第14讲 抛物线（解析版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4

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2．掌握用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程．
3．理解并掌握抛物线的几何性质．
情景一：在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——击炮，击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的．对于躲在战壕中的敌人，击炮的密集发射无疑是一场灾难．因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线．
情景二：如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．
思考1 利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
回答 点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似．
思考2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
回答 过F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，设焦点F到准线l的距离为p，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，又设P(x，y)为抛物线上任意一点．过点P作PH⊥l，垂足为H，则PF＝PH，得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．
思考3 平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
回答 不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
思考4 确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？ 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
回答 确定两个量，一个是p，另一个是一次项系数的正负；一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：定点F.
(3)准线：定直线l.
2．抛物线的标准方程
概念解读：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
3．抛物线的简单几何性质

4．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ0)的形式，而eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
(2)设点A的坐标为(1，eq \r(15))，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋PA的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3.
(3)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．11.25 cm B．5.625 cm C．20 cm D．10 cm
答案 B
解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)．∵A(40，30)在抛物线上，
∴302＝2p×40，∴p＝eq \f(45,4)，∴光源到反光镜顶点的距离为eq \f(p,2)＝eq \f(\f(45,4),2)＝eq \f(45,8)＝5.625(cm)．
抛物线定义的应用
(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 A
解析 ∵eq \f(1,4)＋x0＝eq \f(5,4)x0，∴x0＝1.
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A．2 B．eq \f(\r(17),2) C．eq \f(\r(15),2) D．4
答案 B
解析由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，
点P，点(0,2)和抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2＋2－02)＝eq \f(\r(17),2).
考点二 求抛物线的标准方程
【例2】求适合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
(3)过定点A(2，1)，且线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．
解析 (1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝eq \f(16,3)，2p1＝eq \f(9,4).∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq \f(16,3)x或x2＝－eq \f(9,4)y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．当焦点为(0，－3)时，eq \f(p,2)＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4，0)时，eq \f(p,2)＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
(3)线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，0))，
∴抛物线的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，0))，∴其标准方程是y2＝5x．
【例3】如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若BC＝2BF，且AF＝4，求抛物线的方程．
解 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，准线交x轴于点G，
设BF＝a，则由已知得，BC＝2a，由定义得，BD＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，2AE＝AC，∵AF＝4，AC＝4＋3a，∴4＋3a＝8，从而得a＝eq \f(4,3)，∵BD∥FG，
∴eq \f(\f(4,3),p)＝eq \f(2,3)，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x.
用待定系数法求抛物线方程的步骤
提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝aya≠0的形式，以简化讨论过程.
1．焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
答案 x2＝10y和x2＝－10y
解析 设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
2．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
答案 C
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，
解得a＝±eq \f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x.故选C.
3．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
答案 x2＝16y
解析 因为双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝2，所以b＝eq \r(3)a，
所以双曲线的渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0.所以抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))到双曲线的渐近线的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)×0±\f(p,2))),2)＝2，所以p＝8，所以所求的抛物线方程为x2＝16y.
考点三 抛物线的几何性质
【例4】(教材P106例1改编)1已知双曲线方程是eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
解析 因为双曲线eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1的右顶点坐标为(2eq \r(2)，0)，所以eq \f(p,2)＝2eq \r(2)，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8eq \r(2)x，其准线方程为x＝－2eq \r(2).
(2)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,y2＝2px))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2p，,y＝2p，))不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq \f(1,2)×4p×2p＝4p2.
【例5】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq \f(1,4)，
∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k0)或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2，0) B．(1，0) C．(8，0) D．(4，0)
答案 B
解析 因为eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝4，于是b2＝3a2，则eq \f(b,a)＝eq \r(3)，故双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，不妨设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，
则|AB|＝eq \r(3)p，又三角形的高为eq \f(p,2)，则S△AOB＝eq \f(1,2)·eq \f(p,2)·eq \r(3)p＝eq \r(3)，即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，
故抛物线焦点坐标为(1，0)．
3．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
答案 B
解析 如图，过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点．
故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.
1．抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为( )
A．x2＝16y B．x2＝8y C．y2＝16x D．y2＝8x
答案 C
解析 抛物线的准线为x＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线．设方程为y2＝2px(p＞0)，则eq \f(p,2)＝4，p＝8，抛物线方程为y2＝16x．
2．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,8)
答案 A
解析 线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)．
3．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
答案 D
解析 当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的．当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．
4．(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D. x2＝－8y
答案 CD
解析 设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，依题意得y＝eq \f(p,2)，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，∴2|x|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
5．若抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则实数p＝ ．
答案 4
解析 因为椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1，所以a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，故c＝2，所以右焦点为(2,0)，所以eq \f(p,2)＝2，p＝4．
6．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
答案 (－9，6)或(－9，－6)
解析 由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq \f(p,2).设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即eq \f(p,2)－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．
1．知识梳理：
(1)抛物线的定义及其应用：概念理解、最值应用、实际应用；
(2)求抛物线的标准方程：待定系数法、几何性质．
(3)抛物线的几何性质及其应用：几何性质理解与运用、直线与抛物线的位置关系应用．
2．应用细节：
(1)抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．
(2)确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
(3)讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
3．思想方法总结：待定系数法、数形结合思想、化归与转化思想．
4．易错提醒：焦点所在坐标轴易考虑不全；易忽略直线的特殊情况．
A组 基础巩固练
1．抛物线y＝eq \f(1,4)x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2
答案 A
解析 因为y＝eq \f(1,4)x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1.
2．已知抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,4)))
答案 A
3．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
答案 A
解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以圆心C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C的轨迹是抛物线．
4．若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
答案 D
解析 由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，0))，将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2，0)，根据题意可得eq \f(m,2)＝2，所以m＝4.
5．点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝eq \f(1,12)x2或y＝－eq \f(1,36)x2
答案 D
解析 当a>0时，开口向上，准线方程为y＝－eq \f(1,4a)，则点M到准线的距离为3＋eq \f(1,4a)＝6，所以a＝eq \f(1,12)，所以抛物线方程为y＝eq \f(1,12)x2；当a0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p等于( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，所以3p－p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2，解得p＝8.
9．已知点M(4，y0)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5，设O为坐标原点，则△OFM的面积为( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 B
解析 由题意得，抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，由抛物线的性质知点M到焦点的距离等于到准线的距离，可得5＝4＋eq \f(p,2)，
解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，将M代入抛物线方程可得yeq \\al(2,0)＝16，解得|y0|＝4，所以S△OFM＝eq \f(1,2)OF·|y0|＝eq \f(1,2)×1×4＝2.
10．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),6)x C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
答案 C
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，解得a＝±eq \f(\r(3),6)，∴抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x.
11．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m
答案 B
解析 若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25) ，代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
12．(多选题)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为( )
A．y2＝x B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x
答案 AC
解析 若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝eq \f(1,2)，所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.
13．(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y
答案 CD
解析 设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
14．已知双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝________.
答案 3
解析 由题意得m＋1＝22，解得m＝3.
15．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是____________．
答案 (－6，6eq \r(2))或(－6，－6eq \r(2))
解析 由方程y2＝－12x，知焦点F(－3,0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|＝3－x.又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6eq \r(2).
所以所求点的坐标为(－6，6eq \r(2))或(－6，－6eq \r(2))．
16．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则FN＝________.
答案 6
解析 如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，OF＝2，
∵M为FN的中点，MM′＝1，∴M到准线距离d＝MM′＋eq \f(p,2)＝3，∴MF＝3，∴FN＝6.
17．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设点(x，y)，依题意得点A在以y2＝4x.过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx＋k，))得ky2－4y＋4k＝0，当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k0，b>0)的一个焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))，则抛物线方程为________________，双曲线方程为________．
答案 y2＝4x 4x2－eq \f(4,3)y2＝1
解析 因为交点在第一象限，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程eq \f(x2,\f(1,4))－eq \f(y2,\f(3,4))＝1.
20．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，求抛物线的标准方程．
解 由已知得eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq \f(b,a)＝eq \r(3)．即渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，而抛物线准线方程为x＝－eq \f(p,2)，于是Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，－\f(\r(3),2)p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\f(\r(3),2)p))，从而△AOB的面积为eq \f(1,2)·eq \r(3)p·eq \f(p,2)＝eq \r(3)．
可得p＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y2＝4x．
21．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
解 设焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，M点到准线的距离为d，则d＝MF＝10，即9＋eq \f(p,2)＝10，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.∴M点坐标为(－9，6)或(－9，－6)．
22．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq \r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))，
∵|AF|＝3，∴y0＋eq \f(p,2)＝3，∵|AM|＝eq \r(17)，∴xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(p,2)))2＝17，∴xeq \\al(2,0)＝8，代入方程xeq \\al(2,0)＝2py0得，
8＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
23．已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
解 (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示，由OA＝OB可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，则OF＝eq \f(2,3)OM.因为F(2，0)，所以OM＝eq \f(3,2)OF＝3，所以M(3，0)．
故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝2eq \r(6)或m＝－2eq \r(6)，所以A(3，2eq \r(6))，B(3，－2eq \r(6))，所以OA＝OB＝eq \r(33)，所以△OAB的周长为2eq \r(33)＋4eq \r(6).
B组 能力提升练

