初中数学中考复习 专题09 反比例函数问题（解析版）

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决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题09 反比例函数问题


【考点1】反比例函数的图象与性质
【例1】（2019·湖北中考真题）反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点(1,-3) B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y=x对称 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【详解】
解：由点的坐标满足反比例函数，故A是正确的；
由，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点睛】
考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.
【变式1-1】（2020·山东潍坊·中考真题）如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ）

A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】
结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：∵函数与的图象相交于点两点，
∴不等式的解集为：或，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【变式1-2】（2020·湖北武汉·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】
由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【详解】
解：∵反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵，
∴a-1＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，
∵，
∴，
解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
【考点2】反比例函数k的几何意义
【例2】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求的面积．
【详解】
作BD⊥BC交y轴于D，
∵轴，，
∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，
∴的面积为4．
故选B．

【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质．
【变式2-1】（2020·辽宁营口·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　）

A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】
根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（，），D（m，m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（）•（m﹣m）＝，即可求得k＝＝2．
【详解】
解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），
∵点C为斜边OB的中点，
∴C（，），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，
∴k＝＝，
∵∠OAB＝90°，
∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，
∴D的纵坐标为，
作CE⊥x轴于E，

∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝，
∴（AD+CE）•AE＝，即（）•（m﹣m）＝，
∴＝1，
∴k＝＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE-S△AOD=S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键．
【变式2-2】（2020·浙江温州·中考真题）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为_______．

【答案】
【分析】
利用反比例函数系数的几何意义，及OE＝ED＝DC求解，然后利用列方程求解即可得到答案．
【详解】
解：由题意知：矩形的面积


同理：矩形，矩形的面积都为，







故答案为：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键．
【变式2-3】（2020·辽宁抚顺·中考真题）如图，在中，，点在反比例函数（，）的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于1，则的值为_________．

【答案】3
【分析】
作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA=1，进而根据题意求得S△AOE=，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】
解：作AE⊥BC于E，连接OA，

∵AB=AC，
∴CE=BE，
∵OC=OB，
∴OC=CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴，
∵，OC=OB，
∴，
∴，
∵OC=CE，
∴，
∴，
∵()，
∴，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式2-4】（2020·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．

（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．
【答案】（1）8；（2）10．
【分析】
（1）将点的坐标为代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【详解】
解：（1）将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
（2）的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
【考点3】反比例函数的实际应用
【例3】（2020·云南昆明·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．

【答案】（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安全进入教室，计算说明过程见解析．
【分析】
（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，再根据题干信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得；
（2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出时，y的值，与1进行比较即可得．
【详解】
（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和
则
解得
答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和；
（2）一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要
当时，
则点A的坐标为
设反比例函数表达式为
将点代入得：，解得
则反比例函数表达式为
当时，
故一班学生能安全进入教室．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、反比例函数与一次函数的综合等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．
【变式3-1】（2020·湖北孝感·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式．
【详解】
根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图象上有一点(6,8)，
故设反比例函数解析式为I=，
将(6,8)代入函数解析式中，
解得k=48，
故I=
故选C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数解析式的求解方法，掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
【变式3-2】（2020·广西玉林·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0 【分析】
（1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，
∴（0 （2）由题意得
，
解得x1=1，x2=（负值舍去），
经检验x=1是原分式方程的解
1+0.2=1.2千立方米，
600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程．
【考点4】反比例函数与一次函数综合
【例4】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．

【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）将点坐标代入反比例函数解析式中求出，进而得出点坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；
（2）先判断出，进而得出，得出，，即，再求出，进而得出，，即，再判断出，得出，得出，最后用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】
解：（1）当时，点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
点在反比例函数图象上，
，
，
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为；
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于，交于，

则四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，根据勾股定理得，，
，
，
，
反比例函数的解析式为．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出是解本题的关键．
【变式4-1】（2020·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【详解】
∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
【变式4-2】（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是　 　；
②不等式的解集是　 　；
（2）求直线AC的解析式．

