高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份高一下学期期末考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分）命题人：王英伟 审题人：韩潇
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出，即可得对应点的坐标得答案．
详解】∵，
∴，则
∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D．
2. 已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】若，，则可能平行，异面或者相交，故A错误；
若，，则与可能平行，可能相交，也可能，故B错误；
若，，则与可能平行，也可能，故C错误；
若，，由线面垂直的性质定理可知，故D正确；
故选：D
3. 一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出圆台的高，然后利用圆台体积公式即可得解.
【详解】令圆台的高为h，由图可知，
所以，
故选：C.
4. 已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由共线定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得.
【详解】因为与同向共线，所以存在使得，
即，
又向量不共线，所以，解得（舍去）或.
故选：A
5. 是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（ ）
A. B. 4C. 8D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可.
【详解】由题意，作出的图象可得，且，故.
故选：C
6. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理边化角，再根据两角和的正弦公式，即可化简，并求角的值，再根据条件求角的值.
【详解】由正弦定理可知，，
又因为，
所以，且，
所以，得，.
故选：B
7. 给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】对A：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对B：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量，
且存在实数，使得，
故和共线，不可作基底；
对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.
故选：C.
8. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量定义，由数量积的坐标表示代入计算可得结果.
【详解】由可得；；
根据投影向量的定义可得在上的投影向量为.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，是关于的方程的两根，其中，．若（为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】将代入方程后结合虚数的意义解得可得AB正确；由韦达定理可判断C错误；由虚数的模长和虚数的运算可得D错误.
【详解】A/B：由题意可得
，
即，
所以，故，
故A、B正确；
C：利用AB解析可得，故C错误；
D：利用AB解析由可得，
所以，而，故D错误；
故选：AB.
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若，，，则有两解
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，则为等边三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】A.直接利用正弦定理求解判断；B.根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断；C.利用正弦定理边化角，然后整理计算；D.利用余弦定理计算求解.
【详解】对于A：若，，，由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，A正确；
对于B：只能推出，为锐角，但不确定角的大小，故不能确定的形状，B错误；
对于C：由及正弦定理得，即，
所以，在中有或，所以为等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D：由已知，整理得，即，所以，则，即为等边三角形，D正确.
故选：AD.
11. 如图，三棱锥C中，PA，PB，PC两两垂直，，则（ ）

A.
B. 三棱锥的体积为
C. 点P到平面ABC的距离为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据线面垂直即可得到；对于B，C，用等体积法解题；对于D，补形成长方体，求长方体外接球即可．
【详解】对于A，由已知P平面PBC，得平面PBC，
又平面PBC，故，A正确；
对于B，因为PA，PB，PC两两垂直，则，故B错误；
对于C，设Р到平面ABC的距离为h，BC的中点为E，连接AE，
易知，
所以，
所以，解得.
所以点Р到平面ABC的距离为，故C正确；
对于D，因PA，PB，PC两两垂直，故三棱锥的外接球即是以2，1，1为棱长的长方体的外接球，
故球的半径为4+1+12=62，则球的表面积为，故D错误.
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】取中点，连接，，可得直线与平面所成角为，再根据几何关系求解即可.
【详解】取中点，连接，，因为三棱柱为正三棱柱，故，且平面.
又平面，故.
又，且平面，故平面.
则直线与平面所成角为.
又，，故，.
因为平面，故.

故答案为：
13. 已知直线l外一点，直线l过原点O，且平行于向量，则点A到直线l的距离为 _________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量求点到直线的距离公式计算作答.
【详解】依题意，直线l的方向向量为，则在方向上的投影向量长，
所以点A到直线l的距离为.
故答案为：
14. 已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，________．

【答案】
【解析】
【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，得到答案.
【详解】∵，，
∴
，
又，
∴，，，故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，由此求得的值；
（2）利用三角形的面积列方程，求得的值，结合余弦定理求得的值，进而求得三角形的周长.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得：，
且，可得，
且，可知，可得.
【小问2详解】
由（1）可知：，，则，
因为面积为，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
所以的周长为.
16. 已知，其中．
（1）若为纯虚数，求的共轭复数；
（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据复数类型得到方程组，再利用共轭复数概念即可；
（2）根据复数的几何意义得到不等式组，解出即可.
【小问1详解】
由题意可得，
解得，则，
所以的共轭复数为．
【小问2详解】
由题意可得，
即，
解得，即的取值范围是．
17. 某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
（1）小王获得了以下信息：
．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道；
．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是；
．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是；
．教学楼的高度是20米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度．
（2）小李获得了以下信息：
．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；
．大屏幕的高度是2米；
．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置．
【答案】（1）10米 （2）ND为米
【解析】
【分析】（1）先得到，，由正弦定理求出，求出；
（2）设，则，，利用正切差角公式表达出，由基本不等式求出最值，得到答案
【小问1详解】
由题意知，⊥，由勾股定理得，
且可知，
，
由正弦定理可得，
则体育馆的高度为10米.
【小问2详解】
设，则，，
，
当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，

，
，
∴四边形是平行四边形，，
又平面平面平面．
（2），
∵平面平面，平面平面平面，
平面，
又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
为棱的中点，


（i），
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为，
，
根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为
（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设，
则，
由（2）知平面的一个法向量为，
，
∴点Q到平面的距离是
，
．
19. n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
（2）证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
（3）已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.
【答案】（1），，，；
（2）证明见解析； （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解；
（2）根据题意，不妨设，得到有5个分量为，设的前5个分量中有r个，得到5个分量中有个，进而求得r的值，即可求解；
（3）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
两两垂直的4维信号向量可以为：，，，.
小问2详解】
假设存在10个两两垂直的10维信号向量，，…，，
因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，，
因为，所以有5个分量为，
设的前5个分量中有r个，则后5个分量中有个，
所以，可得，矛盾，
所以不存在10个两两垂直的10维信号向量.
【小问3详解】
任取，计算内积，将所有这些内积求和得到S，
则，
设，，…，的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为，
所以，
令，所以，所以.
【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给线性相关的定义进行运算判断.