中考数学 专题练习09 反比例函数的图象和性质（河南专用）（解析版）

这是一份中考数学 专题练习09 反比例函数的图象和性质（河南专用）（解析版），共89页。试卷主要包含了反比例函数与三角形的综合问题，反比例函数与四边形的综合问题，反比例函数与三角形的综合，反比例函数与一次函数的综合问题，反比例函数的实际应用问题，反比例函数背景下的临界点问题等内容，欢迎下载使用。

考点一、反比例函数与三角形的综合问题
1．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：
(2)
【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；
（2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，
∵含角的三角板为等腰直角三角形，，
∴，，
如图，连接，旋转到的位置；
∴，
∵的对应点在的图象上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键.
2．（2022·河南·中考真题）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．
【答案】(1)
(2)图见解析部分
(3)证明见解析
【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可；
（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证.
【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点，
∴当时，，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）如图，直线即为所作；
（3）证明：如图，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识． 解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
考点二、反比例函数与四边形的综合问题
3．（2021·河南·中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．
【详解】解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，
设B(a，a)，则有，
∴，即B(，)，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为，
大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积为16-8=8．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．
4．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；
（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
当时，，
∴反比例函数的图象经过，，，
画图如下：
（3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上，
∴平移后点E对应点的纵坐标为4，
当时，，
解得，
∴平移距离为．
故答案为：．
5．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
(1)求k的值；
(2)求扇形的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】(1)
(2)半径为2，圆心角为
(3)
【分析】（1）将代入中即可求解；
（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解；
（3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答．
【详解】（1）解：将代入中，
得，
解得：；
（2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：
，
，
，
半径为2；
，
∴，
，
由菱形的性质知：，
，
扇形的圆心角的度数：；
（3）解：，
，
，
如下图：由菱形知，，
，
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义．
专练一、反比例函数的图象和性质
6．（2025·河南·模拟预测）已知反比例函数，当时有最大值；反比例函数，当时有最大值，则的值为（ ）
A．B．C．1D．8
【答案】B
【分析】本题考查了求反比例函数值．分别求出两个反比例函数在指定范围内的最大值，再代入计算幂的值．
【详解】解：对于反比例函数，随的增大而减小．
∴当时，有最大值；
即；
对于反比例函数， 随的增大而增大．
∴当时，有最大值．
即．
将和代入，得．
故选：B．
7．（2025·河南信阳·三模）已知反比例函数（k为常数，且）的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【分析】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式．
根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根．
【详解】解：∵反比例函数（k为常数，且）的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，
．
关于x的一元二次方程，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．（2025·河南周口·三模）已知点，，都在反比例函数的图象上，分别比较：，，的大小，下面四位同学的做法中正确的是（ ）
A．甲：令，则
B．乙：无论取何值，都有
C．丙：当时，；当时，
D．丁：当时，；当时，
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，分和两种情况讨论各点值的大小关系即可．熟练掌握反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小；当时，在每个象限内y随x的增大而增大．
【详解】解：当时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
当时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故A、B、D错误，C正确；
故选：C．
9．（2025·河南鹤壁·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键．
将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可．
【详解】解：把和代入解析式得：，，
∴，
故答案为：．
专练二、求反比例函数的比例系数
10．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的判定，延长交轴于点，求出，然后证明四边形，四边形，四边形是矩形，又点在反比例函数图象上，则，再通过，即，求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交轴于点，
∵点的坐标为在反比例函数上，
∴，
∵轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点，
∴轴，
∴，
∴四边形，四边形，四边形是矩形，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
故选：．
11．（2025·河南信阳·三模）若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，设反比例函数的解析式为，把代入求出k值即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，因为函数经过点，
∴，
则它的解析式是．
故答案为：．
12．（2025·河南·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接并延长交反比例函数图象于点C，连接，若，则k的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用A，C关于原点对称求解是解决问题的关键．先由对称性质可得，得出，即，求得，再根据反比函数图象在第一、三象限求解即可．
