（人教A版）选择性必修一高二数学上册 期末考试押题卷02（考试范围：选择性必修第一、二册）（2份，原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册、选择性必修第二册
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：
1．无论为何实数值，直线总过一个定点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，故直线总过定点.故选：D．
2．已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，因为双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，
所以，故选：B
3．关于的方程有唯一解，则实数的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为方程有唯一解，即有唯一解，即与的图象有唯一交点，又，即表示圆心为，半径为1的上半圆（包括和，而是过定点的直线，如图：
当直线与半圆相切时，由圆心到直线的距离公式得：，解得
又，由图象可知，当或或时，与的图象有唯一交点．故选：D
4．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】A
【解析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为；
故，①；又由②，，且，所以，
①+②得，，得，由知， 又因为观察答案，当且仅当时，满足条件，所以，；组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.故答案选：A
5．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，则可设，
又点在平面外，则，即，
则，又，
所以，解得，，故选：C．
6．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，由题意可得.故选：B
7．在棱长为1的正方体中，点M在对角线上（点M与A，不重合），则下列结论中错误的是（ ）
A．线段与的长度始终相等
B．存在点M，使得∥平面
C．存在点M，使得直线与平面所成角为
D．若N是上一动点，则的最小值为
【答案】D
【解析】对A：连接，如下所示：
因为，故△△，故，
又，故△△，故始终成立，故A正确；
对B：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
，设平面的一个法向量，
则，即，取，则，故；
设点的坐标为，，即，
解得，故，，
若存在点M，使得∥平面，则，即，
解得，故存在点为上靠近点的三等分点，使得∥平面，B正确；
对C：根据选项B中建立的空间直角坐标系，易知平面的一个法向量，
又，若直线与平面所成角为，
则，
解得（舍）或，即存在点为上靠近点的三等分点满足题意，故C正确；
对D：由A可知，，故的最小值即为的最小值；
在平面中，作关于的对称直线，点关于直线的对称点为，如下所示：
故，则当且仅当，交于点时，取得最小值；
在△中，，故，
则，在△中，，故，
即的最小值为，D错误.故选：D.
8．已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，
令则即在上有解，
即在上有解，即在上有解，设，，
则，当时，，故在为增函数，
当时，，故在为减函数，而，
故在上的值域为，故即，故选：D.
二、多选题：
9．函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在处取得极大值
D．在处取得极小值
【答案】AD
【解析】由的图象可知：当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以当时，取得极小值.所以根据选项可得，选项AD正确.故选：AD
10．下列说法正确的有（ ）
A．直线恒过定点
B．直线，若，则
C．圆与圆的公共弦长为
D．若圆，则过点的最短弦所在直线方程为
【答案】AC
【解析】对于A选项，当时，，所以直线过定点，故A选项正确；
对于B选项，若，则，解得：或，故B选项错误；
对于C选项，由，两式相减并化简得， 的圆心为到直线的距离，公共弦长为,故C正确；
对于D选项，圆的圆心设为则,,过点的最短弦所在直线方程为，即，故D选项错误.故选：AC．
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A．B．E的离心率等于
C．双曲线渐近线的方程为D．的内切圆半径是
【答案】AC
【解析】如图所示，
因为M，O分别是，的中点，所以中，，所以轴，A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；
B选项中，中，，，，所以，得：，故B不正确；
C选项中，由，即，即，即，所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；
D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，是与c有关的式子，所以D错误.故选：AC.
三、填空题：
12．已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】设点，则，整理得，所以动点的轨迹方程为.故答案为：.
13．已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_________.
【答案】1011
【解析】数列、满足.其中是等差数列，，
为等差数列，设公差为，则，，则，故为等比数列，，
.故答案为：1011.
14．已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________
①直线l：是曲线和的公切线：
②曲线和的公切线有且仅有一条；
③最小值为；
④当轴时，最小值为.
【答案】①③④
【解析】选项①，对于曲线，，当时，，，
故直线与曲线相切与点；
联立，可得，故此时直线与切于点，
故直线l：是曲线和的公切线，故①正确；
对于②，设公切线分别与切于点，
则曲线的切线为：，曲线的切线为，
根据与表示同一条直线，则有，
解得，令，则有，
可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，则有，
根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线
故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，
故有：，
设点的坐标为：，则有：，
令，可得，
再次求导可得：，故在上单调递增，
又，可得：当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故，则，故，故③正确；
对于④，当轴时，设，则，则有：，
记，则有，令，解得：，
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有，故，故选项④正确.
故答案为：①③④.
四、解答题：
15.已知圆.
(1)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程.
【解析】（1）圆C的圆心坐标为，半径，
因为直线l被圆C截得的弦长为，所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离.
①当直线l的斜率不存在时，，显然不满足；
②当直线l的斜率存在时，设，即，
由圆心C到直线l的距离，得，即，解得或，
故直线l的方程为或.
（2）因为直线l过点且与圆C相交，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即，则圆心C到直线l的距离为，
又的面积，
所以当时，S取最大值8.
由，得，解得或，
所以直线l的方程为或.
16.已知数列，其中前项和为，且满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．
【解析】（1）证明：由题意，两边同时加3，
可得，，
数列是以8为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，则，，
故
．
17.如图，已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，△ABC是正三角形，侧面BCC1B1是等腰梯形，AB＝2BB1＝2B1C1＝4，E为AC的中点．
(1)求证：AA1⊥BC；
(2)求直线EB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．
【解析】（1）（1）证明：分别取BC、B1C1的中点O、O1，连接A1O1、OO1、AO，
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，
∵平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，AO⊂平面ABC，
∴AO⊥平面BCC1B1，同理可得，A1O1⊥平面BCC1B1，∴A1O1∥AO，
∴A1、O1、O、A四点共面．
∵等腰梯形BCC1B1中，O、O1分别为BC、B1C1的中点，∴OO1⊥BC，
又AO⊥BC，AO∩OO1＝O，AO、OO1⊂平面A1O1OA，∴BC⊥平面A1O1OA，
∵AA1⊂平面A1O1OA，∴AA1⊥BC．
（2）（2）由（1）知，AO⊥平面BCC1B1，
∵OO1⊂平面BCC1B1，∴AO⊥OO1，∴OO1，OA，OB两两垂直，故以O为原点，OA、OB、OO1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
∴
设平面ABB1A1的法向量为，则，即，
令，则，，∴，设直线EB1与平面ABB1A1所成角为θ，
则
故直线EB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为．
18.设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．
(1)求抛物线的方程；
(2)当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设抛物线焦点为F，，根据抛物线的定义有，
则，即，所以（舍去负值），
则抛物线的方程为．
（2）∵，∴K、A、B三点共线．∴设直线AB方程为，
设，，，联立得，，则或.
，，，，且有，
而
，因为，的任意性，要使该值为定值，需满足
，可得，此时.
19.已知函数（a为实数）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证．
(3)若有两个零点，，证明：．
【解析】（1），当时，恒成立，在上递增；
当时令；增区间为，减区间为.
（2）当时，在上递增，与题意矛盾，
令
,
在上递增，又因为时，，
当时，；时，
当时在上递增，上递减必有一个在上，一个在上，不妨设，若则显然成立；
若，由时，知,即
又
又,在上递增，则即证毕．
（3）不妨设，由，可得即

=，设，则，
设，则
即函数在上是单调增函数，即得证