高一升高二数学暑假预习课16讲第15讲 抛物线与7考点精讲（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第15讲 抛物线与7考点精讲（解析版），共27页。
\l "_Tc26584" 一、 抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc26584 \h 2
\l "_Tc24886" 基础知识 PAGEREF _Tc24886 \h 2
\l "_Tc24476" 考点1 动点的轨迹问题 PAGEREF _Tc24476 \h 2
\l "_Tc5463" 考点2 由抛物线的定义解题 PAGEREF _Tc5463 \h 4
\l "_Tc20498" 考点3 抛物线的焦点坐标及准线方程 PAGEREF _Tc20498 \h 6
\l "_Tc13" 考点4 求抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc13 \h 7
\l "_Tc13257" 二、抛物线的几何性质 PAGEREF _Tc13257 \h 9
\l "_Tc24828" 基础知识 PAGEREF _Tc24828 \h 9
\l "_Tc1506" 考点5 抛物线对称性 PAGEREF _Tc1506 \h 10
\l "_Tc16545" 考点6 抛物线相关最值问题 PAGEREF _Tc16545 \h 13
\l "_Tc18236" 考点7 抛物线相关的实际应用 PAGEREF _Tc18236 \h 15
\l "_Tc13655" 三、 课后作业 PAGEREF _Tc13655 \h 18
\l "_Tc12788" 单选题 PAGEREF _Tc12788 \h 18
\l "_Tc16708" 多选题 PAGEREF _Tc16708 \h 21
\l "_Tc13837" 填空题 PAGEREF _Tc13837 \h 22
\l "_Tc6384" 解答题 PAGEREF _Tc6384 \h 23
一、 抛物线的标准方程
基础知识
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
考点1 动点的轨迹问题
【例1.1】（23-24高二下·广西·阶段练习）点P到直线y=3的距离比到点F0,−1的距离大2，则点P的轨迹方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=−4xC．x2=4yD．x2=−4y
【解题思路】根据题意点P到直线y=1的距离和到点F0,−1的距离相等，可得点的轨迹为抛物线，即可得解.
【解答过程】根据题意，设点P(x,y)，且点P在y=3的下方，
故点P到直线y=1的距离和到点F0,−1的距离相等，
所以点的轨迹为以F0,−1为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，
所以P的轨迹方程为x2=−4y，
故选：D.
【例1.2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点Px,y满足(x−1)2+y2=x+1，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.
【解答过程】(x−1)2+y2表示点Px,y到点1,0的距离； x+1表示点Px,y到直线x=−1的距离.
因为(x−1)2+y2=x+1，
所以点Px,y到点1,0的距离等于点Px,y到直线x=−1的距离，
所以P的轨迹为抛物线.
故选：C.
【变式1.1】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C与x轴相切且与圆x2+y2=4外切，则圆C的圆心的轨迹方程为（ ）
A．x2=4y+4B．x2=−4y+4
C．x2=4y+4D．x2=4y−4
【解题思路】设圆心坐标为x,y，依题意可得x2+y2=2+y，化简整理即可得解.
【解答过程】设圆心坐标为x,y，依题意可得x2+y2=2+y，化简得x2=4y+4，
即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4y+4.
故选：C.
【变式1.2】（23-24高三上·安徽·开学考试）已知圆C与过点−1,0且垂直于x轴的直线l仅有1个公共点，且与圆C′:x2+y2−6x+5=0外切，则点C的轨迹方程为（ ）
A．y2=12xB．y2=6xC．x24+y23=1D．x210+y2=1
【解题思路】根据外切关系结合抛物线定义，分析得到C的轨迹为抛物线，由此求解出抛物线的方程.
【解答过程】由题意得，直线l:x=−1，且圆C′:(x−3)2+y2=4，
设点C到直线l的距离为r，
则点C到l′:x=−3与点C到C′的距离相等，都是r+2，
故点C的轨迹是以C′为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为y2=12x.
故选：A.