【详解】解：根据反比例函数图象的对称性可得，点A，C关于原点对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比函数图象在第一、三象限，
∴，
故答案为：6．
13．（2025·河南驻马店·三模）如图，斜边的端点坐标为，，以点为圆心，的长为半径画弧恰好经过原点，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先证明是等边三角形，则，然后根据勾股定理求出，再由求解即可．
【详解】（1）解：把点代入，得．
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，如图所示．
∵点，，
∴，，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又根据勾股定理可知：，
∴阴影部分的面积
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
14．（2025·河南焦作·三模）如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，．
(1)求k的值；
(2)过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数的解析式，正切的定义．
（1）先根据正切的定义求得，则，进而得，即可求出k的值；
（2）根据反比例函数解析式求出，进而得，，设，分两种情况：当在右侧时；当在左侧时；分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，则，
∵是的中点，
∴，
把代入得；
（2）
解：把代入得，
∴，
∴，，
设，
当在右侧时，，
解得；
当在左侧时， ，
解得．
∴点的坐标为或．
专练三、反比例函数与三角形的综合
15．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，点A在反比例函数 的图象上，且点A的横坐标为1．以为一边作等腰直角三角形，其中 ，点P从点O出发，在的内部运动（可在的边上），且在运动过程中始终与线段， 的距离相等，则当最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，角平分线的性质与判定，过作于，先求出，则， ，再根据点P在运动过程中始终与线段， 的距离相等，得到，当最大时,为与的交点，然后利用面积法求即可．
【详解】解：过作于，

∵点A在反比例函数 的图象上，且点A的横坐标为1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P在运动过程中始终与线段， 的距离相等，
∴平分，
∵
∴，
当最大时,为与的交点，
∵，
∴，
∴，
解得，
故选：B．
16．（2025·河南平顶山·二模）如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质，等腰三角形的性质，数字规律，由第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，则第个等腰三角形顶点的横坐标为，然后代入反比例函数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意知，每个等腰三角形的底边长均为，且顶点在反比例函数的图象上，
∵第个等腰三角形顶点的横坐标为，
第个等腰三角形顶点的横坐标为，
第个等腰三角形顶点的横坐标为，
，
∴第个等腰三角形顶点的横坐标为，
∴第个等腰三角形顶点的纵坐标为，
∴第个等腰三角形顶点的坐标为，
故选：．
17．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求证：；
(3)直接写出阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求解，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可；
（2）先求解（舍去），可得，由作图可得：，求解，设，结合，可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）由（2）得：，，结合阴影部分的面积为扇形面积减去直角三角形的面积即可.
【详解】（1）解：∵点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，
∴，
∴，
∴反比例函数为；
（2）证明：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：（舍去），
∴，
由作图可得：，
∵，
∴，
设，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得：，，
∴阴影部分的面积为.
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，求解反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理的应用，求解扇形的面积，掌握以上知识是解本题的关键.
18．（2025·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中放置一块等腰直角三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点．
(1)用尺规作出直线l；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合应用，垂直平分线，全等三角形的判定与性质，做垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题意作出线段的垂直平分线即可；
（2）利用一线三直角证明继而可求出点C坐标，再根据中点坐标公式求出D点坐标，即可求出双曲线中的k值．
【详解】（1）解：作线段的垂直平分线即为所求的直线l，如图所示：
（2）解：如上图，作轴，垂足为F，
∴，
由直线的解析式为，
令时，，解得，
令时，，
∴，，
，
，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵直线，且过的中点，
∴点D为线段的中点，
∴，
∵双曲线经过点，
∴．
19．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3．
(1)求k的值；
(2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，三位似三角形性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）把代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求解；
（2）先求出点B的坐标为，可得到，过点A作交y轴于点D，，此时与位似且位似中心为点C，符合题意，求出，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：
，解得：，
∴点A的坐标为，
把点代入得：；
（2）解：当时，，
∴点C的坐标为，
∴由（1）得：反比例函数解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点B的坐标为，
∴，
∴，
如图，过点A作交y轴于点D，
∴，
此时与位似且位似中心为点C，符合题意，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
20．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，将正比例函数的图象向上平移，分别交x轴、y轴于点A，B，且经过点，C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若反比例函数的图象经过点，求k的值；
(3)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)3π．
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积，待定系数法求函数解析式．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴于点D，求得，得到点的坐标为，再利用待定系数法即可求解；
（3）根据，求解即可．
【详解】（1）解：∵直线是由直线平移得到的，