1．已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若PF＝2，∠PFO＝eq \f(π,3)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝2x C．y2＝x D．y2＝4x
答案 A
解析 过P向x轴作垂线，设垂足为Q(图略)，∵∠PFO＝eq \f(π,3)，PF＝2，∴PQ＝eq \r(3)，QF＝1，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－1，±\r(3)))，将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.
2．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，OF＝eq \f(p,2)，
∴eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝6，∴p＝8.
3．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的标准方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 由题意知，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，则由抛物线的定义知，xM＝5－eq \f(p,2)，设以MF为直径的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(yM,2)))，所以圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(yM,2)))2＝eq \f(25,4)，又因为圆过点(0，2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.
4．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
答案 ②④
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则MF＝1＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(5,2)＝eq \f(7,2)≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
答案 2
解析 如图所示，
动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F(1,0)到直线l1的距离d＝eq \f(|4＋6|,\r(－32＋42))＝2.
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
答案 6
解析 抛物线的焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线方程为y＝－eq \f(p,2).将y＝－eq \f(p,2)代入eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1得|x|＝eq \r(3＋\f(p2,4)).要使△ABF为等边三角形，则tan eq \f(π,6)＝eq \f(|x|,p)＝eq \f(\r(3＋\f(p2,4)),p)＝eq \f(\r(3),3)，解得p2＝36，p＝6.
7．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
答案 x＝eq \f(5p,2)
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p