考点2 由抛物线的定义解题
【例2.1】 （23-24高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线x2=2y上有两个点A，B，焦点为F，若AF+BF=7，则线段AB的中点到x轴的距离是（ ）
A．32B．2C．52D．3
【解题思路】设点A，B的坐标分别为x1,y1和x2,y2，利用抛物线的定义，结合AF+BF=7求解.
【解答过程】解：由已知可得抛物线x2=2y的准线方程为y=−12，
设点A，B的坐标分别为x1,y1和x2,y2，
由抛物线的定义得AF+BF=y1+y2+1=7，即y1+y2=6，
线段AB中点的纵坐标为y1+y22=3，
故线段AB的中点到x轴的距离是3，
故选：D.
【例2.2】（23-24高二上·广东汕头·期末）已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为5，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
【解题思路】根据题意，结合抛物线的焦半径公式，列出方程，即可求解.
【解答过程】由点A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，且到y轴的距离为5，可得xA=5，
又由点A到C的焦点的距离为8，根据抛物线的焦半径可得AF=xA+p2=8，
即5+p2=8，解得p=6.
故选：C.
【变式2.1】（23-24高二下·河南焦作·期末）已知点A0,2，抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F， 射线FA与抛物线C 交于点M，与拋物线准线相交于N，若 MN=5FM， 则p的值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
【解题思路】过M作BM⊥准线，垂足为B，根据抛物线的定义可得cs∠NMB=55，可得tan∠AFO=tan∠NMB=2，运算求解即可.
【解答过程】过M作BM⊥准线，垂足为B，则MF=MB，
由题意可得：cs∠NMB=MBMN=MFMN=15=55，
且∠NMB为锐角，则sin∠NMB=1−cs2∠NMB=255，
可得tan∠NMB=sin∠NMBcs∠NMB=2，
在Rt△AOF中，tan∠AFO=tan∠NMB=AOOF，
即2p2=2，解得p=2.
故选：C.
【变式2.2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知A为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为18，到x轴的距离为12，则p=（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解题思路】直接利用抛物线的定义分析求解即可.
【解答过程】由抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
因为点A到C的焦点的距离为18，所以点A到抛物线C准线的距离为18，
又点A到x轴的距离为12，所以p2=18−12=6，则p=12.
故选：D.
考点3 抛物线的焦点坐标及准线方程
【例3.1】 （23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线y=2px2过点1,4，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．1,0B．116,0C．0,116D．0,1
【解题思路】根据点1,4在抛物线y=2px2上，求出p，求出焦点坐标，判断选项.
【解答过程】根据点1,4在抛物线y=2px2上，则4=2p，解得p=2，故x2=14y，所以焦点坐标为0,116.
故选：C.
【例3.2】（23-24高二上·四川攀枝花·期末）对抛物线y=14x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为0,1B．开口向右，焦点为1,0
C．开口向上，焦点为0,116D．开口向右，焦点为116,0
【解题思路】将抛物线方程化为标准方程，再由抛物线的性质，即可得到开口方向和焦点坐标．
【解答过程】抛物线y=14x2，即为抛物线x2=4y，
由抛物线的性质可得该抛物线开口向上，
焦点为0,1．
故选：A．
【变式3.1】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）抛物线x2=−4y的准线方程是（ ）
A．y=1B．y=−1C．y=2D．y=−2
【解题思路】结合抛物线的准线方程求解即可.
【解答过程】由题知抛物线x2=−2py=−4y,所以p=2，故抛物线x2=−4y的准线方程为y=p2=1.
故选：A.
【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）抛物线y=ax2上一点P−1,2到其准线的距离为（ ）
A．52B．178C．12D．78
【解题思路】根据抛物线的标准方程及其简单几何性质进行求解.
【解答过程】把点P−1,2的坐标代入抛物线方程，解得a=2，
所以抛物线的方程为y=2x2，即x2=12y，抛物线的准线的方程为y=−18，
所以点P−1,2到抛物线准线的距离为2−−18=178.