∴可设直线的函数表达式为，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于点D，
对于，
令，则，令，则，
∴，
∵C为线段的中点，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∵，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴；
（3）解：∵，
根据勾股定理，得，，
∴．
21．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标；
【答案】(1)一次函数解析式为：；反比例函数表达式；
(2)或
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和面积问题，数形结合和准确求出函数解析式是关键．
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）求出直线与轴交点的坐标为，得到，根据和面积相等列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
将点代入反比例函数表达式得，则
将点、的坐标代入一次函数解析式得到
解得
∴一次函数解析式为：；
（2）当时，，解得，，
∴直线与轴交点的坐标为，故；


或
点坐标为或
22．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，轴于点C．
(1)求a，b的值．
(2)请结合函数图象，直接写出当时，不等式的解集．
(3)P为反比例函数图象上位于点A右侧的一动点，连接，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先将点代入，求出一次函数的表达式为，再把点代入，可得，求出，然后根据点在反比例函数的图象上，求出；
（2）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，结果函数图象，可求出当时，不等式的解集；
（3）先证明，列出比例式，求得，再设，从而可用表示出，，，进而表示出点P的坐标，再根据点P在反比例函数的图象上，得到关于的方程求解，求出点P的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，
可得，解得．
∴一次函数的表达式为．
把点代入，
可得，
∴．
把点代入，得．
（2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴当时，不等式的解集为；
（3）解：过点P作于点Q，如解图所示，则．
又∵，
∴．
∴，
即．
由（1），可得，，，
∴．
设，则，
∴，，即点．
∵点P在反比例函数的图象上，
∴，解得或（舍去）．
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式．
23．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，轴于点，轴于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象交于点，并求出点的坐标；
(3)是线段上的一点，连接，，若和的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)见解析，
(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出解析式，利用数形结合的思想进行求解时解题的关键：
（1）均在反比例函数的图象上，列出方程求出的值，进而求出点的坐标和的值，待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据尺规作垂线的方法，作出点，求出的中点坐标，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，推出的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出点坐标即可；
（3）设，根据面积相同，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解： 和是反比例函数图象上的点，，解得或（舍去），
，
点的坐标为，点的坐标为，
反比例函数的解析式为．
把，代入一次函数，得，解得
一次函数的解析式为．
（2）尺规作图如图所示．
由（1）得，，
垂直平分，
为的中点，
，即．
设直线与轴和轴交于点，
当时，，当时，，
∴，
∴，点的中点坐标为：，与点重合，
∴，平分，即为第一象限的角平分线，
∴直线的解析式为：，
，
∴点在直线上，
联立与反比例函数的解析式，可得，解得（负值舍去）；
∴点．
（3）如图，连接、，由于点在直线上，
设．
∵，，
∴，
由和的面积相等，得：，
解得；
把代入，得；
点坐标是．
专练四、反比例函数与四边形的综合问题
24．（2025·河南许昌·二模）如图，的一边在轴上，反比例函数的图象过的顶点和对角线的中点，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，先利用点是的中点求出点的坐标和反比例函数解析式，再由得到点的横坐标，代入反比例函数解析式求得点的坐标，再根据点是的中点求出点的坐标．
【详解】解：连接，
四边形是平行四边形，点是的中点，
点是的中点，
又
，
将点代入得：
反比例函数的解析式是．
点的横坐标是，
当时，，
又点是的中点，，
故选：C．
25．（2025·河南周口·三模）如图，点和点都在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式及的值．
(2)连接，过点作交的平分线于点，连接，求证：四边形为菱形．
【答案】(1)，
(2)见详解
【分析】（1）把点和点代入得到，解方程即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴
∴
把代入
解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）证明：由（1）得，
则
∵
∴
即
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的判定，勾股定理，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
26．（2025·河南周口·三模）如图，已知点是x轴上的动点，点B的坐标为，以为边在右侧作正方形．
(1)当时，反比例函数的图象经过点D，求反比例函数的表达式；
(2)当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求反比例函数表达式，关键要求出D点坐标，就要先证出，得出求出长，则可求出D点坐标，根据反比例函数图象上的点坐标即可求出表达式．
（2）分、两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解．
【详解】（1）解：如图1，过点D作轴于E，
，
，
，
点B的坐标为，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
把代入，得解得，
反比例函数的表达式为．
（2）①当时，如图2，
，，
由点A、B的坐标得，直线的表达式为，
当线段与双曲线有一个交点时，
联立表达式与反比例函数表达式得：，
整理得：，
，解得：，
故当时，正方形与反比例函数的图象有4个交点；
②当时，如图3，
（i）当边与双曲线有一个交点时，
过点D作轴于点E，
，，
，
，

由点A、D的坐标可得，直线的表达式为：，
联立与反比例函数表达式并整理得：
，解得：（不合题意值已舍去）；
（ii）当边与双曲线有一个交点时，
同理可得：，
所以当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为：；
综上所述，a的取值范围是或．
【点睛】本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、根的判别式的应用、三角形全等等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
27．（2025·河南漯河·三模）如图，平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将沿所在直线平移，使得点与点重合，画出平移后的．
(3)请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)30
