故 .
故答案为：
13. 在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，则
的取值范围为_____.
【答案】 .
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理将已知条件转化为边的关系，进而求出角 ，再根据锐角三角形的性质
确定角 的取值范围，最后根据二倍角公式、余弦函数的图像性质以及二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意， ，根据正弦定理得， ，化简
整理得 ，根据余弦定理，得 ，
又 为锐角三角形，所以 ，
所以 ，即 ，
又 为锐角三角形，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
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令 ，
令 ，则 ，
其对称轴为 ，所以 时， 取得最小值，即 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的取值范围是 ，
即 的取值范围是 .
故答案为：
14. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为 . 例如: 其中 为参
数 是一个函数簇. 若函数簇 中的每一个函数都存在极小值点 ，且当参数 变化时，由所有的点
构 成 一 条 曲 线 ， 则 称 函 数 簇 存 在 包 络 函 数 . 已 知 函 数 簇
其中 为参数 ，若 “ ” 是 “ 存在包络函数 ” 的充要条
件，则 _____；函数 的表达式为_____
【答案】 ①. ， ②. ，
【解析】
【分析】利用求导，结合基本函数 与 的图象研究，可判断 的正负和原函数
的极小值点，从而可得到求解.
详解】由 求导得： ，
下面在同一个坐标系中作出函数 与 的图象，如下图，
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当 时，函数 与 的图象有一个交点横坐标可设 ，
当 时， ，则 在 单调递减，
当 时， ，则 在 单调递增，
此时函数 在 处取到极小值，且 ，
假设函数 在点 处的切线 过原点得： ，
即过原点的直线 与曲线 相切，且切点为 .
所以当 时，可知 ，此时函数 单调递增，无极小值点，
则当 时，函数 与 的图象有两个交点横坐标可设 ， ，且 ，如下图，
当 时， ，则 在 单调递增，
当 时， ，则 在 单调递减，
当 时， ，则 在 单调递增，
此时函数 在 处取到极小值，且 ，
综上， 时，函数簇 中的每一个函数都存在极小值点 ，且为充要条件，
此时 ，
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由所有的点 构成的曲线 满足：
，代入 ，可得
，且 或 ，
所以函数 的表达式为 ， .
故答案为： ， ，
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，
并特设南开专场活动.为了了解 AINK 人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK 人
工智能”知识竞赛（满分 100 分），并从中随机抽查了 100 名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下
6 组: ， ， ， ， ，统计结果如下面的频数分布表所示.
组别
频数 10 15 20 30
已知高一学生的这次竞赛成绩 近似服从正态分布 ，其中 近似取为样本平均数 的整数部分，
近似取为样本标准差 的整数部分，并已求得 （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（1）从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间 内的概率（结果保留
一位小数）.
（2）现从高一年级随机选取 名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在 范围内的
概率不低于 ，求 的最大值（ 为正整数）
参 考 数 据 : ， 若 ， 则
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利
用概率加法，可得答案；
（2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案.
【小问 1 详解】
由题意可知 个分组的中点值分别为 ，
则样本平均数估计值 ，
可得 .
由 ，则 ， ，
因为 ，所以
.
【小问 2 详解】
设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在 范围内”为事件 ，则 ；
可得从高一年级随机选取 名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在 范围内的概率为 ；
由 ，两边取对数可得 ；
因为 ， ，
所以 ，由 为正整数，所以 的最大值为 .
16. 如图 1，在平行四边形 中， ， ， . 现将 沿着 翻折至
， 使得点 到达点 的位置且平面 平面 （如图 2），点 是线段 的中点，
点 在线段 上.
（1）求证: 平面 平面 ;
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（2）若 平面 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）先证明 ，结合面面垂直性质定理证明 平面 ，由此可得 ，再
证明 ，根据线面垂直判定定理证明 平面 ，再由面面垂直判定定理证明结论；
（2）由 平面 ，根据线面平行性质定理证明 ，由此可得 是 的中点，建立空间
直角坐标系，求平面 和平面 的法向量，结合向量夹角公式可得结论.