故选：B.
考点4 求抛物线的标准方程
【例4.1】（23-24高二上·全国·期末）已知抛物线的焦点坐标为2,0，则抛物线的标准方程是（ ）
A．y2=−8xB．y2=8x
C．x2=−8yD．x2=8y
【解题思路】
利用抛物线的标准方程的相关知识即可得解.
【解答过程】
依题意，设抛物线方程为y2=2px(p>0)，
由焦点坐标为2,0，得p2=2，即p=4，
所以抛物线的标准方程为y2=8x.
故选：B.
【例4.2】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线y2=mxm>0的准线与直线x=1的距离为3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=16xB．y2=8xC．y2=4xD．y2=2x
【解题思路】准线x=−m4与直线x=1的距离为1+m4，计算得到答案.
【解答过程】抛物线y2=mxm>0的准线为x=−m4，准线x=−m4与直线x=1的距离为1+m4，
故1+m4=3，解得m=8，故此抛物线的方程为y2=8x.
故选：B.
【变式4.1】（23-24高二上·四川乐山·期中）已知点F是抛物线x2=2py(p>0)的焦点，点M(x0,1)在抛物线上，若FM=32，则该抛物线的方程为（ ）
A．x2=2yB．x2=32yC．x2=yD．x2=12y
【解题思路】根据抛物线的定义直接求出p即可.
【解答过程】由抛物线的定义知，
FM=1−(−p2)=32，
解得p=1，
所以抛物线方程为x2=2y，
故选：A.
【变式4.2】（2024·北京·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l于D.若AF=2,∠DAF=60∘，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=8xB．y2=4x
C．y2=2xD．y2=x
【解题思路】
根据抛物线的定义求得DF=2，然后在直角三角形中利用∠DAF=60°可求得p=2，从而可得答案．
【解答过程】如图，连接DF，设准线与x轴交点为M

抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0，准线l：x=−p2
又抛物线的定义可得AF=AD，又∠DAF=60∘，所以△DAF为等边三角形，
所以DF=AF=2，∠DFM=60∘
所以在Rt△DFM中，DF=2MF=2p=2，则p=1，所以抛物线C的方程为y2=2x.
故选：C.
二、抛物线的几何性质
基础知识
1．抛物线的几何性质
抛物线的简单几何性质：
2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是00)，显然点B4,0.8在此抛物线上，
因此42=2p×0.8，解得p=10，
所以该抛物线的焦点到准线距离为10.
故选：C.
【例3.2】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为（ ）（2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）

A．0.816mB．1.33mC．1.50mD．1.63m
【解题思路】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果.
【解答过程】以O为原点，OC为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的标准方程为x2=2py（p>0），
由题意可得B1,1.5，代入x2=2py得1=3p，得p=13，故抛物线的标准方程为x2=23y，
设Fx0,y0（x0>0，y0>0），则y0=1.5−0.5=1，则x02=23×1=23，
即可得x0=23=63≈0.816，
所以截面图中水面宽EF的长度约为0.816×2≈1.63m，
故选：D.
【变式3.1】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A．4.96B．5.06C．4.26D．3.68
【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点5,−6，把点5,−6代入抛物线方程即可求出p，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为6−p2，即可求出答案.
【解答过程】如图，设抛物线的方程为x2=−2py，抛物线经过点5,−6，
所以25=12p，解得p=2512，所以抛物线顶点到焦点的距离为p2=2524，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为6−p2=6−2524≈4.96米.
故选：A.
【变式3.2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度AB=6m，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）
A．2.25mB．3.25mC．3.5mD．3.75m
【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果.
【解答过程】
取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，
则C4,−4，设抛物线方程为x2=−2py p>0，将点C代入抛物线方程，
可得p=2，则抛物线方程为x2=−4y，行车宽度AB=6m，将x=3代入抛物线方程，
可得y=−2.25m，所以限度为6−2.25−0.5=3.25m.