【分析】本题考查了平移作图，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，勾股定理，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接把代入进行计算，即可作答．
（2）因为将沿所在直线平移，使得点与点重合，所以平移规律是向下平移5个单位长度，向左平移5个单位长度，从而得出点，再依次连接，即可作答．
（3）先证明四边形是矩形，再根据勾股定理算出，，最后由矩形的面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：由图知．
反比例函数经过点，
．
反比例函数的表达式为．
（2）解：依题意，如图所示．
（3）解：结合网格特征得出，
∴四边形是矩形，
则，，
四边形的面积是．
28．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，过点作轴，过点作轴，两直线交于点，连接，，．
(1)求的值；
(2)若，D为x轴正半轴上一点，求证：．
以下是小军的证明过程：
请将小军的证明过程补充完整．
【答案】(1)的值为；
(2)详见解析．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，平行线的性质，等边对等角，掌握相关知识的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法求解析式即可；
（）过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则，证明四边形是矩形，设，交于点，则有，，，从而可得，由轴，得，故有，最后通过角度和差即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
即的值为；
（2）证明：如图，过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则，
∴直线的函数表达式为，
∴，
∴轴，
∴，
∴四边形是矩形，
如图，设，交于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
29．（2025·河南驻马店·三模）如图，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)将正方形向右平移使点的对应点落在反比例函数图象上；
①点到轴的距离为________；
②线段扫过的面积为________．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，点到坐标轴的距离，掌握知识点是解题的关键．
（1）将点代入反比例函数，即可解答．
（2）①根据平移的性质可得的纵坐标为5，将代入反比例函数，求出，即可解答．
②根据平移的性质可知，线段扫过的图形为平行四边形，扫过的距离为：，高为4，利用平行四边形的面积公式计算，即可解答．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
．
（2）①∵，
∴反比例函数的解析式为，
由图象可知、点的坐标为，当点的对应点落在反比例函数图象上时，令，则，
∴，
点到轴的距离为．
故答案为：．
②线段扫过的面积为∶．
故答案为：．
30．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于和两点，点为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且．
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)连接、、，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)一次函数的解析式是；反比例函数的解析式是；
(2)见解析．
【分析】把点的坐标代入，求出值即可得到一次函数的解析式，根据一 次函数的解析式求出点的坐标是，又因为点为的中点，可得点的坐标是，根据轴于点，且，可得点的坐标是代入，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
由点、、的坐标可知和互为垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，从而可证结论成立．
【详解】（1）解：把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
一次函数的解析式是；
当时，可得：，
点的坐标是，
点为的中点，
点的坐标是，
轴于点，且，
点的坐标是，
把点的坐标是代入，
可得：，
解得：，
反比例函数的解析式是；
（2）证明：由可知点的坐标是，
是的垂直平分线，
，，
又，
是的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了一次函数与 反比例函数的综合、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，解决本题的关键是根据点的坐标得到和互为垂直平分线，根据垂上平分线的性质进行证明．
31．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的两个顶点，都在反比例函数的图象上．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)反比例函数的图象经过点，直线分别与反比例函数，的图象交于点，．若，求的长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可推出，求解即可；
（2）确定得，推出，，，根据及不等式的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
∵点，是正方形的两个顶点，
∴，
∴，
联立，
解得：，
∴，，
∴，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）∵，是正方形的两个顶点，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长的取值范围是．
【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，二元一次方程及不等式组的应用等知识点．确定反比例函数的解析式是解题的关键．
32．（2025·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，过点作轴于点．
(1)求的值；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接、，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)18
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）把点坐标代入反比例函数中求出即可．
（2）分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线．
（3）由作图知：，证明得到，从而证出结论．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
；
（2）解：如图，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线；
（3）证明：设垂直平分线与交于点E，
由作图知：
，
轴于点，
∴，
，
，
又∵
，
，
，
∴四边形是菱形．
【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，菱形的判定，尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
33．（2025·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A，C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为6，点C的纵坐标为，点B的坐标为．
(1)求k的值；
(2)直接写出a的值；
(3)将菱形向下平移，当点B落到反比例函数的图象上时，求平移的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，证明，易得，即可确定，然后将其代入反比例函数解析式并求解即可；
（2）连接交于点P，则，，结合（1）可知，可确定点坐标，然后根据线段中点的性质求解即可．
（3）令，代入中，得，即可求出平移距离.
