第15讲 圆锥曲线与方程章节复习（解析版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4

这是一份第15讲 圆锥曲线与方程章节复习（解析版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4，共23页。

思考1 圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的定义分别是什么？



思考2：椭圆、双曲线、抛物线都有什么共同的几何性质？



热点题型一 圆锥曲线的定义及应用
【例1】(1)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足eq \(PD,\s\up6(→))＝2eq \(MD,\s\up6(→))，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．
解 方法一 由eq \(PD,\s\up6(→))＝2eq \(MD,\s\up6(→))，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4，所以曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
方法二 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由eq \(PD,\s\up6(→))＝2eq \(MD,\s\up6(→))，得x0＝x，y0＝2y，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，(*)把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，所以曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)若点M(1,2)，点C是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是 ．
答案 8－2eq \r(5)
解析 设点B为椭圆的左焦点，则B(－3,0)，点M(1,2)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝eq \r(1＋32＋22)＝2eq \r(5)，所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2eq \r(5)．
圆锥曲线定义及其应用的解题方法
(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
1．已知动点M的坐标满足方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对
答案 C
解析 把轨迹方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|写成eq \r(x2＋y2)＝eq \f(|3x＋4y－12|,5).∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等，∴点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
2．(双空题)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，则|PM|＋|PF|的最小值为 ，则此时点P的坐标为 ．
解 抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如图所示，
根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为eq \f(9,8)，即点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,8)，3)).
热点题型二 圆锥曲线的标准方程
【例2】(1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
答案 x2－eq \f(y2,3)＝1
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2，,\f(c,a)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,c＝2，))则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，∴c＝2eq \r(2)，∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
答案 D
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1,\f(c,a)＝\f(1,2)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2,c＝1))，则b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
答案 C
解析 方法一 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝2，,c2＝a2＋b2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2a，,b＝\r(3)a.))所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.依题意，不妨设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))到直线y＝eq \r(3)x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)c－\f(b2,a))),2)＋eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)c＋\f(b2,a))),2)＝6，所以eq \f(2\r(3)a－3a,2)＋eq \f(2\r(3)a＋3a,2)＝6，解得a＝eq \r(3)，所以b＝3，所以双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1，故选C.
方法二 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝2，,c2＝a2＋b2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2a，,b＝\r(3)a，))如图所示，由d1＋d2＝6，即AD＋BE＝6，可得CF＝3，故b＝3，所以a＝eq \r(3)，所以双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1.
热点题型三 圆锥曲线的几何性质及其应用
【例3】(1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
答案 D
解析 由题意知直线AP的方程为y＝eq \f(\r(3),6)(x＋a)，①直线PF2的方程为y＝eq \r(3)(x－c)．②
联立①②，得P点纵坐标y＝eq \f(\r(3),5)(a＋c)，如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝eq \f(\r(3),5)(a＋c)．因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，所以sin 60°＝eq \f(PH,PF2)＝eq \f(\f(\r(3),5)a＋c,2c)＝eq \f(\r(3),2)，即a＋c＝5c，即a＝4c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,4).故选D.
(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq \f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为________．
答案 x±eq \r(2)y＝0
解析 设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝eq \f(\r(a2－b2),a)，e2＝eq \f(\r(a2＋b2),a).因为e1·e2＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(\r(a4－b4),a2)＝eq \f(\r(3),2)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))4＝eq \f(1,4)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2).故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(2),2)x，即x±eq \r(2)y＝0.
