中考数学 专题练习09 反比例函数的图象和性质（河南专用）（原卷版）

这是一份中考数学 专题练习09 反比例函数的图象和性质（河南专用）（原卷版），共26页。试卷主要包含了反比例函数与三角形的综合问题，反比例函数与四边形的综合问题，反比例函数与三角形的综合，反比例函数与一次函数的综合问题，反比例函数的实际应用问题，反比例函数背景下的临界点问题等内容，欢迎下载使用。

考点一、反比例函数与三角形的综合问题
1．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
2．（2022·河南·中考真题）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．
考点二、反比例函数与四边形的综合问题
3．（2021·河南·中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
4．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
5．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
(1)求k的值；
(2)求扇形的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
专练一、反比例函数的图象和性质
6．（2025·河南·模拟预测）已知反比例函数，当时有最大值；反比例函数，当时有最大值，则的值为（ ）
A．B．C．1D．8
7．（2025·河南信阳·三模）已知反比例函数（k为常数，且）的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
8．（2025·河南周口·三模）已知点，，都在反比例函数的图象上，分别比较：，，的大小，下面四位同学的做法中正确的是（ ）
A．甲：令，则
B．乙：无论取何值，都有
C．丙：当时，；当时，
D．丁：当时，；当时，
9．（2025·河南鹤壁·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ．
专练二、求反比例函数的比例系数
10．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·河南信阳·三模）若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是 ．
12．（2025·河南·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接并延长交反比例函数图象于点C，连接，若，则k的值为 ．
13．（2025·河南驻马店·三模）如图，斜边的端点坐标为，，以点为圆心，的长为半径画弧恰好经过原点，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求图中阴影部分的面积．
14．（2025·河南焦作·三模）如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，．
(1)求k的值；
(2)过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标．
专练三、反比例函数与三角形的综合
15．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，点A在反比例函数 的图象上，且点A的横坐标为1．以为一边作等腰直角三角形，其中 ，点P从点O出发，在的内部运动（可在的边上），且在运动过程中始终与线段， 的距离相等，则当最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．1
16．（2025·河南平顶山·二模）如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求证：；
(3)直接写出阴影部分的面积．
18．（2025·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中放置一块等腰直角三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点．
(1)用尺规作出直线l；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
19．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3．
(1)求k的值；
(2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标．
20．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，将正比例函数的图象向上平移，分别交x轴、y轴于点A，B，且经过点，C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若反比例函数的图象经过点，求k的值；
(3)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．
21．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标；
22．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，轴于点C．
(1)求a，b的值．
(2)请结合函数图象，直接写出当时，不等式的解集．
(3)P为反比例函数图象上位于点A右侧的一动点，连接，当时，求点P的坐标．
23．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，轴于点，轴于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象交于点，并求出点的坐标；
(3)是线段上的一点，连接，，若和的面积相等，求点的坐标．
专练四、反比例函数与四边形的综合问题
24．（2025·河南许昌·二模）如图，的一边在轴上，反比例函数的图象过的顶点和对角线的中点，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
25．（2025·河南周口·三模）如图，点和点都在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式及的值．
(2)连接，过点作交的平分线于点，连接，求证：四边形为菱形．
26．（2025·河南周口·三模）如图，已知点是x轴上的动点，点B的坐标为，以为边在右侧作正方形．
(1)当时，反比例函数的图象经过点D，求反比例函数的表达式；
(2)当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围．
27．（2025·河南漯河·三模）如图，平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将沿所在直线平移，使得点与点重合，画出平移后的．
(3)请直接写出四边形的面积．
28．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，过点作轴，过点作轴，两直线交于点，连接，，．
(1)求的值；
(2)若，D为x轴正半轴上一点，求证：．
以下是小军的证明过程：
请将小军的证明过程补充完整．
29．（2025·河南驻马店·三模）如图，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)将正方形向右平移使点的对应点落在反比例函数图象上；
①点到轴的距离为________；
②线段扫过的面积为________．
30．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于和两点，点为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且．
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)连接、、，求证：四边形是菱形．
31．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的两个顶点，都在反比例函数的图象上．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)反比例函数的图象经过点，直线分别与反比例函数，的图象交于点，．若，求的长的取值范围．
32．（2025·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，过点作轴于点．
(1)求的值；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接、，求证：四边形是菱形．
33．（2025·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A，C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为6，点C的纵坐标为，点B的坐标为．
(1)求k的值；
(2)直接写出a的值；
(3)将菱形向下平移，当点B落到反比例函数的图象上时，求平移的距离．
专练五、反比例函数与一次函数的综合问题
34．（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点．
(1)______；
(2)若的面积为，求的值；
(3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围．
35．（2025·河南驻马店·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴的正半轴交于点，过点B作．轴交反 连接，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点C的坐标；
