初中数学中考复习 专题09 反比例函数【考点巩固】（解析版）

专题09  反比例函数

考点1：反比例函数的图象和性质

1．（2021·湖南）正比例函数与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（    ）

A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布

C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点

【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．

【详解】

A、正比例函数，函数值随的增大而增大；反比例函数，在每一象限内，函数值随的增大而减小，则此项不符题意；

B、正比例函数的图象在第一、三象限都有分布，反比例函数的图象在第一、三象限都有分布，则此项符合题意；

C、正比例函数的图象与坐标轴的交点为原点，反比例函数的图象与坐标轴没有交点，则此项不符题意；

D、正比例函数，当时，，即其图象经过点，不经过点，则此项不符题意；

故选：B．

2．（2021·黑龙江大庆市）已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次的数的图像经过第（     ）

A．一，二，三象限 B．一，二，四象限

C．一，三，四象限 D．二，三，四象限

【分析】根据反比例函数的增减性得到，再利用一次函数的图象与性质即可求解．

【详解】

解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小，

∴，

∴的图像经过第一，二，四象限，

故选：B．

3．若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．

【答案】解：A、根据一次函数可判断a＞0，b＜0，即ab＜0，故不符合题意，

B、根据一次函数可判断a＜0，b＞0，即ab＜0，故不符合题意，

C、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，即ab＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，

D、根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意；

故选：C．

4．（2021·陕西）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是______（填“>”、“=”或“<”）

【分析】

先根据不等式的性质判断，再根据反比例函数的增减性判断即可．

【详解】

解：∵

∴

即

∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大

∵1<3

∴<

故答案为：<．

5．已知点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）

A．x3＜x1＜x2 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x1＜x2＜x3

【分析】利用反比例函数的图象，标出点A，B，C的位置，即可得出结论．

【详解】解：如图，

∵点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，

∴x1＜x2＜x3，

故选：D．

考点2：确定反比例关系式

6．（2021·云南）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．

【分析】

先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．

【详解】

解：设反比例函数的解析式为（k≠0），

∵函数经过点（1，-2），

∴，得k=-2，

∴反比例函数解析式为，

故答案为：．

7．（2021·山东威海市）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（    ）

A． B．或

C． D．或

【分析】先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x的取值范围即可．

【详解】

解：∵两函数图象交于点，点

∴ ，，解得：，k2=2

∴，

画出函数图象如下图：

由函数图象可得的解集为：0＜x＜2或x＜-1．

故填D．

8．如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于

点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．无法计算

【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．

【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，

∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1，

∴S△POB＝2﹣1＝1．

故选：A．

考点3：反比例函数的综合运用

9．（2021·湖北宜昌市）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【分析】

根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．

【详解】

解：当m一定时，与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．

故选：B．

10．（2021·浙江温州市）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．

【详解】

解：如图，

设OD=m，

∵

∴OC=

∵轴于点，轴于点，

∴四边形BEOD是矩形

∴BD=OE=1

∴B(m，1)

设反比例函数解析式为，

∴k=m×1=m

设AC=n

∵轴

∴A（，n）

∴，解得，n=，即AC=

∵AC=AE

∴AE=

在Rt△AEF中，，

由勾股定理得，

解得，（负值舍去）

∴

故选：B

11．（2021·四川乐山市）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．

（1）求点对应的指标值；

（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

【分析】

（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值

（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论

【详解】

解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，

∴，

∴．将x=45代入

将x=45代入得：

点对应的指标值为．

（2）设直线的解析式为，将、代入中，

得，解得．

∴直线的解析式为．

由题得，解得．

∵，

∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.

考点4：一次函数与反比例函数的综合运用

12．（2021·江苏无锡市）一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，且的面积为1，则m的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】

先求出B的坐标，结合的面积为1和，列出方程，再根据在一次函数图像上，得到另一个方程，进而即可求解．

【详解】

∵一次函数的图象与x轴交于点B，

∴B(-n，0)，

∵的面积为1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，

∴，

∴或，解得：n=-2或n=1或无解，

∴m=2或-1（舍去），

故选B．

13．（2021·湖北十堰市）如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设点B关于直线的对称点，易得求出a的值，再根据勾股定理得到两点间的距离，即可求解．

【详解】

解：∵反比例函数的图象经过点，

∴，

∴直线OA的解析式为，

∵，

∴设直线CD的解析式为，

则，

设点B关于直线的对称点，

则①，

且，

即，解得，

代入①可得，

故选：A．

14．（2021·四川乐山市）如图，直线分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4

（1）求的值；

（2）当点的横坐标为时，求的面积．

【分析】

（1）过作垂直于轴，垂足为，证明．根据相似三角形的性质可得，，由此可得，．再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k值．

（2）先求得，，再利用待定系数法求得直线的解析式为．与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得．再根据即可求解．

【详解】

（1）过作垂直于轴，垂足为，

∴，

∴．

∵，，

∴，，

∴，．

∴，，即．

（2）由（1）知，∴．

∵，∴，∴，．

设直线的解析式为，

将点、代入，得．

解得．

∴直线的解析式为．

联立方程组，解得，，

∴．

∴．

15．（2021·四川广安市）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．

【分析】

（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；

（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．

【详解】

解：（1）由题意可得：

点B（3，-2）在反比例函数图像上，

∴，则m=-6，

∴反比例函数的解析式为，

将A（-1，n）代入，

得：，即A（-1，6），

将A，B代入一次函数解析式中，得

，解得：，

∴一次函数解析式为；

（2）∵点P在x轴上，

设点P的坐标为（a，0），

∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，

∴直线AB与x轴交于点（2，0），

由△ABP的面积为4，可得：

，即，

解得：a=1或a=3，

∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．

16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交

于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；

（3）直接写出不等式kx+b的解集．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB﹣PC＝BC最大，利用勾股定理即可求得最大值；

（3）根据图象即可求得．

【详解】解：（1）把A（3，5）代入y2（m≠0），可得m＝3×5＝15，

∴反比例函数的解析式为y2，

把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，

∴B（﹣5，﹣3）．

把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，解得，

∴一次函数的解析式为y1＝x+2；

（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，

∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），

此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，

令y＝0，则x＝﹣2，

∴C（﹣2，0），

过B点向x轴作垂线，由勾股定理可得：

BC3；

（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．

16．（2021·湖北襄阳市）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：

（1）绘制函数图象

①列表：下表是与的几组对应值，其中______；

②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质

判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．

①函数值随的增大而减小：______

②函数图象关于原点对称：______

③函数图象与直线没有交点．______

【分析】

（1）①将x=0代入解析式中求解即可求出m的值；②在平面直角坐标系中标出点即可；③连线形成图象即可；

（2）观察函数图象即可求解．

【详解】

（1）①将x=0代入解析式中解得m=1；

②（点如图所示）；

③（图象如图所示）．

（2）①x的取值范围是x≠-1，当x＞-1时，y随着x的增大而减小；当x＜-1时，y随着x的增大而减小，故填×；

②图象关于点（-1，0）对称，故填×；

③x的取值范围为x≠-1，所以函数图象与直线x=-1没有交点，故填√．