【答案】（1）①（2，3）；②2＜x＜4；（2）．
【分析】
（1）①根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，OB＝2．即可求得A的坐标；②根据题意C的横坐标为4，根据图象即可求得不等式的解集；
（2）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AC的解析式．
【详解】
解：（1）①∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且OB＝2，
∴A（2，3）；
②∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2，
∴C的横坐标为4，
∴不等式的解集是2＜x＜4，
故答案为（2，3）；2＜x＜4；
（2）∵A在反比例函数图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例解析式为，
∵C点在反比例函数图象上，
∴yc＝，
∴C（4，），
将A、C代入y＝kx+b有解得，
∴直线AC解析式：．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式、利用函数解不等式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【考点5】反比例函数与几何综合
【例5】（2020·贵州黔南·中考真题）如图，正方形的边长为10，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的解析式为_________．

【答案】
【分析】
过点C作轴于点E，由“AAS”可证，进而得，，可求点C坐标，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作轴于E，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∵反比例函数的图象过点C，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要是考查正方形的性质及反比例函数，关键是通过正方形的性质构造三角形全等，进而得到点C的坐标，然后根据求解反比例函数解析式的知识进行求解即可．
【变式5-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．

【答案】（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据
S△ACD=，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
【详解】
解：

（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数；
答：反比例函数的关系式为：；
（2）过点作，垂足为，连接，
设直线的关系式为，将代入得，，
∴直线的关系式为，
∵点，把代入，得：，把代入，得：，
∴），即，
，即
∵，
∴，即，解得：，
∴；
答：线段的长为3．
【点睛】
考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
【变式5-2】（2020·山东济南·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）点G的坐标为或，这两个点都在反比例函数图象上
【分析】
（1）求出D（，2），再用待定系数法即可求解；
（2）证明 ，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【详解】
解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），
则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝ ＝＝，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，

过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在RT△OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2，
则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3），这两个点都在反比例函数图象上．
【点睛】
本题主要考查反比例函数，解题关键是过点F作FH⊥y轴于点H.

1．（2020·辽宁营口·中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
【详解】
解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0，
∴该函数图象在第三象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象,关键在于熟记反比例函数图象的性质.
2．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）

A．36 B．48 C．49 D．64
【答案】A
【详解】
过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值．
【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，

∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，
∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，
解得t＝6，∴P（6，6），
把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
3．（2020·天津中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可．
【详解】
将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可．
4．（2020·上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　　)
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【分析】
设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【详解】
解：设反比例函数解析式为y=，
将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=-．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】
根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
【详解】
解： 观察图像①可得，所以，①符合题意；
观察图像②可得，所以，②不符合题意；
观察图像③可得，所以，③不符合题意；
观察图像④可得，所以，④符合题意；
综上，其中符合的是①④，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．
6．（2020·辽宁营口·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　）

A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】
根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（，），D（m，m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（）•（m﹣m）＝，即可求得k＝＝2．
【详解】
解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），
∵点C为斜边OB的中点，
∴C（，），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，
∴k＝＝，
∵∠OAB＝90°，
∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，
∴D的纵坐标为，
作CE⊥x轴于E，

∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝，
∴（AD+CE）•AE＝，即（）•（m﹣m）＝，
∴＝1，
∴k＝＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE-S△AOD=S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键．
7．（2020·辽宁铁岭·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接轴，则的值为（ ）


A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】
依次可证明△OFE和△AFD为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得DF的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值．
【详解】
解：∵，，x轴⊥y轴，
∴OE=OF=1，∠FOE=90°，∠OEF=∠OFE=45°，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∵轴，
∴∠DFE=∠OEF=45°，
∴∠ADF=45°，，
∴
∴D(4，1)，
∴，解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，矩形的性质．能依据已知点的坐标，得出△OFE是等腰直角三角形是解题关键．
8．（2020·西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，代入即可求得的值．
【详解】
解：直线与反比例函数的图象交于点，
解求得，
的横坐标为2，
如图，过C点、A点作y轴垂线，

OA//BC，
∴，
∴，
，
∴，
∴，解得=1，
的横坐标为1，
把代入得，，
，
将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，求得，
故选：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及函数的交点、一次函数平移、待定系数法求函数解析式等知识，求得交点坐标是解题的关键．
9．（2020·贵州黔西·中考真题）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】B
【分析】
根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
【详解】
解：因为在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，所以OC＝2，∠COB＝60°．
如答图，过点C作CD⊥OB于点D，
则OD＝OC·cos∠COB＝2×cos60°＝2×＝1，CD＝OC·sin∠COB＝2×sin60°＝2×＝．
因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（－1，）．
因为顶点C在反比例函数y═的图象上，所以＝，得k＝，
所以反比例函数的解析式为y＝，
因此本题选B．