【小问 1 详解】
由题可知， 和 都是等腰直角三角形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
在 中， 为 中点， ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
【小问 2 详解】
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，又 为 中点，
所以 是 的中点，
以 为坐标原点， 分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则由题可知 ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
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则 ，
取 ，则 ， ，
所以 为平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
则 ，取 ，可得 ，
所以 为平面 的一个法向量，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
17. 过点 的动直线 与抛物线 相交于 两点，线段 的中点为 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设 为轨迹 上的两点，且 ，设轨迹 在 处的切线交于点 ，若 在直线
上，求直线 的斜率.
【答案】（1） ， 或 ；
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（2）1.
【解析】
【分析】（1）设 为 ，联立抛物线，由根的判别式求出 或 ，由韦达定理得到两根
之和，两根之积，设 ，表达出 ，消去 可得 ，求出轨迹方程；
（2）设 ，由 得到 ①，
求导，得到切线方程，联立两切线方程，将 代入，得到 ，将其代入①中得
，从而得到直线 的斜率为 .
【小问 1 详解】
当直线 的斜率不存在时，直线 与 只有 1 个交点，不合要求，
设直线 方程为 ，联立 ，得 ，
，解得 或 ，
设 ，则 ，
设点 ，则 ， ，
故消去 可得 ，
其中 或 ，故 或 ，
所以点 的轨迹 的方程为 ， 或 ；
【小问 2 详解】
设 ，则 ， ，
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或 ， 或 ，
则
，
故 ①，
，故轨迹 在 处的切线斜率分别为 ，
轨迹 在 处 切线方程分别为 ，
，
即 ， ，
联立两切线方程，消去 得 ，
故 ，
在直线 上，故将 代入上式得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，故 ，
即 ，
将其代入①中得 ，
即 ，
令 ，则 ，即 ，解得 ，故 ，
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直线 的斜率为 .
18. 如图，在平面四边形 中， ， 为线段 上一点，且 ，
.
（1）若 ，求 ；
（2）记 ， ， ，
（ i ） 证明： ；
（ii） 求 的值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）在 中，由余弦定理可得 ，再在 中，由正弦定理可得解；
（2）（i）由三角形内角和为 ，及诱导公式可知 ，再在 与 中分别
用余弦定理可得 ，再在 及 中用余弦定理可得 与 ，即可得证；（ii）
根据两角和与差的余弦公式化简可得解.
小问 1 详解】
在 中，由 ，且 ，
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可得 ， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，即 ，
又 ，所以 ，
即 ，
所以在 中，
由正弦定理可知 ，
即 ，即 ；
【小问 2 详解】
（i）在 中，易知 ，
则 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可知 ，
又在 中，
由余弦定理可知 ，
则 ，化简可得 ，
即 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可知 ，
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在 中， ，
则由余弦定理可知 ，
所以 ，
即 成立；
（ii）由（i）可得 ，
即 ，
又 ，
则 ，
整理可得 ，
即 ， ，
又在 中可知 ，
所以 ，
则 .
19. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 在区间 的最值;
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）当 时，求证: ．
【答案】（1）最大值为 ，最小值为 0
（2）
（3）见详解
【解析】
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【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调性，得到最值；
（2）令 ，求导，分 ， ， 三种情况讨论，
利用导数确定参数的取值范围；
（3）令 ，求导再令 ，继续求
导，利用导数确定单调性，根据最值证明恒成立即可．
【小问 1 详解】
当 时， ， ，
， ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
则 ，又 ，
所以函数 在区间 的最大值为 ，最小值为 0；
【小问 2 详解】
令 ，
，
当 时， ，
，
在 单调递增， ，即 成立；
当 时， ，
若 ，即 时， ， ，
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，
在 上单调递减，
，
又 ，所以 ，即 ，
则 ，
在 单调递增， ，
若 ，即 ，存在 ，使得 时， ，
，所以不满足 成立，
综上， 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
令 ，
，
令 ，
，
当 时， ，
所以 ， 单调递增， ，
即 ， 单调递减， ，
当 时，
，又 ，所以 ，
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即 ， 单调递增， ，
综上，当 时， ．