(3)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(\r(3),2).已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))到这个椭圆上的点的最远距离为eq \r(7)，则这个椭圆方程是________．
解析 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)得a＝2b，AM2＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋4b2＋3(－b≤y≤b)，若beq \f(1,2)，故矛盾．若b≥eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)时AM2最小，即4b2＋3＝7，b2＝1，则所求方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq \f(c,a)，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
1.设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点，若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
答案 A
解析 如图：以OF为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))2＋y2＝eq \f(c2,4)，①
又x2＋y2＝a2，② ①－②得交线PQ的直线方程为：x＝eq \f(a2,c)，代入②，得y＝±eq \f(ab,c)，又|PQ|＝|OF|，
则2eq \f(ab,c)＝c，∴a＝b，e＝eq \r(2)，故选A．
2.已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FA＝c，则双曲线的渐近线方程为__________．
答案 x±y＝0
解析 c2＝a2＋b2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，双曲线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(p,2)))，即eq \f(c2,a2)－eq \f(p2,4b2)＝1.②由FA＝c，得c2＝a2＋eq \f(p2,4)，③由①③得p2＝4b2.④将④代入②，得eq \f(c2,a2)＝2.∴eq \f(a2＋b2,a2)＝2，即eq \f(b,a)＝1，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
热点题型四 直线与圆锥曲线的位置关系
【例4】(1)若直线kx－y＋3＝0与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．－eq \f(\r(5),4)0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
2．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．
3．相离：Δ0)上的一点，F为其焦点，若F与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点重合，则下列说法正确的有( )
A．若PF＝6，则点P的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为eq \r(3)
C．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π
D．△PMF周长的最小值为3＋eq \r(5)
答案 ACD
解析 因为双曲线的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1，所以a2＝3，b2＝1，则c＝eq \r(a2＋b2)＝2，因为抛物线C的焦点F与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点重合，所以eq \f(p,2)＝2，即p＝4，
选项A，若PF＝6，则点P的横坐标为x0＝PF－eq \f(p,2)＝4，所以选项A正确；
选项B，因为抛物线C的焦点F与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为eq \f(2b2,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，所以选项B错误；
选项C，因为O(0,0)，F(2,0)，所以△POF外接圆的圆心的横坐标为1，又因为△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以r＝3，所以该外接圆面积为S＝πr2＝9π，所以选项C正确；
选项D，因为△PMF的周长为C＝PF＋PM＋MF＝xP＋eq \f(p,2)＋PM＋eq \r(5)＝(xP＋PM)＋2＋eq \r(5)≥xM＋2＋eq \r(5)＝3＋eq \r(5)，所以选项D正确．

6．双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝64，则∠F1PF2＝________.
答案 60°
解析 双曲线方程16x2－9y2＝144，化简为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，解得a＝3，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0)．设PF1＝m，PF2＝n，由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，又已知m·n＝64，在△PF1F2中，由余弦定理知cs∠F1PF2＝eq \f(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)－F1F\\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq \f(m2＋n2－2c2,2m·n)＝eq \f(m－n2＋2m·n－4c2,2m·n)＝eq \f(36＋2×64－4×25,2×64)＝eq \f(1,2).所以∠F1PF2＝60°.
A组 基础巩固练

1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A.eq \r(6) B．2eq \r(6) C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)
答案 D
解析 方程化为标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1，∴a2＝3，b2＝9.∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2eq \r(3)，∴2c＝4eq \r(3).
2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线的距离是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3)
答案 B
解析 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1，0)，双曲线的渐逝线方程为eq \r(3)x－y＝0或eq \r(3)x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝eq \f(|\r(3)×1－0|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq \f(\r(3),2)或d2＝eq \f(|\r(3)×1＋0|,\r(\r(3)2＋12))＝eq \f(\r(3),2).
3．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p等于( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)，
所以eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝8，故选D.
4．若双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1的实轴长是离心率的2倍，则m＝( )
A.eq \f(1＋\r(5),2) B．2 C．3 D.eq \r(5)
解析：选A.由双曲线的方程，可知m>0，a＝eq \r(m)，b＝1，则c＝eq \r(m＋1)，所以2eq \r(m)＝2×eq \f(\r(m＋1),\r(m))，解得m＝eq \f(1＋\r(5),2)，故选A.
5．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)＋y2＝1 C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1
答案 A
解析 因为|BF2|＝|F1F2|＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝eq \r(3).
