高一(下)期末数学试卷(含解析)

这是一份高一(下)期末数学试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一（下）期末数学试卷
一、选择题：（共12小题，每小题5分．）
1．若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（　　）
A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅
2．若a＜，则化简的结果是（　　）
A．B．﹣C．D．﹣
3．函数的定义域是（　　）
A．B．C．D．
4．若角600°的终边上有一点（a，﹣3），则a的值是（　　）
A．﹣B．C．D．﹣
5．已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（　　）
A．B．C．﹣D．﹣
6．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（　　）
A．﹣10B．﹣6C．0D．6
7．若0＜a＜1，则函数y=ax与y=（1﹣a）x2的图象可能是下列四个选项中的（　　）
A．B．C．D．
8．设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（　　）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
9．三视图如图的几何体的全面积是（　　）

A．B．C．D．
10．设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线x=对称
B．f（x）的图象关于点（，0）对称
C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数
11．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（　　）
A．B．C．D．
12．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是（　　）
A．2B．2C．3D．2+　
二、填空题（共4小题，每小题5分.）
13．已知A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5），则向量在向量上的投影为　 　．
14．已知sin（2π﹣α）=，α∈（，2π），则=　 　．
15．定义在区间（0，）上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段PP2的长为　 　．
16．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=ln x，则f（），f（），f（2）三个数由小到大的排列顺序为　 　．　
三、解答题（解答应写出必要的文字说明和演算步骤）
17．已知：向量=（sinθ，1），向量，﹣＜θ＜，
（1）若，求：θ的值；　　
（2）求：的最大值．





18．经过点P（6，﹣4），且被圆x2+y2=20截得的弦长为6的直线方程为　 　．








19．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y=k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）




20．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．


21．已知函数y=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0≤θ≤）的图象与y轴相交于点M（0，），且该函数的最小正周期为π．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=，x0∈[，π]时，求x0的值．







22．已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣（x∈R）．
（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；
（2）若A为锐角，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A．
　








参考答案与试题解析
一、选择题：（共12小题，每小题5分．）
1．若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（　　）
A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算．
【解答】解：由题得：A={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y≥0}，
∴A∩B={x|0≤x≤1}．
故选C．　
2．若a＜，则化简的结果是（　　）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】44：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】利用根式的运算性质即可得出．
【解答】解：∵a＜，∴1﹣2a＞0．
则=．
故选：C．
3．函数的定义域是（　　）
A．B．C．D．
【考点】4K：对数函数的定义域．
【分析】由对数的性质知函数的定义域是{x|}，由此能求出结果．
【解答】解：函数的定义域是：
{x|}，
解得{x|1}．
故选C．　
4．若角600°的终边上有一点（a，﹣3），则a的值是（　　）
A．﹣B．C．D．﹣
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得a的值．
【解答】解：∵角600°的终边上有一点（a，﹣3），∴cos600°=cos240°=﹣cos60°=﹣=，
∴a=﹣，
故选：A．　
5．已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（　　）
A．B．C．﹣D．﹣
【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由tanA的值及A为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值即可．
【解答】解：∵在△ABC中，tanA=﹣，
∴cosA=﹣=﹣．
故选：C．
　
6．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（　　）
A．﹣10B．﹣6C．0D．6
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据∥，可得﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2，则•=x﹣8，运算求得结果．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，﹣4），∥，∴﹣4﹣2x=0，∴x=﹣2．
则•=x﹣8=﹣2﹣8=﹣10，
故选 A．
　
7．若0＜a＜1，则函数y=ax与y=（1﹣a）x2的图象可能是下列四个选项中的（　　）
A．B．C．D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】根据a的范围判断指数函数的单调性和二次函数的开口方向，从而得出答案．
【解答】解：∵0＜a＜1，∴1﹣a＞0，
∴y=ax是减函数，y=（1﹣a）x2的图象开口向上，对称轴为y轴，
故选：B．　
8．设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（　　）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3﹣22﹣x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3﹣22﹣x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．
【解答】解：∵y=（）x﹣2=22﹣x
令g（x）=x3﹣22﹣x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，
易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．
故选B．　
9．三视图如图的几何体的全面积是（　　）

