高一下册理数期末考试试卷(解析版)

这是一份高一下册理数期末考试试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了以下列函数中，最小值为2的是，不等式，已知圆C的圆心与点P等内容，欢迎下载使用。
高一下册理数期末考试试卷(解析版)
一.选择题
1.已知| |=| |=2，向量 与 的夹角为60°，则| ﹣ |等于（   ）
A.                                           B.                                           C. 2                                          D. 4
2.以下列函数中，最小值为2的是（   ）
A. y=x+        B. y=3x+3﹣x       C. y=1gx+ （0＜x＜1）       D. y=sinx+ （0＜x＜ ）
3.不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（   ）
A. （﹣∞，2）                      B. [﹣2，2]                      C. （﹣2，2]                      D. （﹣∞，﹣2）
4.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（   ）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n                                     B. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α                                   D. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
5.已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn ， 且Sn ， an ， 成等差数列，则数列{an}的通项公式为（   ）
A. 2n﹣3                                 B. 2n﹣2                                 C. 2n﹣1                                 D. 2n﹣2+1
6.若x，y满足 ，则2x+y的最大值为（   ）
A. 0                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
7.如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（   ）

A. cm2                              B. cm2                              C. 8cm2                              D. 14cm2
8.已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B点，且|AB|=6，则圆C的方程为（   ）
A. x2+（y+1）2=18          B. （x+1）2+y2=9          C. （x+1）2+y2=18          D. x2+（y+1）2=9
9.当x＞0，y＞0， + =1时，x+y的最小值为（   ）
A. 10                                         B. 12                                         C. 14                                         D. 16
10.设m＞1，在约束条件 下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（   ）
A. （1， ）                 B. （ ，+∞）                 C. （1，3）                 D. （3，+∞）
11.在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足 = + ，则r=（   ）
A.2 B.5 C.3 D.
12.已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于 ，则椭圆E的离心率的取值范围是（   ）
A. （0， ]                        B. （0， ]                        C. [ ，1）                        D. [ ，1）
二.填空题
13.设 =（1，2）， =（1，1）， = +k ．若 ⊥ ，则实数k的值等于________．
14.一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是________．
15.已知各项不为0的等差数列{an}满足 ，数列{bn}是等比数列，且b7=a7 ， 则b2b8b11的值等于________．
16.定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时， ，则f（log220）=________．
三.解答题
17.如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．
求证：AD⊥平面SBC．

18.数列{an}的前n项和记为Sn ， a1=t，an+1=2Sn+1（n∈N*）．
（1）当t为何值时，数列{an}为等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3=15，又a1+b1 ， a2+b2 ， a3+b3成等比数列，求Tn ．
19.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：

（1）AC⊥BC1；
（2）AC1∥平面B1CD．








20.在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．















21.已知f（x）=3x2﹣2x，数列{an}的前n项和为Sn ， 点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜ 对所有n∈N*都成立的最小正整数m．










22.定圆M： =16，动圆N过点F 且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．
（I）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．















答案解析部分
一.选择题
1.【答案】C
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：| ﹣ |2=（ ﹣ ）2=| |2+| |2﹣2 =4+4﹣4=4，
所以| ﹣ |=2，
故答案为：C．
【分析】由向量的数量积运算以及模的公式可得。
2.【答案】B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：A中不满足x＞0；
B中，y=3x+3﹣x≥2，当且仅当3x=3﹣x即x=0时取等号；
C中，因为0＜x＜1，故lgx＜0，不满足条件；
D中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；
故答案为：B．
【分析】根据基本不等式的最值情况可得出结果。
3.【答案】C
【考点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立②当a≠2时，要求
解得：a∈（﹣2，2）
综合①②可知：a∈（﹣2，2]
故答案为：C．
【分析】由二次函函数的图像和性质可得到结果，注意讨论二次项系数当a=2的这种情况，最后求①②的并集。
4.【答案】B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故答案为：B．
【分析】根据空间中两条直线的位置关系可得。
5.【答案】B
【考点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意知2an=Sn+ ，
2an﹣1=Sn﹣1+ ，
两式相减得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），整理得：an=2an﹣1（n≥2）
当n=1是，2a1=S1+ ，即a1=
∴数列{an}是 为首项，2为公比的等比数列，
∴an= •2n﹣1=2n﹣2 ，
当n=1时，成立，
故答案为：B
【分析】根据已知Sn和an的关系式可得，数列{an}是 为首项，2为公比的等比数列.再由等比数列的通项公式可得。
6.【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由 ，解得 ，即A（1，2），
代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．
即目标函数z=2x+y的最大值为4．
故答案为：C．

【分析】根据线性规划作出可行域，再转化z=2x+y得y=﹣2x+z，由图象可得当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，求出两条直线的交点坐标代入上式即可得最值。
7.【答案】C
【考点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体是一个正四棱锥，
又由主视图与左视图是边长为2的正三角形可得棱锥的底面上的棱长为2，棱锥的高为
则棱锥的侧高（侧面的高）为2
故棱锥的侧面积S=4× =8cm2
故答案为：C
【分析】由题意可知该几何体是一个正四棱锥，根据已知的主视图与左视图是边长为2的正三角形可得棱锥的底面上的棱长为2，棱锥的高为 ，由棱锥的侧面积公式可得结果。
8.【答案】A
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意，设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则其标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ，
圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，
必有 ，解可得 ，
圆心C到直线3x+4y﹣11=0的距离d= =3
又由直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B点，且|AB|=6，
则其半径r2=32+32=18，
故其标准方程为：x2+（y+1）2=18，
故答案为：A．
【分析】根据题意可设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则其标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 利用点关于直线对称的性质得，斜率之积等于-1，中点在已知的直线上，解出a=0，b=-1,再根据圆内弦和半径构成的直角三角形利用勾股定理可求出r的值，进而得到圆的标准方程。
9.【答案】D
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵x＞0，y＞0， + =1，
∴x+y=（x+y） =10+ =16，当且仅当y=3x=12时取等号．
∴x+y的最小值为16．
故答案为：D．
【分析】根据题意整理转化x+y利用基本不等式可得，10+ + ≥ 10 + =16，即得最小值为16.
10.【答案】A
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：∵m＞1
故直线y=mx与直线x+y=1交于 点，
目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在 点，取得最大值
其关系如下图所示：
即 ，
解得1﹣ ＜m＜
又∵m＞1
解得m∈（1， ）
故答案为：A．