【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，则．
∵四边形是菱形，
．
，
∴点B在的平分线上，
，
．
又，
，
，
．
将代入，得．
（2）如图，连接交于点P，则，，
∵点A的纵坐标为6，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
（3）令，代入中，得，
∴平移距离为．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平移的知识、中心对称图形的性质、反比例函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
专练五、反比例函数与一次函数的综合问题
34．（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点．
(1)______；
(2)若的面积为，求的值；
(3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数与几何图形的综合，数形结合分析是关键．
（1）根据直线与坐标轴的交点即可求解；
（2）根据题意，设，由几何图形面积的计算得到，则，运用待定系数法即可求解；
（3）把代入、，得出，，根据列不等式即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：一次函数 的图象与轴交于点，
当时，，
∴，
∴；
（2）解：点在反比例函数，
∴设，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∵点是一次函数与反比例函数的交点，
∴点在一次函数的图象上，
∴，
解得，；
（3）解：当时，，，
∵当时，对于的每一个值，都有，
∴的图象在的图象上方，
∴，
解得：．
35．（2025·河南驻马店·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴的正半轴交于点，过点B作．轴交反 连接，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点C的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)点C的坐标为
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）利用系数待定法求出反比例函数解析式即可．
（2）由轴可得出点C的纵坐标为2，进而代入反比例函数求出x的值即可得出点C的坐标．
（3）分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M，N，即可求出，由反比例函数的性质可知，，进而可得出，最后代入数值计算即可．
【详解】（1）解：将点代入，
，
∴反比例函数的表达式为
（2）解轴，
点C的纵坐标为2，
点C在反比例函数的图象上，
，
解得，
∴点C的坐标为；
（3）解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M，N，
点A的坐标为，点C的坐标为，
，
由反比例函数的性质可知，，
．
36．（2025·河南安阳·三模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点，与轴相交于点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)直接写出当时自变量的取值范围；
(3)若点在反比例函数图象上且位于第一象限，当时，直接写出点的横坐标．
【答案】(1)；点的坐标为
(2)或
(3)点的横坐标为1或2．
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求解析式，利用图象解不等式，三角函数的应用．
（1）将代入求得，再代入，求得反比例函数的解析式，联立两个函数解析式，解方程即可求得点B的坐标；
（2）当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围，利用函数图象即可得解；
（3）作轴于点，首先求出，设点的坐标为，则，，根据，列式计算，即可求解
【详解】（1）解：点在图象上，
，
，
在图象上，
，
，
联立和得，
，
解得，，
点B的坐标为；
（2）解：当的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围为或，
当时，或；
（3）解：作轴于点，
令，则，解得，
∴点C的坐标为，
设点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
即，整理得，
解得或2，
∴点的横坐标为1或2．
37．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，直线经过点、点，反比例函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出此反比例函数的图象．
(3)直接写出的值为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，画反比例函数图象，求锐角的余弦值，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求直线解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，选取画出反比例函数图象，即可求解；
（3）根据矩形的性质以及勾股定理得出，进而证明，即可求解．
【详解】（1）解：直线经过点、点
将、点代入得
解得
一次函数的表达式为
（2）解：∵反比例函数的图象经过点．
∴，
∴
如图所示，选取
（3）解：∵、，
∴
∴
∴
∵四边形是矩形，
∴
∴
∵，即
∴
故答案为：．
38．（2025·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D是y轴上一点，且，求点D坐标；
(3)当时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或
【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）首先结合点，可求得的值，即可确定反比例函数解析式；再确定点B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数解析式即可；
（2）首先确定点坐标，结合易得，即可获得答案；
（3）结合一次函数与反比例函数图像，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数（）过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点B的横坐标为，
∴，
∴，
把，代入（），
得，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
令，可得，
∴，
∵点D是y轴上一点，且，
∴，
∴，
∴或；
（3）由图像可知，当时，自变量x的取值范围是或．
39．（2025·河南南阳·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
(3)若点为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线分别交直线和反比例函数的图象于点，，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)点的坐标为或
【分析】（1）先根据点在直线上，求出，从而可得点的坐标为，丙根据点在反比例函数的图象上，代入中，求得，从而可得反比例函数的解析式为；
（2）先求出点坐标，再结合点坐标，观察函数图象得出不等式的解集；
（3）分“点在点下方”、“点在点上方”两种情况，分别求得点的坐标．
【详解】（1）解： 点在直线上，
将代入，得点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
将代入中，得，．
反比例函数的解析式为．
（2）解，得或，
∵点的坐标为，
，
，
，
∴或．
（3）分情况讨论：①当点在点下方时，如图，
设点的坐标为，则点的坐标为，
．，．
则点的坐标为，即．
将代入，得，
解得，（舍去）．点的坐标为．