所以椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
6．双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,8) C.eq \f(16,3) D.eq \f(8,3)
解析：选A.抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，故双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1中，m>0，n>0且m＋n＝c2＝1①，又e＝eq \f(c,\r(m))＝ eq \r(\f(m＋n,m))＝2②，联立方程①②，解得m＝eq \f(1,4)，n＝eq \f(3,4).故mn＝eq \f(3,16).
7．已知F是抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－eq \f(1,16) C．x2＝y－eq \f(1,2) D．x2＝2y－2
答案 A
解析 设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)，又F(0，1)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0＋1,2)，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x，,y0＝2y－1，))代入y0＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)得2y－1＝eq \f(1,4)(2x)2，化简得x2＝2y－1.
8．(2019·全国Ⅰ)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cs 40° C.eq \f(1,sin 50°) D.eq \f(1,cs 50°)
答案 D
解析 由题意可得－eq \f(b,a)＝tan 130°，所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋tan2130°)＝eq \r(1＋\f(sin2130°,cs2130°))＝eq \f(1,|cs 130°|)＝eq \f(1,cs 50°).
9．直线l过点(eq \r(2)，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：选C.点(eq \r(2)，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．所以共有3条．
10．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3m)＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆eq \f(y2,n)－eq \f(x2,m)＝1的焦距等于4，则n＝( )
A．3 B．－3 C．5 D．－5
解析：选C.因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为eq \f(y2,－3m)－eq \f(x2,－m)＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为eq \f(y2,n)＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或c2＝1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
11．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cs 2θ＝eq \f(2m2＋3m2－3m2,2×2m·3m)＝eq \f(1,3)，因为cs 2θ＝1－2sin2θ，所以eq \f(1,3)＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，故选B.
12.如图，已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 因为PF⊥x轴，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a))).又OP∥AB，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\f(b2,a),c)，即b＝c.于是b2＝c2，即a2＝2c2.所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
13．(多选题)以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－4x C．x2＝－4y D．x2＝－2y
答案 AC
解析 直线2x－y－1＝0与x轴的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，即抛物线的焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，此时抛物线的标准方程是y2＝2x，与y轴的交点坐标是(0，－1)，抛物线的焦点坐标是(0，－1)，
此时抛物线的标准方程是x2＝－4y.
14．(多选题)已知方程mx2＋ny2＝1(m，n∈R)，则( )
A．当mn>0时，方程表示椭圆 B．当mn0)，F2的坐标为(c，0)，P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))(不妨取第一象限内点P)，由题意知PF2＝F1F2，所以eq \f(b2,a)＝2c，a2－c2＝2ac，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))－1＝0，解得eq \f(c,a)＝±eq \r(2)－1，负值舍去，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)－1.
20．椭圆r：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.焦距为2c，若直线y＝eq \r(3)(x＋c)与椭圆r的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于______．
答案 eq \r(3)－1
解析 注意到直线过点(－c,0)即为左焦点F1，又斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°，即∠MF1F2＝60°.又∠MF1F2＝2∠MF2F1，故∠MF2F1＝30°，那么∠F2MF1＝90°.MF1＝F1F2·cs 60°＝2c·eq \f(1,2)＝c，MF2＝F1F2·sin 60°＝2c·eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)c，e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2c,MF1＋MF2)＝eq \f(2c,\r(3)c＋c)＝eq \r(3)－1.
21．(双空题)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝eq \f(1,4)y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于eq \r(5)，则该双曲线的方程为________，渐近线方程为__________．(本题第一空3分，第二空2分)
答案 5x2－eq \f(5,4)y2＝1 y＝±2x
解析 抛物线x＝eq \f(1,4)y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)，则得a2＋b2＝1，又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，易求得a2＝eq \f(1,5)，b2＝eq \f(4,5)，所以该双曲线的方程为5x2－eq \f(5,4)y2＝1，渐近线方程为y＝±2x.
22．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2eq \r(13)，一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解 ①焦点在x轴上，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且c＝eq \r(13)，设双曲线为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.因为eq \f(e双,e椭)＝eq \f(7,3)，所以eq \f(a,m)＝eq \f(7,3)，解得a＝7，m＝3.因为椭圆和双曲线的半焦距为eq \r(13)，所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,49)＝1，双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1.