【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标．
10．（2020·湖南怀化·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答案．
【详解】
解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是：
所以：当时，
，
故选D．
【点睛】
本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关键．
11．（2020·湖北宜昌·中考真题）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：（或者），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
在实际生活中，电压U、电流I、电阻R三者之中任何一个不能为负，依此可得结果．
【详解】
A图象反映的是，但自变量R的取值为负值，故选项A错误；B、C、D选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键．
12．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】
解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又∵动力臂，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
13．（2020·广西中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．

【答案】3
【分析】
观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【详解】
观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大，所以②正确；
因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称，所以③正确；
因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确．
所以其中正确结论的个数为3个．
故答案为：3．
【分析】
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．
14．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，点在反比例函数的图像上且横坐标为，过点作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图像相交于点、，则直线与轴所夹锐角的正切值为______．

【答案】
【分析】
由题意，先求出点P的坐标，然后表示出点A和点B的坐标，即可求出答案．
【详解】
解：∵点在反比例函数的图像上且横坐标为，
∴点P的坐标为：（1，3），

如图，AP∥x轴，BP∥y轴，
∵点A、B在反比例函数的图像上，
∴点A为（），点B为（1，），
∴直线与轴所夹锐角的正切值为：
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质与一次函数的性质进行解题．
15．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为（0,3），点在轴的正半轴上．直线分别与边相交于两点，反比例函数的图象经过点并与边相交于点，连接．点是直线上的动点，当时，点的坐标是________________．

【答案】（1，0）或（3，2）
【分析】
根据正方形的性质以及一次函数表达式求出点D和点M坐标，从而求出反比例函数表达式，得到点N的坐标，求出MN，设点P坐标为（m，m-1），根据两点间距离表示出CP，得到方程，求解即可．
【详解】
解：∵正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），
∴B（3，3），A（3，0），
∵直线y=x-1分别与边AB，OA相交于D，M两点，
∴可得：D（3，2），M（1，0），
∵反比例函数经过点D，
k=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为，令y=3，
解得：x=2，
∴点N的坐标为（2，3），
∴MN==，
∵点P在直线DM上，
设点P的坐标为（m，m-1），
∴CP=，
解得：m=1或3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，2）．
故答案为：（1，0）或（3，2）．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式.
16．（2020·山东滨州·中考真题）若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【分析】
利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式中求出k即可得到答案.
【详解】
令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为，
将点（1,2）代入，得，
∴反比例函数的解析式为，
故答案为：.
【点睛】
此题考查函数图象上点的坐标，函数图象的交点坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正确计算解答问题.
17．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则的值是____________________．
【答案】﹣12
【分析】
直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
【详解】
依题意，将点代入，得：，
解得：=﹣12，
故答案为：﹣12．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
18．（2020·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点······，依次进行下去，记点的横坐标为，若则______．

【答案】
【分析】
根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可
【详解】
解：当a1=2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为2，A1（2，3），B1(2，) ；
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为，代入y=x+1，得x=，可得A2（，）；
B2的横坐标和A2的横坐标相同为，代入得，y=，得B2(，) ；
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为，代入y=x+1，得x=，故A3（，）
B3的横坐标和A3的横坐标相同为，代入得，y=3，得B3(，3)
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为3，代入y=x+1，得x=2，所以A4（2，3）
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2020÷3=673⋯⋯1，
∴a2020=a1=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
19．（2020·广西玉林·中考真题）已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论：
①当时，都随x的增大而增大；
②当时， ；
③的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数的最小值为2；
则所有正确的结论是_________．

【答案】②③④
【分析】
先补充完整两个函数的图象，再根据函数图象的增减性、对称性、交点问题可判断结论①②③，然后根据完全平方公式、偶次方的非负性可判断结论④．
【详解】
当时，，
当时，，
画出两个函数的图象如下所示：
则当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大，结论①错误
当时，函数的图象位于函数的图象的上方，则，结论②正确
当时，
即的图象位于第一象限的交点坐标为
由对称性可知，的图象位于第二象限的交点坐标为
因此，的图象的两个交点之间的距离是，结论③正确


又，当且仅当，即时，等号成立


即函数的最小值为2，结论④正确
综上，所有正确的结论是②③④
故答案为：②③④．

【点睛】
本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题关键．
20．（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为_____．