A．B．C．D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，一条侧棱与底面垂直，且侧棱的长是1，另外两条侧棱长，得到表面积．
【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，
一条侧棱与底面垂直，且侧棱的长是1，
∴四棱锥的表面积是1×+2×=2+
故选A．　
10．设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线x=对称
B．f（x）的图象关于点（，0）对称
C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的对称性．
【分析】由题意求出函数对称轴，判断A，不正确；对称中心代入验证可知B的正误，根据平移判断C的正误，根据单调性判断D的正误即可．
【解答】解：由对称轴x=kπ+ k∈Z，A不正确，
（，0）代入函数表达式对B选项检验知命题错；
C平移后解析式为f（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，故其为偶函数，命题正确；
D．由于x∈[0，]时2x+∈[，]，此时函数在区间内不单调，不正确．
故选C．　
11．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（　　）
A．B．C．D．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．
【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）
∴﹣ω+kπ=
∴ω=k+（k∈Z），
又∵ω＞0
∴ωmin=．
故选D．　
12．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是（　　）
A．2B．2C．3D．2+
【考点】IS：两点间距离公式的应用．
【分析】由直线过定点可得A，B的坐标，斜率可知两直线垂直，可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得．
【解答】解：由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0），斜率k=，
直线mx﹣y﹣m+3=0可化为（x﹣1）m+3﹣y=0，斜率k=m．
令可解，即B（1，3），
又1×m+m×（﹣1）=0，故两直线垂直，
即交点为P，
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，
由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2
=（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB|
≥（|PA|+|PB|）2﹣2
=（|PA|+|PB|）2，
∴（|PA|+|PB|）2≤20，
解得：|PA|+|PB|≤，
当且仅当|PA|=|PB|时取等号．
故选：B．　
二、填空题（共4小题，每小题5分.）
13．已知A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5），则向量在向量上的投影为　　．
【考点】MS：向量的投影．
【分析】先求得向量的坐标，再求得其数量积和模，然后用投影公式求解．
【解答】解：根据题意：，
∴，，
∴=，
故答案为：．　
14．已知sin（2π﹣α）=，α∈（，2π），则=　　．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】已知等式左边利用诱导公式化简，整理求出sinα的值，进而求出cosα的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵sin（2π﹣α）=﹣sinα=，即sinα=﹣，α∈（，2π），　
15．定义在区间（0，）上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段PP2的长为　　．
【考点】H7：余弦函数的图象；HC：正切函数的图象．
【分析】先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．
【解答】解：由题意可得，线段P1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=．
∴线段P1P2的长为，
故答案为：．
16．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=ln x，则f（），f（），f（2）三个数由小到大的排列顺序为　f（）＜f（）＜f（2）　．
【考点】3F：函数单调性的性质；4N：对数函数的图象与性质．
【分析】转化f（），f（），f（2）三个数，再利用f（x）在（2，+∞）上单调递增，得出结论．
【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x），则f（）=f（2﹣）=f（），f（）=f（2﹣）=f（），
当x≥1时，f（x）=ln x，故f（x）在（2，+∞）上单调递增．
由2＞＞，可得f（）＜f（）＜f（2），
故答案为：f（）＜f（）＜f（2）．　
三、解答题（解答应写出必要的文字说明和演算步骤）
17．已知：向量=（sinθ，1），向量，﹣＜θ＜，
（1）若，求：θ的值；　　
（2）求：的最大值．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；93：向量的模．
【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量垂直，数量积等于0，得到sin（θ+）=0，求出θ．
（2）由=，及﹣＜θ+＜，可得当sin（θ+）=1时，有最大值．
【解答】解：（1）∵，∴ =0，
∴sinθ+cosθ=sin（θ+）=0．
∵﹣＜θ，
∴θ=﹣．
（2）=|（sinθ+1，cosθ+1）|==
=．
∵﹣＜θ，∴﹣＜θ+＜，
∴当sin（θ+）=1时，有最大值，
此时，θ=，
∴最大值为 =+1．
18．经过点P（6，﹣4），且被圆x2+y2=20截得的弦长为6的直线方程为　x+y﹣2=0或7x+17y+26=0　．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．
【分析】设出过P的直线方程的斜率为k，由垂径定理得：弦的一半、圆的半径、圆心到弦的距离构成直角三角形，根据勾股定理求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式列出斜率的方程，求出即可得到k的值，即可得到直线方程．
【解答】解：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y+4=k（x﹣6），化简得：kx﹣y﹣6k﹣4=0
根据垂径定理由垂直得中点，所以圆心到弦的距离即为原点到所求直线的距离d==
即=，解得k=﹣1或k=﹣，所以直线方程为x+y﹣2=0或7x+17y+26=0．
故答案为：x+y﹣2=0或7x+17y+26=0．　
19．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y=k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【考点】4D：指数函数的实际应用．
【分析】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y=k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；
（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．
【解答】解：（1）当0≤t＜1时，y=8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y=kat，得，解得，
故
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t=5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
含第二次服药量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg　
20．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．
【考点】LS：直线与平面平行的判定；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；
（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．
【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，
∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD　
21．已知函数y=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0≤θ≤）的图象与y轴相交于点M（0，），且该函数的最小正周期为π．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=，x0∈[，π]时，求x0的值．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）将M坐标代入已知函数，计算可得得cosθ，由θ范围可得其值，由ω=结合已知可得ω值；
（2）由已知可得点P的坐标为（2x0﹣，）．代入y=2cos（2x+）结合x0∈[，π]和三角函数值得运算可得．
【解答】解：（1）将x=0，y=代入函数y=2cos（ωx+θ）得cosθ=，
∵0≤θ≤，∴θ=．
由已知周期T=π，且ω＞0，
∴ω===2
（2）∵点A（，0），Q（x0，y0）是PA的中点，y0=，
∴点P的坐标为（2x0﹣，）．
又∵点P在y=2cos（2x+）的图象上，且x0∈[，π]，
∴cos（4x0﹣）=，≤4x0﹣≤，
从而得4x0﹣=，或4x0﹣=，
解得x0=或　
22．已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣（x∈R）．
（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；
（2）若A为锐角，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A．
【考点】GT：二倍角的余弦；9Y：平面向量的综合题．
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简解析式，由正弦函数的周期、最值求出结果；
（2）根据向量垂直的条件列出方程，代入f（x）由诱导公式化简求出，由三角函数值的符号、角A的范围求出的范围，由平方关系求出的值，利用两角差的余弦函数、特殊角的三角函数值求出cos2A的值．
【解答】解：（1）由题意得，f（x）=﹣﹣
=cos2x﹣1=，
∴函数f（x）最小值是﹣2，最小正周期T==π；
（2）∵向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，
∴1+5f（﹣A）=0，则1+5[]=0，
∴=＞0，
∵A为锐角，∴，则，
∴==，
则cos2A=cos[（）﹣]=+
=×+=．