②当点在点上方时，如图，
设点的坐标为，则点的坐标为，
．，．
则点的坐标为，将代入，得，
解得，（舍去）．点的坐标为
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式．
40．（2025·河南信阳·三模）如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于两点，反比例函数的图象经过一次函数图象上一点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)依据图象直接写出当时不等式的解集___________；
(3)若反比例函数与一次函数的图象交于两点，在图中用直尺与铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点、点；
②矩形的面积等于10．
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析
【分析】（1）用待定系数法直接求出函数表达式即可；
（2）观察函数图象解不等式即可求解；
（3）分以为边构造矩形、以为对角线构造矩形两种情况，分别画出图形即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：如图所示：
观察函数图象可知，，，
不等式的解集指直线在曲线上方部分图象对应的的范围，由图可得：，
故答案为：；
（3）解：画出两个以为顶点的矩形，如图所示：
由图象可知点，，
依据两点之间距离公式可得，
已知矩形面积为10的情况下，分类讨论：
若以为边构造矩形，则矩形的另一边为；
若以为对角线的情况下构造矩形，此时矩形为正方形，得其边长为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，涉及反比例函数与一次函数的交点、待定系数法确定函数表达式、由函数图象解不等式、两点之间距离公式、矩形性质、正方形性质等知识，熟练掌握函数及相关几何性质是解决问题的关键，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
专练六、反比例函数的实际应用问题
41．（2025·河南驻马店·三模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（ ）
A．F随L的增大而减小
B．当时，
C．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为
D．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，求出函数解析式，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴当时，F随L的增大而减小；故选项A正确，不符合题意；
当时，；故选项B正确，不符合题意；
当原物体重量增加，则：，则：；故选项C错误，符合题意；
当时，，
∵F随L的增大而减小，最大为：，
∴弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是；故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
42．（2025·河南·模拟预测）如图1是一款在某跨境电商平台销量排名第一的可调节亮度的台灯，图2是它的电路示意图，它是根据调节总电阻的大小来实现灯光亮度的变化，电流与总电阻之间的关系图象如图3所示，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．与之间的函数表达式是
C．当时，
D．当电压不变时，与成正比
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式．据此依次对各选项进行分析即可作出判断．
【详解】解：设电流与总电阻之间的函数关系为，
由题意可得：，
∴，
A．当时，，故此选项不符合题意；
B．与之间的函数表达式是，故此选项不符合题意；
C．当时，；
∴当时，，故此选项符合题意；
D．∵，
∴，
∴当电压不变时，与成反比，故此选项不符合题意．
故选：C．
43．（2025·河南洛阳·三模）如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（ ）
A．用m表示I为：
B．电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大
C．当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克
D．电子体重计可称的最大质量为120千克
【答案】D
【分析】先计算电路中的总电阻，根据计算可以判断A的正误；根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小，可以判定B；当时，，根据得，由可计算判定，当时，，计算判定即可．
本题考查了一次函数的应用，跨学科综合，熟练掌握函数的性质，欧姆定律的意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，电路中的总电阻，且，，
故，
根据，得，
故A正确，不符合题意；
根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小，
故B正确，不符合题意；
当时，，根据得，
由，得，
故C正确，不符合题意；
根据题意，当时，，此时最小，m最大，
根据得，由，得
．
故D错误，符合题意；
故选：D．
44．（2025·河南周口·二模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化（烟雾越浓，光照强度越小），进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（ ）
A．随增大而增大B．每增加，的变化量相同
C．当烟雾浓度减小时，①示数变大D．当光照强度增大时，电路总功率增大
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图像的定义、增减性以及相关物理知识，能够跨学科思维成为解题的关键．
根据反比例函数图像的定义以及增减性可判定A、B，然后结合物理知识可判定C、D．
【详解】解：A、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法错误，不符合题意；
B．R关于E的图象是曲线，故每增加，的变化量不相同，故本选项说法错误，不符合题意；
C、当烟雾浓度减小时，光照强度增大，电流增大，电阻减小，
所以定值电阻两端的电压增大，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R两端的电压，
根据可知，电压表的示数变小，故本选项说法错误，不符合题意；
D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本该选项说法正确，符合题意．
故选：D．
45．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小
B．当光敏电阻的阻值为时，光照强度为
C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大
D．当光照强度为时，控制电路中的电流为
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
根据反比函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】A、由题图可知光敏电阻的直值随光照强度的增大雨减小，故A选项正确；
B、由题图可知图象上点的横、纵坐标之积为定值，可得，将代入反比例函数，得；
C、要使报警器在浓度更低的烟雾下报警，此时光照强度增强，由题图，可知光的电阻的阻值减小，从而控制电路的总电阻减小．因为触发投资器报警的电流不交，由，可知应减小控制电路电压，故C选项错误；
D、当光照强度为时，可知光敏电阻控制电路中的电流，故D选项正确；
故选 C．
46．（2025·河南南阳·一模）在实验课上，小明做了一个实验．如图①在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入水的质量，得到下表：
