高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

这是一份高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（　　）
A． B． C． D．
2．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
3．给出下面四个命题：① +=；② +=；③﹣=；其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
4．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（　　）
A． B． C． D．4
5．在△ABC中，A=60°，b=1，面积为，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．已知α，β为锐角，且cosα=，cosβ=，则α+β的值是（　　）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
8．tan 36°+tan 84°﹣tan 36°tan 84°=（　　）
A．﹣ B． C． D．
9．若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值为（　　）

A． B． C． D．
11．函数y=的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
12．已知平面上有四点O，A，B，C，满足++=， •=•=•=﹣1，则△ABC的周长是（　　）
A．3 B．6 C．3 D．9　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．半径为2的圆中，120°圆心角所对的弧的长度　 　．
14．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=　 　．
15．已知，则=　 　．
16．已知向量=，向量=（cosx，﹣m+cosx），函数f（x）=•，下列关于函数f（x）的结论中正确的是　 　．
①最小正周期为π； ②关于直线对称；
③关于点中心对称； ④值域为．　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）.
17．（1）已知α为钝角，且，求cosα和tanα；
（2）已知，求的值．








18．如图所示，以向量=， =为边作▱AOBD，又=， =，用，表示、、．








19．在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，求△ABC周长的最小值．






20．已知函数的图象过点，且图象上与P点最近的一个最高点坐标为．
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）若将此函数的图象向左平行移动个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）在上的值域．




21．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．
（1）求角C的值；
（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．











22．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x
（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．
　












参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】观察所求的式子发现满足两角和与差的正弦函数公式sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β），故利用此公式及特殊角的三角函数值化简即可求出原式的值．
【解答】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°
=sin（43°﹣13°）
=sin30°
=．
故选A　
2．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【考点】96：平行向量与共线向量．
【分析】由∥，根据1×m=2×（﹣2）可得答案．
【解答】解：∵∥∴1×m=2×（﹣2）∴m=﹣4
故选D．　
3．给出下面四个命题：① +=；② +=；③﹣=；其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【考点】99：向量的减法及其几何意义；98：向量的加法及其几何意义．
【分析】由向量加法的三角形法则和向量加减的几何意义即可判断
【解答】解：：① +=正确，
②+=；正确，
③﹣=，故③不正确；
故选：B　
4．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（　　）
A． B． C． D．4
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模．
【分析】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．
【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为60°
∴||=1，||=1，
=cos60°
∴||===
故选C．　
5．在△ABC中，A=60°，b=1，面积为，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由条件可得=bc•sinA，由此求得c的值，再由余弦定理求得a=．再由正弦定理可求得=2R= 的值．
【解答】解：在△ABC中，A=60°，b=1，面积为，则有=bc•sinA=×1×c×，∴c=2．
再由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA=1+4﹣4×=3，∴a=．
再由正弦定理可得=2R===2，
故选B．　
6．已知α，β为锐角，且cosα=，cosβ=，则α+β的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GP：两角和与差的余弦函数．
【分析】由题意求出，，然后求出0＜α+β＜π，求cos（α+β）的值，确定α+β的值．
【解答】解：由α，β为锐角，且cosα=，cosβ=，
可得，，且0＜α+β＜π，
，
故
故选B．　
7．在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用对数的运算法则可求得=2，利用正弦定理求得cosB，同时根据余弦定理求得cosB的表达式进而建立等式，整理求得b=c，判断出三角形为等腰三角形．
【解答】解：∵lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，
∴=2，
由正弦定理可知=
∴=
∴cosB=，
∴cosB==，
整理得c=b，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
故选D　
8．tan 36°+tan 84°﹣tan 36°tan 84°=（　　）
A．﹣ B． C． D．
【考点】GR：两角和与差的正切函数．
【分析】根据tan120°=tan（36°+84°）=﹣，利用两角和的正切公式即可求出结果．
【解答】解：∵tan120°=tan（36°+84°）==﹣，
∴tan36°+tan84°=﹣+tan36°tan84°，
∴tan 36°+tan 84°﹣tan 36°tan 84°
=﹣+tan36°tan84°﹣tan36°tan84°
=﹣．
故选：A．　
9．若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（　　）
A． * B．
C． D．
【考点】H5：正弦函数的单调性；G3：象限角、轴线角；HF：正切函数的单调性．
【分析】先根据点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，得到sinα﹣cosα＞0，tanα＞0，进而可解出α的范围，确定答案．
【解答】解：∵
故选B．　
10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入二倍角公式即可得出答案．
【解答】解：由题意可知小正方形的边长为1，大正方形边长为5，直角三角形的面积为6，
设直角三角形的直角边分别为a，b且a＜b，则b=a+1，
∴直角三角形的面积为S=ab=6，
联立方程组可得a=3，b=4，
∴sinθ=，cos2θ=1﹣2sin2θ=．
故选：B．　
11．函数y=的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
【解答】解：函数y=，
可知函数是奇函数，排除选项B，
当x=时，f（）==，排除A，
x=π时，f（π）=0，排除D．
故选：C．　
12．已知平面上有四点O，A，B，C，满足++=， •=•=•=﹣1，则△ABC的周长是（　　）
A．3 B．6 C．3 D．9
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决．
【解答】解：平面上有四点O，A，B，C，满足++=，
∴O是△ABC的重心，
∵•=•，
∴•（﹣）=•=0，
即：⊥，
同理可得：⊥，⊥，
即O是垂心，
故△ABC是正三角形，
∵•=•=•=﹣1，
令外接圆半径R，则：R2cos（∠AOB）=R2cos（）=﹣1
即：R=
即： ==2R=2，
即：a=，
故周长：3a=3，
故选：C　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．半径为2的圆中，120°圆心角所对的弧的长度　　．
【考点】G7：弧长公式．
【分析】利用弧长公式l=计算．
【解答】解：由弧长公式可得：l===．
故答案为：　
14．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=　7　．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．
【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），
∴=（﹣1+m，3），
∵向量+与垂直，
∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，
解得m=7．
故答案为：7．　
15．已知，则=　　．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．
【解答】解： =sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣
故答案为：﹣　
16．已知向量=，向量=（cosx，﹣m+cosx），函数f（x）=•，下列关于函数f（x）的结论中正确的是　①②　．
①最小正周期为π； ②关于直线对称；
③关于点中心对称； ④值域为．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的运算求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质判断即可．
【解答】解：向量=，向量=（cosx，﹣m+cosx），
函数f（x）=•=sinxcosx+cos2x﹣m2=sin2x+cos2x+=sin（2x+），
①最小正周期T=．
②当x=时，sin（2x+）=1，∴f（x）关于直线对称；
③当x=时，sin（2x+）=，∴f（x）关于点中心对称．
④∵sin（2x+）值域为[﹣1，1]，即﹣1≤sin（2x+）≤1，
f（x）=sin（2x+），
可得﹣1≤sin（2x+），即f（x）∈[，]．
∴f（x）的值域为[，]．
故答案为：①②．　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）.
17．（1）已知α为钝角，且，求cosα和tanα；
（2）已知，求的值．
【考点】GI：三角函数的化简求值；GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式求解即可．
（2）利用诱导公式化简求解即可．
【解答】解：（1）α为钝角，且，可得sinα=，
∴cos=﹣，，…
（2），可得tan， ===…　
18．如图所示，以向量=， =为边作▱AOBD，又=， =，用，表示、、．