23．(本小题满分10分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求以x＝eq \f(a2,c)(a，c分别为双曲线中的实半轴与半焦距)为准线的抛物线的标准方程．
解：(1)把椭圆方程化为标准形式为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，焦点坐标为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)．
故设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝5，
\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝3
b2＝2))，
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)由(1)知x＝eq \f(3\r(5),5)，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
则有eq \f(p,2)＝eq \f(3\r(5),5)，故p＝eq \f(6\r(5),5).所以抛物线的标准方程为y2＝－eq \f(12\r(5),5)x.
24．(12分)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点A(2,1)，离心率为eq \f(\r(2),2)，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|MN|＝eq \f(3\r(2),2)，求直线MN的方程．
解 (1)由题意有eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，a2－b2＝c2，
解得a＝eq \r(6)，b＝eq \r(3)，c＝eq \r(3)，所以椭圆方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k(x－3)，
代入椭圆方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2>0，得k20)与双曲线C2：x2－eq \f(y2,4)＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝eq \f(13,2) B．a2＝13 C．b2＝eq \f(1,2) D．b2＝2
解析：选C.由题意，知a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，所以直线截椭圆的弦长d＝eq \r(5)×2eq \r(\f(a4－5a2,5a2－5))＝eq \f(2,3)a，解得a2＝eq \f(11,2)，b2＝eq \f(1,2).
2．(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则( )
A．BF＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
答案 BCD
解析 由题意，得以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，且∠ABD＝90°，
由抛物线定义，可得AB＝AF＝BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°，∵S△ABF＝eq \f(\r(3),4)BF2＝9eq \r(3)，∴BF＝6.又焦点F到准线的距离为p＝BFsin 30°＝3，则抛物线方程为y2＝6x，
则BCD正确，A错误．
3．过点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|＝3，则p＝________.
答案 4
解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，又|AF|＝3，所以x1＝3－eq \f(p,2)，由中点坐标公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(x2－\f(p,2),2)，,y1＝\f(y2＋0,2)，))所以x2＝6－eq \f(p,2)，y2＝2y1，所以yeq \\al(2,2)＝4yeq \\al(2,1)，2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(p,2)))＝4yeq \\al(2,1)＝4×2px1＝4×2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2)))，结合p>0可得p＝4.
4．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝eq \r(2)|AF|，则△AFK的面积为________．
答案 8
解析 由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线l为x＝－2，∴K(－2，0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A(2，4)，∴△AFK的面积为eq \f(1,2)|KF|·|y0|＝eq \f(1,2)×4×4＝8.
5．设双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案 eq \f(10,3)
解析 根据题意，得a2＝9，b2＝16.所以c＝eq \r(a2＋b2)＝5，且A(3，0)，F(5，0)．因为双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.所以直线BF的方程为y＝±eq \f(4,3)(x－5)．
①若直线BF的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，与渐近线y＝－eq \f(4,3)x交于点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(10,3)))，
此时S△AFB＝eq \f(1,2)AF·|yB|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(10,3)＝eq \f(10,3)；
②若直线BF的方程为y＝－eq \f(4,3)(x－5)，与渐近线y＝eq \f(4,3)x交于点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(10,3)))，此时S△AFB＝eq \f(1,2)AF·|yB|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(10,3)＝eq \f(10,3).因此，△AFB的面积为eq \f(10,3).
6．给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；
(2)过点(4，0)的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B两点，试探究是否总有eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))？请说明理由．
解 (1)因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合．
又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，所以条件④不适合题意．当选择条件③时，AF＝xA＋1＝1＋1＝2，此时适合题意．故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
(2)由题意得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝ty＋4，))消x得，y2－4ty－16＝0，所以Δ>0恒成立，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
则x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝－16t2＋16t2＋16＝16，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0，所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→)).综上所述，无论l如何变化，总有eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→)).