通过描点连线得到如图②所示的，关于x的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．分别是关于x的反比例函数B．的图象向下平移4个单位可得的图象
C．随的增大而减小D．当托盘B与点C距离为时，比多5克
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象的平移．根据反比例函数的定义即可判断A选项，由A选项知则是关于x的反比例函数；不是关于x的反比例函数即可判断B选项，根据表格数据即可判断C选项，根据，间的数值变化即可判断D选项．
【详解】解：A、，则是关于x的反比例函数，，则不是关于x的反比例函数，故错误，不符合题意；
B、由A选项知则是关于x的反比例函数；不是关于x的反比例函数，故的图象向下平移4个单位得不到的图象，故错误，不符合题意；
C、由表格数据得随的增大而增大，故错误，不符合题意；
D、由表格数据得为定值，则托盘B与点C距离为时，比多5克，故正确，符合题意；
故选：D．
47．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】D
【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意；
B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意；
C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意；
D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意；
故选：D．
48．（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
A．根据“从加热到水温升高的温度加热时每分钟上升的温度”计算即可；
B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
C．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一个加热周期内水温不低于的时间；
D．求出将水温从加热到，再降到一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数关系式并据此计算即可．
【详解】解：水温从加热到，需要的时间为，
∴A正确，不符合题意；
设水温上升过程中，y与x的函数关系式是，
将坐标，代入，
得，
解得，
∴水温上升过程中，y与x的函数关系式是，
∴B正确，不符合题意；
当时，当时，得，
解得，
当时，当时，得，
解得，
，
∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，
∴C正确，不符合题意；
当时，得，
解得，
∴水温从加热到，再降到所用时间为，即一个循环是，
∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为，
上午10点到共90分钟，则（分钟），
当时，得，
∴上午10点接通电源，可以保证当天水温为，
∴D不正确，符合题意；
故选：D．
49．（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题：
(1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围）
(2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？
【答案】(1)，；
(2)长方体箱子的长、宽、高至少分别是，．
【分析】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用一次和反比例函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键．
（1）将点代入，即可得出反比例函数表达式；将点代入，即可得出一次函数表达式；
（2）把代入，得出，进而得出点的坐标为，将代入，得出点的坐标为，继而分析得出长方体箱子的长、宽、高．
【详解】（1）解：将点代入，得，
反比例函数表达式为，
将点代入，得，
解得，
一次函数表达式为．
（2），
把代入，得，
，即，
，
，
点的坐标为，
将代入，得，
点的坐标为，
，
根据图1可知，沙发的长是．
综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是，．
50．（2025·河南·模拟预测）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系（如图2）．
(1)求v（）与t（）之间的函数关系式；
(2)若小明的爸爸驾驶汽车通过该测速区间的行驶时间为20分钟，求它的平均速度；
(3)已知在该限速区间上行驶的小型汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的应用——区间测速．熟练掌握路程与速度和时间的关系，反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）设，运用待定系数法将代入求解即可；
（2）将代入，即可求出v；
（3）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围．
【详解】（1）解：由题意可设，
将代入，
得，
∴；
答：v与t的函数表达式为；
（2）解：20分钟小时，
当时，
．
答：它的平均速度是．
（3）解：当时，
，
当时，
．
∴小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围为．
51．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
【答案】(1)，能
(2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解；
（2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解；②将和分别代入，得，．由得，即可求解．
【详解】（1）解： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为，
可得，
解析式为，
令，则，
，
此运动员落地达标，
故答案为：，能；
（2）解：①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系．
设，
将代入得，
解得，
．
将代入验证：当时，成立，
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点，
将和分别代入，
得，．
由得，
又
．
答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
专练七、反比例函数背景下的临界点问题
52．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题：
(1)G内整点最多有 个；
(2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围．
【答案】(1)5个；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，结合图形求解是解题关键．
（1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解；
（2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，取点，
∵双曲线 （）经过点 点 ，
∴，反比例函数解析式为，
∴，
当点在的左侧时，
内整点的个数最多有共5个点
故答案为：．
（2）∵，设直线的解析式为，则
∴，
∵平行于
设的解析式为
若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即
当经过点时，，解得：
当经过点时，，解得：
∵整点有4个，则不经过
∴
故答案为：．
53．（2025·河南洛阳·一模）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上．
(1)求反比例函数表达式；