【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】利用平面向量的三角形法则解答即可．
【解答】解：如图所示，以向量=， =为边作平行四边形AOBD，又=， =，所以==；
、．

，
所以=；　
19．在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，求△ABC周长的最小值．
【考点】HR：余弦定理．
【分析】先由条件求得 cosC=﹣，再由余弦定理可得 c2=（a﹣5）2+75，利用二次函数的性质求得c的最小值，即可求得△ABC周长a+b+c 的最小值．
【解答】解：解方程2x2﹣3x﹣2=0可得x=2，或 x=﹣．∵在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，
∴cosC=﹣．
由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2ab•cosC=（a+b）2﹣ab，
∴c2=（a﹣5）2+75．
故当a=5时，c最小为=5，
故△ABC周长a+b+c 的最小值为 10+5．　
20．已知函数的图象过点，且图象上与P点最近的一个最高点坐标为．
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）若将此函数的图象向左平行移动个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）在上的值域．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）由已知可得A=5，T==π，ω=2；由5sin（2×+φ）=0⇒+φ=0，于是可求得函数的解析式；
（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）即可求得函数的增区间；
（3）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换知g（x）=5sin[2（x+）﹣]﹣2=5sin（2x+）﹣2，﹣≤x≤⇒﹣≤2x+≤，利用正弦函数的单调性与最值即可求得g（x）的值域．
【解答】解：（1）由已知可得A=5， =﹣=，
∴T==π，
∴ω=2；
∴y=5sin（2x+φ），
由5sin（2×+φ）=0得， +φ=0，
∴φ=﹣，
∴y=5sin（2x﹣）；
（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，
得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），
∴该函数的增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；
（3）g（x）=5sin[2（x+）﹣]﹣2=5sin（2x+）﹣2，
∵﹣≤x≤，
∴﹣≤2x+≤，﹣≤sin（2x+）≤1，
∴﹣≤g（x）≤3，
∴g（x）的值域为[﹣，3]．　
21．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．
（1）求角C的值；
（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）根据正弦定理和特殊角的三角函数值即可求出；
（2）由三角形得面积公式和余弦定理即可求出．
【解答】解：（1）由a=2csinA及正弦定理，得==．
∵sinA≠0，∴sinC=．
又∵△ABC是锐角三角形，∴C=．
（2）c=，C=，
由面积公式，得absin=，即ab=6．①
由余弦定理，得a2+b2﹣2abcos=7，
即a2+b2﹣ab=7．②
由②变形得（a+b）2=3ab+7．③
将①代入③得（a+b）2=25，故a+b=5．　
22．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x
（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（I）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论；
（II）先根据正弦函数的单调性求出f（x）的值域，再把方程有解转化为f（x）与m+2的取值范围相同即可求实数m的取值范围．
【解答】解：（I）∵f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x
=1﹣cos（+2x）﹣cos2x
=1+sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣）+1．
∴周期T=π；
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，
∴单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，（k∈Z）．
（II）∵x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，
∴sin（2x﹣）∈[，1]，
所以f（x）的值域为[2，3]，
而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]