【答案】6
【分析】
过点作轴于，则，由线段的比例关系求得和的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．
【详解】
解：过点作轴于，则，

，
，的面积为6，
，
，
的面积，
根据反比例函数的几何意义得，，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形．
21．（2020·四川攀枝花·中考真题）如图，过直线上一点作轴于点，线段交函数的图像于点，点为线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为．

（1）求、的值；
（2）求直线与函数图像的交点坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）3，；（2）（2，）；（3）0＜x＜
【分析】
（1）根据点C′在反比例函数图像上求出m值，利用对称性求出点C的坐标，从而得出点P坐标，代入一次函数表达式求出k值；
（2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可；
（3）根据（2）中交点坐标，结合图像得出结果.
【详解】
解：（1）∵C′的坐标为(1，3)，
代入中，
得：m=1×3=3，
∵C和C′关于直线y=x对称，
∴点C的坐标为（3，1），
∵点C为PD中点，
∴点P（3，2），
将点P代入，
∴解得：k=；
∴k和m的值分别为：3，；
（2）联立：，得：，
解得：，（舍），
∴直线与函数图像的交点坐标为（2，）；
（3）∵两个函数的交点为：（2，），
由图像可知：当0＜x＜时，反比例函数图像在一次函数图像上面，
∴不等式的解集为：0＜x＜.
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程，图像法解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想，结合图像解决问题.
22．（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值；
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积．
【详解】
解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∵AC=，即，
解得：AE=CE=3，
在y=x+1中，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），
∴OE=2，CE=3，
∴C（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数表达式为： ；
（2）联立：，
解得：x=2或-3，
当x=-3时，y=-2，
∴点D的坐标为（-3，-2），
∴S△CDE==．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程，三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图形作答．
23．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
24．（2020·河南初三一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，x的取值范围；
过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．

【答案】反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．
【分析】
(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．
【详解】
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点B的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，
当点C的坐标为或时，．

【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
25．（2020·浙江中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3．

【答案】（1）；（2）
【分析】
(1)设反比例函数解析式为，将点(3,400)代入求出即可，最后注意自变量的取值范围.
(2) 分别将x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3的值求出，然后再比较大小求解.
【详解】
解：(1) 设反比例函数解析式为
将点(3,400)代入，即得
故反比例函数的解析式为：.
故答案为：.
(2)当x=6时，代入反比例函数中，解得，
当x=8时，代入反比例函数中，解得，
当x=10时，代入反比例函数中，解得，
∴

∴.
故答案为：>.
【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的坐标代入解析式中，得到等式进而求解.
26．（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．

（1）求a的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）a=2；y=2x；（2）
【分析】
（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=．
故△ACD的面积为．
【点睛】
（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
27．（2020·黑龙江绥化·中考真题）如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．


（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．
【答案】（1），；（2）点P坐标为；（3）．
【分析】
（1）首先求出D点坐标，然后将D点坐标代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值，即得到E点的坐标，然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中，即可求出DE的解析式.
(2)作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．此时的周长最小.然后求出直线的解析式，求直线与y轴的交点坐标，即可得出P点的坐标；
（3）的周长的最小值为DE+，分别利用勾股定理两条线段的长，即可求.
【详解】
解：（1）∵D为的中点，，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴D点坐标为．
∵在的图象上，
∴．∴反比例函数解析式为．
当时，．
∴E点坐标为．
∵直线过点和点
∴
解得
∴直线的解析式为．
∴反比例函数解析式为，
直线的解析式为．

（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．
此时的周长最小．∵点D的坐标为，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
∵直线经过
∴
解得
∴直线的解析式为．
令，得．
∴点P坐标为．

（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.
在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.
的周长的最小值为+DE =．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.
28．（2020·四川乐山·中考真题）如图，已知点在双曲线上，过点的直线与双曲线的另一支交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作轴于点，连结，过点作于点．求线段的长．

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由点在双曲线上，求得反比例函数解析式，再由点B在双曲线上，求得点B坐标，利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）用两种方式表示△ABC的面积可得，即可求出CD的长．
【详解】
解：（1）将点代入，得，即，
将代入，得，即，
设直线的解析式为，
将、代入，得
，解得
∴直线的解析式为．
（2）∵、，
∴，
∵轴，
∴BC=4，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数上点坐标的特征，待定系数法求一次函数解析式，两点距离公式，面积法等知识，面积法：是用两种方式表示同一图形的面积．