【分析】先求出两条直线的交点坐标，再把交点坐标代入到目标函数z=x+my，令Z的表达式小于2，解出m的取值范围再与条件中的m求交集。
11.【答案】D
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可得，| |=| |=| |=r，
设 与 的夹角是θ，且θ∈[0，π]，
则 • =| || |cosθ=r2cosθ，
由题意知， ，
则 ，
所以 ，
化简cosθ= ，
因为cosθ=2 ﹣1，且 ＞0，所以 =2 ﹣1，
解得 = ，
设圆心O（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离为d，
则d= = ，即r = ，解得r= ，
故答案为：D．
【分析】由已知和向量的数量积运算可得cosθ的值，再根据余弦的二倍角公式可得c o s 的值，利用圆心到直线的距离公式可得r= 10 。
12.【答案】A
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于 ，∴ ，解得b≥1．
∴e= = ≤ = ．
∴椭圆E的离心率的取值范围是 ．
故答案为：A．

【分析】利用椭圆的定义可得a=2，再根据点到直线的距离公式得到, 解得b≥1.进而e= =，故得离心率的取值范围。
二.填空题
13.【答案】﹣
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵ =（1，2）， =（1，1），
∴ = +k =（1，2）+（k，k）=（1+k，2+k），
∵ ⊥ ，∴ • =1+k+2+k=0，
解得k=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】根据向量的线性运算代入坐标求出=（1+k，2+k），利用向量垂直的坐标表示求出k的值。
14.【答案】2：1
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r，所以圆锥的侧面积为： =πrl
圆柱的侧面积为：2πrl所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1
故答案为：2：1
【分析】由圆锥侧面积和圆柱侧面积的公式可得比值。
15.【答案】8
【考点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵各项不为0的等差数列{an}满足 ，
∴2a7﹣a72=0，解得a7=2，∴b7=a7=2，
∴b2b8b11=b6b8b7=b73=8，
故答案为：8．
【分析】根据等差数列中项与项数之间的关系，可得原式化为 2a7﹣a72=0，解得a7=2。再根据等比数列中项与项数之间的关系求出 b2b8b11=b6b8b7=b73=8。
16.【答案】﹣1
【考点】函数的周期性，函数的值
【解析】【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数
又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数
又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5
∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2 ）
又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+ ，
∴f（log2 ）=1
故f（log220）=﹣1
故答案为：﹣1
【分析】利用函数的周期为4，可转化  f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2 ）再由题意可得函数f（x）为奇函数，利用奇函数的定义可得﹣f（﹣log2 ）=﹣f（log2 ），求出结果。
三.解答题
17.【答案】证明：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又SA⊥面ABC，∴SA⊥BC，
∴BC⊥面SAC，∴BC⊥AD．
又SC⊥AD，SC∩BC=C，
∴AD⊥面SBC．
18.【答案】（1）解：由an+1=2Sn+1  ①可得an=2sn﹣1+1  （n≥2）②
 两式作差得 an+1﹣an=2an⇒an+1=3an ．
因为数列{an}为等比数列⇒a2=2s1+1=2a1+1=3a1⇒a1=t=1．
所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列 
∴an=3n﹣1 ．
（2）解：设等差数列{bn}的公差为d，
由T3=15⇒b1+b2+b3=15⇒b2=5，
所以可设b1=5﹣d，b3=5+d．
又a1=1，a2=3，a3=9．
由题得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2 ． ⇒d=﹣10，d=2．
因为等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且b2=5，所以d=﹣10．
解得b1=15，
所以Tn=15n+ =20n﹣5n2 ．
19.【答案】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC1=C，
∴AC⊥平面BCC1B1
∴AC⊥BC1 ．
（2）证明：设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，

∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1 ，
又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD．
20.【答案】（1）解：由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．
∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，
由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则 =1，解得：k=﹣ ，
又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣ x+3，
即x=0或12x+5y﹣15=0；
（2）解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|= ，
∴1≤ ≤3，
解得：0≤a≤ ．直线       
21.【答案】（1）解：∵f（x）=3x2﹣2x，数列{an}的前n项和为Sn ，
点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴ ，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5，
当n=1时，a1=S1=3﹣2=1，满足上式，
∴an=6n﹣5，n∈N* ． 的
（2）解：由（1）得 = = ，
∴Tn=
= ，
∴使得Tn＜ 对所有n∈N*都成立的最小正整数m必须且仅须满足 ，
即m≥10，∴满足要求的最小整数m=10．
22.【答案】解：（Ⅰ）因为点 在圆 内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且 ，所以b=1，所以轨迹E的方程为 ．
（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），
此、时 |AB|=2．
（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，
联立方程 得 ，
所以|OA|2= ．
由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为 ，
由 解得 ， = ， ，
S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|= ，
由于 ，所以 ，
当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是 ，
因为 ，所以△ABC面积的最小值为 ，此时直线AB的方程为y=x或y=﹣x．