(2)将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，点的平移问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先得到，再由待定系数法求解；
（2）先得到，则平移后点对应点记为点，当点恰好落在反比例函数图象上时，求出此时的值，即可求解满足边与反比例函数图象始终有交点时，的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得，
∵点恰好落在反比例函数图象上
∴将代入得：，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：由题意得：，
∵将此教具沿轴正方向平移个单位，
∴平移后点对应点记为点，
当点恰好落在反比例函数图象上时，
将代入得：，
解得：，
∴此教具边与反比例函数图象始终有交点，则．
54．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于点．点为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数的图象于点B，C．若横，纵坐标都是整数的点叫做整点．
(1)填空：___________．
(2)若线段和函数的图象在点B，C之间的部分所围成的区域W（不含边界）内恰有5个整点，结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】(1)6
(2)或
【分析】本题考查待定系数法求正比例函数与反比例函数解析式，在区域内确定5个整数点利用点M的横坐标范围与纵坐标范围列不等式组．（1）先求得点，再利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况考虑：①当点P在点A下方时，结合函数图象可知，当时，区域内恰有5个整点；②当点在点上方时，当时，区域内恰有5个整点．据此求解即可．
【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于点．
，
点，
反比例函数过点，
；
（2）解：分两种情况考虑：
①当点P在点A下方时，如图1，
在直线上，当时，，
结合函数图象可知，当时，区域内恰有5个整点；
②当点在点上方时，如图2，
在直线上，当时，，
结合函数图象可知，当时，区域内恰有5个整点．
综上所述，当或时，区域内恰有5个整点．
55．（2025·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，反比例函数的表达式为．
(1)若反比例函数的图象经过正方形的中心．
①求的值；
②若反比例函数图象与交于点，连接，，求的面积．
(2)若在反比例函数图象的上方，且在正方形内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是_____．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，画出图形，熟知反比例函数图象上的点的特征是解题的关键．
（1）①求得正方形的中心坐标，代入反比例函数即可解答；
②画出图形，求得点，利用三角形面积公式即可解答；
（2）画出图形，求临界值，即可解答．
【详解】（1）解：①正方形的顶点的坐标分别为，，
,
，
正方形的中心坐标为，
反比例函数的图象经过正方形的中心，
；
②如图，
由题意可得反比例函数解析式为，
当时，可得，
解得，
经检验是原方程的解，
，
，
的面积为；
（2）解：如图，将正方形分成9个边长为的小正方形，
根据题意可得，
当反比例函数经过点时，，
当反比例函数经过点时，，
若在反比例函数图象的上方，且在正方形内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是，
故答案为：．
56．（2025·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点．
(1)求k的值；
(2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）；
①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”；
②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)
(2)①2个；②见解析，
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点，
（1）把代入中可得k的值；
（2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解；
熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴；
∴k的值为1；
（2）解：①一次函数的图象过，，
∴，解得，
∴直线l的解析式为，
画出图形，如图所示，
区域G内的整点有和共两个；
故存在2个“G区域点”；
故答案为：2；
②如图，直线l：过时，，
解得，
直线l：过时，，
解得，
观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是．
57．（2025·河南周口·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线相交于点，
(1)求的值；
(2)已知点在直线上运动，设点的坐标为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点．
①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
②若，结合函数的图象，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①，理由见解析；②或
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数图形的性质，待定系数法是运用是关键．
（1）将代入中，得到，再代入反比例函数，运用待定系数法即可求解；
（2）①当时，，可得点的坐标为，点的坐标为，由此即可求解；②结合图形判定即可．
【详解】（1）解：将代入中，得，
∴点的坐标为，
将代入中，得；
（2）解：①当时，．
理由： 如图，
当时，，
令，代入，得，
解得；
∴点的坐标为，
∴；
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∴；
②由①可知，当时，，根据图示，
当时，即点的位置，当时，即点的位置，，
∴的取值范围为或．
58．（2025·河南漯河·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在y轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．
①当时，求线段的长；
②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①； ②
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点，掌握交点的计算，数形结合分析是关键．
（1）把点代入一次函数得到，即，再代入反比例函数解析式即可求解；
（2）①根据题意得到，，由两点之间距离的计算即可求解；
②根据题意得到，设，则，可得，由此解不等式即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：①当时，如图所示，
对于，令，则，
∴；
对于4，令，则，
∴，
∴．
②对于，令，则，
∴，
∵，即，
设，则，
可得，
∴，
∵，
∴在中，时，，
∵，
∴，
∴，整理得，，
∴，
∴解得．
证明：如图，过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则，
∴直线的函数表达式为，∴，
∴轴，∴，
易证得四边形是矩形．
…
参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值．
小贴士电路总功率或：
其中是电路电源电压，是电路总电流
托盘B与点C的距离
30
25
20
15
10
容器与水的总重量
10
12
15
20
30
加入水的质量
5
7
10
15
25
150
170
190
210
230
250
270
a