故选：B.
三、 课后作业
单选题
1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：y2=mx过点2,5，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．x=58B．x=−58C．x=38D．x=−38
【解题思路】根据题意，求得抛物线的方程y2=52x，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【解答过程】由抛物线C：y2=mx过点2,5，可得(5)2=m×2，解得m=52，
即抛物线的方程为y2=52x，可得抛物线C的准线方程为x=−58.
故选：B.
2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知抛物线x2=4y的焦点为F，点M在抛物线上，且MF=3，则点M到x轴的距离为（ ）
A．4B．22C．2D．3
【解题思路】由抛物线定义计算即可得.
【解答过程】由抛物线定义可知MF等于点M到准线的距离，
故点M到x轴的距离为MF−1=3−1=2.
故选：C.
3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知线段AB的端点B的坐标是(2,1)，端点A在抛物线y=x2上运动，则线段AB的中点M的轨迹为（ ）
A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆
【解题思路】设Mx,y，借助M为线段AB的中点及A在抛物线y=x2上，计算可得M轨迹方程，即可得解.
【解答过程】设Mx,y，由M为线段AB的中点，故A2x−2,2y−1，
又端点A在抛物线y=x2上，故有2y−1=2x−22，
化简得y=2x2−4x+52，故线段AB的中点M的轨迹为抛物线.
故选：B.
4．（23-24高二上·陕西渭南·期中）点M5,3到抛物线y=ax2（a>0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）
A．y=12x2B．y=−136x2C．y=−36x2D．y=112x2
【解题思路】将y=ax2化为标准形式，利用抛物线定义可得答案.
【解答过程】将y=ax2化为x2=1ay，准线y=−14a，由已知得：3+14a=6，所以1a=12，
即a=112，所以抛物线方程为y=112x2.
故选：D.
5．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．83B．42C．43D．32
【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为m24,m,m24,−mm>0，由图形的对称性可以得到方程tan30°=mm24，解此方程得到m的值，即可得到答案.
【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，
可设另外两个顶点的坐标分别为m24,m,m24,−mm>0，
∴tan30°=33=mm24，解得m=43，
故这个等边三角形的边长为2m=83.
故选：A.
6． （23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知A3,2，抛物线C:y2=8x的焦点为F,P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（ ）
A．32B．5+22C．5+5D．3+22
【解题思路】过点P作PH垂直于准线且交准线于H，则△PAF的周长AF+PA+PF转化成AF+PA+PH即可求解.
【解答过程】由题意，抛物线的准线x=−2，过点P作PH垂直于准线且交准线于H，则PF=PH，
由题可知，△PAF的周长为AF+PA+PF=AF+PA+PH，又AF=5，
如图，AF+PA+PH≥AF+AH，当A,P,H三点共线时，
△PAF的周长最小，且最小值为5+5.
故选：C.
7．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知点P是抛物线x2=2y上的一动点，焦点为F，若定点M(1,2)，则当P点在抛物线上移动时，|PM|+|PF|的最小值等于（ ）
A．52B．2C．3D．4
【解题思路】利用抛物线的定义，数形结合即可得解.
【解答过程】如图，过P作抛物线x2=2y的准线y=−12的垂线，垂足为Q，连接MQ，
则PM+PF=PM+PQ≥MQ≥2+12=52，当且仅当M,P,Q共线时等号成立，
故PM+PF的最小值为52，
故选：A.
8．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知O为坐标原点，抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若AF=3BF，则OA=（ ）
A．23B．15C．17D．21
【解题思路】先推导焦半径公式得AF=21−csθ，BF=21+csθ.由AF=3BF，求出θ=π3，再由余弦定理求解.
【解答过程】不妨设点A在第一象限，直线AB的倾斜角为θ，
所以csθ=AF−2AF，则AF=21−csθ，同理可得BF=21+csθ.
因为AF=3BF，所以csθ=12，即θ=π3，∠AFO=2π3，
所以AF=21−csθ=4.