(3)求的面积．
36．（2025·河南安阳·三模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点，与轴相交于点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)直接写出当时自变量的取值范围；
(3)若点在反比例函数图象上且位于第一象限，当时，直接写出点的横坐标．
37．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，直线经过点、点，反比例函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出此反比例函数的图象．
(3)直接写出的值为______．
38．（2025·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D是y轴上一点，且，求点D坐标；
(3)当时，直接写出自变量x的取值范围．
39．（2025·河南南阳·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
(3)若点为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线分别交直线和反比例函数的图象于点，，当时，求点的坐标．
40．（2025·河南信阳·三模）如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于两点，反比例函数的图象经过一次函数图象上一点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)依据图象直接写出当时不等式的解集___________；
(3)若反比例函数与一次函数的图象交于两点，在图中用直尺与铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点、点；
②矩形的面积等于10．
专练六、反比例函数的实际应用问题
41．（2025·河南驻马店·三模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（ ）
A．F随L的增大而减小
B．当时，
C．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为
D．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是
42．（2025·河南·模拟预测）如图1是一款在某跨境电商平台销量排名第一的可调节亮度的台灯，图2是它的电路示意图，它是根据调节总电阻的大小来实现灯光亮度的变化，电流与总电阻之间的关系图象如图3所示，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．与之间的函数表达式是
C．当时，
D．当电压不变时，与成正比
43．（2025·河南洛阳·三模）如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（ ）
A．用m表示I为：
B．电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大
C．当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克
D．电子体重计可称的最大质量为120千克
44．（2025·河南周口·二模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化（烟雾越浓，光照强度越小），进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（ ）
A．随增大而增大B．每增加，的变化量相同
C．当烟雾浓度减小时，①示数变大D．当光照强度增大时，电路总功率增大
45．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小
B．当光敏电阻的阻值为时，光照强度为
C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大
D．当光照强度为时，控制电路中的电流为
46．（2025·河南南阳·一模）在实验课上，小明做了一个实验．如图①在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入水的质量，得到下表：
通过描点连线得到如图②所示的，关于x的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．分别是关于x的反比例函数B．的图象向下平移4个单位可得的图象
C．随的增大而减小D．当托盘B与点C距离为时，比多5克
47．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
48．（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
49．（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题：
(1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围）
(2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？
50．（2025·河南·模拟预测）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系（如图2）．
(1)求v（）与t（）之间的函数关系式；
(2)若小明的爸爸驾驶汽车通过该测速区间的行驶时间为20分钟，求它的平均速度；
(3)已知在该限速区间上行驶的小型汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围．
51．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
专练七、反比例函数背景下的临界点问题
52．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题：
(1)G内整点最多有 个；
(2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围．
53．（2025·河南洛阳·一模）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上．
(1)求反比例函数表达式；
(2)将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围．
54．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于点．点为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数的图象于点B，C．若横，纵坐标都是整数的点叫做整点．
(1)填空：___________．
(2)若线段和函数的图象在点B，C之间的部分所围成的区域W（不含边界）内恰有5个整点，结合函数图象，求m的取值范围．
55．（2025·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，反比例函数的表达式为．
(1)若反比例函数的图象经过正方形的中心．
①求的值；
②若反比例函数图象与交于点，连接，，求的面积．
(2)若在反比例函数图象的上方，且在正方形内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是_____．
56．（2025·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点．
(1)求k的值；
(2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）；
①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”；
②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围．
57．（2025·河南周口·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线相交于点，
(1)求的值；
(2)已知点在直线上运动，设点的坐标为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点．
①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
②若，结合函数的图象，请直接写出的取值范围．
58．（2025·河南漯河·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在y轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．
①当时，求线段的长；
②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围．
证明：如图，过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则，
∴直线的函数表达式为，∴，
∴轴，∴，
易证得四边形是矩形．
…
参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值．
小贴士电路总功率或：
其中是电路电源电压，是电路总电流
托盘B与点C的距离
30
25
20
15
10
容器与水的总重量
10
12
15
20
30
加入水的质量
5
7
10
15
25
150
170
190
210
230
250
270
a