（人教A版）选择性必修一高二数学上册 期中押题卷（2份，原卷版+解析版）

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时间：120分钟 满分：150分
姓名： 班级： 得分：
一、单项选择题：
1．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）
A．－1B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出与的坐标，再由与互相垂直，可得，从而可求出的值.
【详解】因为，，
所以，，
因为与互相垂直，所以，解得，故选：D
2．正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直接坐标系，利用空间向量求解.
【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，
因为E，F分别为，的中点，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，所以，，所以=.因为异面直线AE与FC所成角为锐角. 所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为.故A，B，C错误.故选：D.
3．过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解.
【详解】由题意可知，设所求直线的方程为，将点代入直线方程中，得，解得，所以所求直线的方程为，即.故选：B.
4．圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，所以对称圆的方程为；
故选：A
5．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可
【详解】
由已知得：，，所以， 由得：
所以所以由得：所以 故选：C
6．已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意知直线过圆的圆心得到，求的最大值可转化为的最小值的倒数，利用基本不等式的妙用求最值即可.
【详解】圆：，圆心，
直线平分圆：，
直线过圆心，即，
，
当且仅当，即，的最大值为.
故选：B
7．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．
【详解】由双曲线知渐近线方程为，
又双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，，双曲线方程为，
设，，，，，
又弦的中点为，，，设，
，解得，，解得，所以双曲线的方程为，
由圆的方程可得，圆心为，半径为，
．当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：D．
8．曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】D
【分析】由题可知A，B为半圆C与抛物线的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.
【详解】由曲线，可得，即，为圆心为，半径为7的半圆，又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，
依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点，
由，得，
设，则，，
∴.故选：D.
二、多项选择题：
9．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程，对于C，求出圆心到公共弦的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出公共弦的长，对于D，点P到直线AB距离的最大值为
【详解】由与作差可得，
即公共弦AB所在直线的方程为，故A正确，B错误；
对于C，圆心到直线的距离为，圆的半径，
所以，故C错误；对于D，点P为圆上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：AD.
10．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形的内切圆过焦点
【答案】BD
【分析】若为等比数列，可得，则求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D.
【详解】解：，
，，对于A：为等比数列，
则 ， ，不满足条件，故错误；
对于B：, ,
即解得或（舍去）满足条件.故B正确；
对于C： 轴，且，即解得，
不满足题意，故C错误；
对于D：四边形的内切圆过焦点，即四边形的内切圆的半径为，
解得（舍去）或
，故D正确.故选：BD
11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为9
B．若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则
C．若，则有或13
D．设，的斜率分别为、，则的最小值为
【答案】BD
【分析】求得的最大值判断选项A；求得判断选项B；求得的值判断选项C；求得的最小值判断选项D.
【详解】双曲线中、，焦距，实轴长
不妨设，
选项A：则，
又，则由，可知，即，则的最大值为16.判断错误；
选项B：以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则有
则，
解之得，则，则
则.判断正确；
选项C：若，由，可得或（因为，舍去）.判断错误；
选项D：由，可得
即，则
故，（当且仅当时等号成立）
即的最小值为.判断正确.故选：BD
三、填空题：
12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________．
【答案】
【分析】分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由求出点坐标后可得线段的长．
【详解】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则是靠近的线段的三等分点，，
，，在平面上，设，则，
由AP⊥平面MBD1，得，解得，
所以，．故答案为：．
13．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
【答案】
【分析】作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程.
【详解】
如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，在直角三角形中，因为，，所以，从而得，设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一点，满足 (O为坐标原点)．若，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【分析】由可得，再结合椭圆的性质可得为直角三角形，由题意设，则，由勾股定理可得，再结合椭圆的定义可求出离心率
【详解】因为，所以，所以，
因为，所以，所以为直角三角形，即，
所以设，则，所以，得，
因为则，所以，所以，即离心率为，
故答案为：
四、解答题：
15.已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．
【答案】(1)；(2)直线l与圆C相交，.
【分析】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式进行求解即可.
【详解】(1)将化为标准方程得：．
因为圆C的半径为1，所以，得．
(2)由（1）知圆C的圆心为，半径为1．
设圆心C到直线l的距离为d，则，
所以直线l与圆C相交，设其交点为A，B，则，即．
16.在四棱锥中，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）作根据面面垂直的性质可得平面，则，根据题意平面，则，利用线面垂直判定定理可证平面；（2）建系，利用空间向量求二面角，根据先求余弦值，再求正弦值．
【详解】（1）作于点，平面平面，平面平面∴平面，平面，则又，平面平面，则，平面
（2）取中点为，则由，得又平面，得，所以平面以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为则，则今，则设平面的法向量为则，则令，则故故二面角的正弦值为
17.已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
【答案】(1)
(2)，最大值为.
【分析】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，利用基本不等式求出的面积S的最大值．
【详解】(1)圆化为标准方程为：.则.
设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，
所以所求的直线为：，即.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以
因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.
而的面积：
因为所以（其中时等号成立）.
所以S的最大值为.
18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．
(1)求C的方程；
(2)直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）根据顶点与离心率的公式求解即可；
（2）设点，，则点，再联立直线与椭圆的方程，进而求得，，再求得直线AE，AF的方程得到，，根据可得，同理证明即可
【详解】(1)由题意知，解得，，，所以C的方程为．
(2)证明：设点（不妨设，则点，
由，消去y得，所以，，
所以直线AE的方程为．
因为直线AE与y轴交于点M，令得，
即点，同理可得点．
所以，，
所以，所以，同理．
则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．
综上所述，M，，N，四点共圆．
19.已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1x2＝1；
(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且，求的取值范围．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)(0，1]
【分析】（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），推出b＝1，又椭圆的离心率为，解得a2，即可得出答案．
（2）设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y＝k(x+1)，联立椭圆的方程，解得x2，同理可得，进而可得x1⋅x2＝1．
（3）由（2）得，由，得，再计算S1，S2，结合基本不等式得S12﹣S22的取值范围．
【详解】（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b＝1，因为椭圆的离心率为，所以，即a2＝4，所以椭圆方程为．
（2）证明：设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y＝k(x+1)，联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4＝0，解得x＝﹣1或，所以，同理联立直线AP和双曲线可得，，所以x1⋅x2＝1．
（3）由（2），因为，所以，即，因为点P在双曲线上，则，所以，即，因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以，因为，所以．由（2）知，x1⋅x2＝1，即，设，则1＜t≤3，则．设f（t）＝5﹣t5﹣（t）≤5﹣4＝1，当且仅当，即t＝2时取等号，结合对勾函数单调性知函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．因为，所以f(1)＜f(3)，所以的取值范围为（0，1]．题 号
一
二
三
四
总分
得 分