在△AFO中，OA=AF2+OF2−2AF⋅OFcs∠AFO=21.
故选：D.
多选题
9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，O为坐标原点，点Mx0,y0在抛物线C上，若|MF|=5，则（ ）
A．F的坐标为(1,0)B．x0=±4C．y0=3D．|OM|=42
【解题思路】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D.
【解答过程】对于A，抛物线C:x2=4y的焦点为F0,1，准线方程为y=−1，故A错误；
对于BC，由抛物线定义可得|MF|=5=y0+1，所以y0=4，x02=16，解得x0=±4，故B正确C错误；
对于D，|OM|=16+16=42，故D正确.
故选：BD.
10．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P5,y0在抛物线上，且|PF|=6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则（ ）
A．p=2B．抛物线的准线为直线y=−1
C．y0=25D．△FPQ的面积为45
【解题思路】根据抛物线的定义以及焦半径的长度可求出p值，即可判断选项AB，根据点在抛物线上即可求出点P的纵坐标，即可判断选项C，利用三角形的面积公式即可求出△FPQ的面积，即可判断选项D.
【解答过程】抛物线y2=2px(p>0)的准线为直线x=−p2，设点P在第一象限，过点P向准线作垂线垂足为M，
由抛物线的定义可知|PF|=PM=5+p2=6，解得p=2，
则抛物线的方程为y2=4x，准线为直线x=−1，故A正确，B错误；
将x=5代入抛物线方程，解得y0=±25，故C错误；
焦点F(1,0)，点P(5,±25)，即|PQ|=25，
所以S△FPQ=12×25×(5−1)=45，故D正确；
故选：AD．
填空题
11．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线C:x2=−2py(p>0)经过点(2,−1)，则此抛物线的准线方程是
y=1 .
【解题思路】将点(2,−1)代入x2=−2py(p>0)中，求得p=2，从而得到抛物线的准线方程.
【解答过程】因为抛物线C:x2=−2py(p>0)经过点(2,−1)，所以22=−2p×(−1)，解得p=2，
所以抛物线方程为x2=−4y，故抛物线的焦点在y轴的负半轴，所以抛物线的准线方程为y=1.
故答案为：y=1.
12．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，P点为抛物线上任意一点，M为圆E:x−62+y2=4上任意一点，则2PM+MF的最小值为 46 .
【解题思路】设存在定点C(t,0)，使得点M在圆E上运动时，均有|MC|=12|MF|，结合两点间距离公式，可确定t的值，从而有2PM+MF=2PM+MC≥2PC，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，求得|PC|的最小值，即可得解．
【解答过程】由题意知，焦点F(2,0)，
设存在定点C(t,0)，使得点M在圆E上运动时，均有|MC|=12|MF|，
设M(x,y)，则x−62+y2=4，
由|MC|=12|MF|，知x−t2+y2=12x−22+y2，
联立两式，消去y可得40−8tx+4t2−100=0，
令40−8t=0，则t=5，满足上式，
所以C(5,0)，
所以2PM+MF=2PM+2MC=2PM+MC≥2PC，
当且仅当P、M、C，三点共线时，等号成立，
设P(a,b)，则b2=8a，
所以|PC|=a−52+b2=a2−10a+25+8a=a2−2a+25
=a−12+24≥26，
当且仅当a=1时，等号成立，
所以2|PM|+|MF|≥2|PC|≥46，
即2|PM|+|MF|的最小值为46．
故答案为：46．
解答题
13．（2024高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y+4=0；
(2)过点(3,−4)；
(3)焦点在直线x+3y+15=0上．
【解题思路】
（1）求出抛物线的焦点坐标，直接写出方程即得.
（2）设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求解即得.
（3）求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线的标准方程即得.
【解答过程】
（1）准线方程为2y+4=0，即y=−2，则抛物线的焦点坐标为(0,2)，
所以所求抛物线的标准方程为x2=8y.
