人教A版选择性必修一高二数学上册 期中模拟试卷（2份，原卷版+解析版）

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一、单项选择题：
1．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【解析】直线的斜率为1，倾斜角为45°，故选：B．
2．已知圆，则（ ）
A．圆C的圆心坐标为 B．圆C的圆心坐标为
C．圆C的半径为 D．圆C的半径为35
【答案】C
【解析】圆C的方程可化为，则圆心坐标为，半径为.故选：C.
3．已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】根据椭圆的定义有，①
根据余弦定理得，②
结合①②解得，所以的面积．故选:C
4．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，故选；A
5．若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由直线与直线平行，可得，解之得
则直线与直线间的距离为，故选：B
6．直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设，可得，，， . ，
故BM与AN所成角的余弦值为，故选：A.
7．若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得；
②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.
综上可知：或.故选：D.
8．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，如图，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直则只需，即，，即，
因为，解得：．，即，而，
，即．故选：D．
二、多项选择题：
9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B．若直线的方向向量，平面的法向量，则
C．若平面，的法向量分别为，，则
D．若存在实数使则点共面
【答案】AD
【解析】对于A：因为直线的方向向量，直线的方向向量，
且，所以，所以与垂直.故A正确；
对于B：因为直线的方向向量，平面的法向量，
且，所以不成立.故B不正确；
对于C：因为平面，的法向量分别为，，
且，所以不垂直，所以不成立.故C不正确；
对于D：若不共线，则可以取为一组基底，
由平面向量基本定理可得存在实数使则点共面；
若共线，则存在实数使所以共线，
则点共面也成立.综上所述：点共面.故D正确.故选：AD
10．已知直线与圆，则（ ）
A．直线与圆C相离
B．直线与圆C相交
C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个
【答案】BD
【解析】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD
11．如图，在棱长为1的正方体中，M为BC的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．AM与所成角的余弦值为
B．C到平面的距离为
C．过点A，M，的平面截正方体所得截面的面积为
D．四面体内切球的表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，构建如图①所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，，故A正确；
对于B，方法1：如图②，连接AC，由正方体几何特征得：，
又面，面，面，
设C到平面的距离为d，即点A到平面的距离，，
即，求得.
方法2：根据图①，,，，，
设平面的法向量，则，即 ，令得：，
平面的一个法向量为，，
设C到平面的距离为d，则，故B正确；
对于C，取的中点N，连接，，，则，如图②所示，
则梯形为过点A，M，的平面截正方体所得的截面，
易知，，，可得梯形的高为，
则梯形的面积，故C错误；
对于D，易知四面体的体积，因为四面体的棱长都为，所以其表面积.设四面体内切球的半径为r，则，解得，所以四面体内切球的表面积为，故D正确.故选：ABD.
三、填空题：
12.已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.
【答案】
【解析】因为，则，
所以，，
所以，，，，因此，.故答案为：.
13.求过点 的圆 的切线方程__________.
【答案】或
【解析】过点的斜率不存在的直线为：，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线；当斜率存在，设其为k，则切线可设为.所以，解得：或.所以切线方程为：或.
故答案为：或.
14.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】如图所示：延长，交于点Q，
∵PA是的外角平分线，，，
又O是的中点，，且.
又，，
，∴离心率为.
故答案为：
四、解答题：
15.已知的三个顶点的坐标为、、，试求：
（1）边上的高所在的直线方程；
（2）的面积．
【答案】（1）；（2）24
【解析】（1）因为，则边上的高的斜率为3，
又经过A点，故方程为，化简得．
（2），直线方程为，
整理得，则到的距离为，
则的面积为.
16.已知圆和圆.
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度.
【答案】（1）相交；（2）；（3）
【解析】（1）将两圆方程化为标准方程为，,
则圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径.
，，，
，两圆相交.
（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为.
（3）由,解得或,
两圆的交点坐标为和.
两圆的公共弦的长度为.
17.如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）30°
【解析】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，，．所以，
因为平面,所以平面的一个法向量为，
因为，所以，因为平面，所以平面
（2），，．设平面的一个法向量为
则，令，则，，所以
设与平面所成角为，则．
因为，所以与平面所成角为30°．
18.如图所示，在四棱锥中，，，，且
（1）求证：平面平面；
（2）已知点是线段上的动点（不与点､重合），若使二面角的大小为，试确定点的位置.
【答案】（1）见解析；;（2）点在线段上满足
【解析】（1）连接，由，
知，
在中，，
设的中点为，连接，则，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为正方形，所以，
在中，，
在中，，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）在中，，
所以，在中，过点作，垂足为，
因为，所以为中点，所以，
由（1）得平面，平面，
则，平面，，则平面.以为原点，
分别以所在直线为轴，以过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间坐标系，则，
设，
则，易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以，
即，即，解得（舍）或，
所以，当点在线段上满足时，使二面角的大小为.
19.已知椭圆C：过点，且离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）∵，∴,
又椭圆C：过点，∴，∴，,
故所求椭圆方程为;
（2）设l的方程为，，,
联立得,由，解得,
由韦达定理，得，,则．
点P到直线l的距离,∴,
当且仅当，即时等号成立,
∴面积的最大值为2.