（2）设所求抛物线的标准方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)，
于是(−4)2=3m，解得m=163，或32=−4n，解得n=−94，
所以所求抛物线的标准方程为y2=163x或x2=−94y.
（3）直线x+3y+15=0交y轴于点(0,−5)，则以(0,−5)为焦点的抛物线标准方程为x2=−20y；
直线x+3y+15=0交x轴于点(−15,0)，则以(−15,0)为焦点的抛物线标准方程为y2=−60x，
所以所求抛物线的标准方程为x2=−20y或y2=−60x.
14．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=−2的距离，
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若A(2,2)，求△PAF周长的最小值.
【解题思路】
（1）利用抛物线的定义得解；
（2）根据抛物线的定义可将问题转化成PA+PN′的最小值，根据三点共线即可求解.
【解答过程】
（1）由题意知动点P到F(2,0)的距离与它到直线x=−2的距离相等，
所以动点P的轨迹为以F(2,0)为焦点、以直线x=−2为准线的抛物线，
因此动点P的轨迹方程为y2=8x.
（2）由题意知，焦点为F2,0,FA=02+22=2,
当PA+PF的值最小时，△PAF的周长最小.
设点P在抛物线的准线上的射影为N′，根据抛物线的定义，可知PN′＝PF ，
因此PA+PF的最小值即PA+PN′的最小值.
根据平面几何的知识可得，当N′，P，A 三点共线时，即可A作AN⊥准线于N,
与抛物线交于M′,此时N，M′，A 三点共线，
此时PA+PF=M′A+M′N=AN=2+2=4，
所以△PAF周长的最小值为2+4=6.
15．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，A地在B地东偏北45°方向相距22km处，且B与l相距4km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l（近似看成直线）的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计）

(1)试建立适当的直角坐标系求环形公路PQ所在曲线的轨迹方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
【解题思路】
（1）取经过点B且垂直l的直线为y轴，垂足为K，并使原点与线段BK的中点重合，建立直角坐标系，由题意可知环形公路PQ所在曲线的轨迹是抛物线，直接利用抛物线的定义得到其标准方程；
（2）利用抛物线的定义，把所要求的最小值转化为在抛物线上取一点，使该点到A点的距离和到高铁线l的距离最小.
【解答过程】
（1）如图，

取经过点B且垂直l的直线为y轴，垂足为K，
并使原点与线段BK的中点重合，建立直角坐标系，
则B0,2，A2,4，
因为环形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到直线l的距离，
所以PQ所在的曲线是以B0,2为焦点以l为准线的抛物线.
设抛物线方程为x2=2pyp>0，则p=4.
∴环形公路PQ所在曲线的轨迹方程为x2=8y.
（2）要使架设电线长度最短，即MA+MB最小，
过M作MH⊥l，垂足为H，
∴MA+MB=MA+MH，
当A、M、H三点共线时，即MA+MB取得最小值，
此时M2,12，位于A地正南方且与A地相距72，所用电线最短长度为6km.
16．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点B3,2；②点B3,4中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点A−1,1与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线y=−4x−5与它到准线l的距离之和的最小值．
【解题思路】（1）（2）（3）数形结合，利用抛物线定义对所求距离之和进行转化为两点之间的距离，或点到直线的距离可得.
【解答过程】
（1）过点B、P分别作准线的垂线，垂足为E、D.
选①：如图1
由抛物线定义可得，PF+PB=PB+PD≥BE=3−(−1)=4
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为4.
选②：由图2可知，PF+PB≥BF=(3−1)2+42=25
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为25

（2）如图2
由抛物线定义可得，PA+PD=PA+PF≥AF=5
点P到点A−1,1与它到准线l的距离之和的最小值为5.
（3）记P到直线y=−4x−5的距离为d，F到直线y=−4x−5的距离为m.
由图2结合抛物线定义可知，则PD+d=d+PF≥m=4+517=417+8517.
所以点P到直线y=−4x−5与它到准线l的距离之和的最小值为417+8517.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0