第15讲 抛物线（七大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

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题型一：抛物线的定义
题型二：求抛物线的标准方程
题型三：抛物线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：抛物线的几何性质
题型六：抛物线中的范围与最值问题
题型七：焦半径问题
【知识点梳理】
知识点一：抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
知识点诠释:
(1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值
(2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.
(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.
知识点二：抛物线的标准方程
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
，，，。
知识点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向(向下)
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.
④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。
知识点三：抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线y2=2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px(p＞0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0，0)。
抛物线标准方程几何性质的对比
知识点诠释：
(1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.
【典例例题】
题型一：抛物线的定义
例1．(2023·高二课时练习)若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为( )
A．相交B．相离
C．相切D．不确定
例2．(2023·广东深圳·高二统考期末)若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为( )
A．B．C．D．
例3．(2023·浙江台州·高二期末)已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则( )
A．1B．2C．3D．4
例4．(2023·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习)抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为( )
A．2B．3C．4D．5
例5．(2023·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习)已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则( )
A．2B．3C．5D．6
题型二：求抛物线的标准方程
例6．(2023·河南洛阳·高二校考阶段练习)点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )
A．B．或
C．或D．
例7．(2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中)准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A．B．
C．D．
例8．(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中)准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A．B．C．D．
例9．(2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习)经过点的抛物线的标准方程是( )
A．或B．或
C．或D．或
例10．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为( )
A．B．C．D．
例11．(2023·四川乐山·高二统考期末)已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为( )
A．B．C．D．
例12．(2023·广东惠州·高二博师高中校考阶段练习)已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为( )
A．B．C．D．
题型三：抛物线的综合问题
例13．(多选题)(2023·浙江·高二校联考阶段练习)已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的( )
A．点的坐标为
B．若直线经过焦点，则
C．若，则线段的中点到轴的距离为
D．若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为
例14．(多选题)(2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习)斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点则下列结论正确的有( )
A．B．抛物线的准线方程为
C．D．
例15．(多选题)(2023·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末)已知点，点，点在抛物线上，则( )
A．当时，最小值为1B．当吋，的最小值为4
C．当时，的最小值为3D．当吋，的最大值为2
例16．(多选题)(2023·福建福州·高二校联考期末)已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则( )
A．B．C．直线的方程为D．
例17．(多选题)(2023·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末)已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是( )
A．抛物线的方程为B．线段的中点到y轴的距离为
C．线段的长度为D．
题型四：轨迹方程
例18．(2023·安徽芜湖·高二校联考期中)若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是( )
A．B．
C．D．
例19．(2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习)已知圆的方程为，若抛物线过点A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
例20．(2023·全国·高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
例21．(2023·江苏·高二专题练习)已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A． B．C． D．
例22．(2023·江苏·高二专题练习)已知在平面直角坐标系中有一定点，动点到y轴的距离为d，且，则动点P的轨迹方程为( )
A．B．C．D．
例23．(2023·江苏·高二专题练习)与圆：外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( )
A．B．()和()
C．()D．()和()
例24．(2023·四川遂宁·高二射洪中学校考期中)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的中点Q的轨迹方程是( )
A．B．
C．D．
例25．(2023·高二课时练习)已知动圆⊙经过定点，且和直线相切，则点的轨迹方程为( )
A．B．C．D．
题型五：抛物线的几何性质
例26．(2023·高二课时练习)抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________．
例27．(2023·高二课时练习)一个正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为__________．
例28．(2023·福建·高二校联考阶段练习)已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则__________.
例29．(2023·贵州·高二校联考阶段练习)抛物线在第一象限上一点，满足，为该抛物线的焦点，则直线的斜率为______.
例30．(2023·山东德州·高二统考期末)如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．
例31．(2023·四川凉山·高二统考期末)过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率___________.
例32．(2023·陕西汉中·高二校考期中)已知抛物线：经过点，若点到抛物线的焦点的距离为4，则______
题型六：抛物线中的范围与最值问题
例33．(2023·上海虹口·高二上外附中校考期中)已知点在抛物线上，则点到直线的距离的最小值是__________．
例34．(2023·广东广州·高二仲元中学校考阶段练习)已知点为拋物线上的动点，点为圆上的动点，则点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为__________.
例35．(2023·广东汕头·高二校考期中)已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________．
例36．(2023·四川内江·高二威远中学校校考期中)已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为______________.
例37．(2023·广东江门·高二校考阶段练习)已知点P到直线与到点的距离相等，点Q在圆上，则的最小值为_____.
例38．(2023·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中)已知抛物线：，，为上一点，则取最小值时点的坐标为________．
例39．(2023·云南楚雄·高二校考阶段练习)是抛物线的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则的最小值是___________．
例40．(2023·高二课时练习)若点的坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为__________．
例41．(2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中)已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为_________
例42．(2023·湖南·高二校联考期中)已知点P为抛物线C：上的动点，直线l：，点为圆M：上的动点，设点P到直线l的距离为d，则的最小值为________．
题型七：焦半径问题
例43．(2023·广西·高二校联考阶段练习)已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，若，则________．
例44．(2023·北京·高二北京师大附中校考期中)若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则________.
例45．(2023·河南平顶山·高二统考期末)已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则_______.
例46．(2023·吉林白城·高二校考阶段练习)过抛物线的焦点F作直线l交抛物线C于两点，若，则__________．
例47．(2023·云南红河·高二校考阶段练习)过抛物线M：焦点的直线交抛物线M于A，B两点，若线段AB的中点P到M的准线的距离等于9，则__________．
例48．(2023·辽宁锦州·高二渤海大学附属高级中学校考期末)若抛物线上一点P到焦点的距离为4，则点P到原点的距离为______．
例49．(2023·福建漳州·高二统考期末)抛物线的焦点为，过原点的直线交于另一点，若，则______.
例50．(2023·河北邢台·高二统考阶段练习)已知抛物线的焦点为，点，在上，，则线段的中点到准线的距离为___________.
例51．(2023·内蒙古通辽·高二校联考开学考试)已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，交于两点，且满足，则_____________________.
例52．(2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习)已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N，若，则的面积为_________.
例53．(2023·河南安阳·高二统考期中)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴入射光线经抛物线反射后反射光线必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则______．
例54．(2023·高二课时练习)已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为______.
例55．(2023·江苏·高二专题练习)已知抛物线的焦点为F，点在点F的右边，若C上的点Q满足，则_____________．
例56．(2023·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第一中学校考期末)设O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，若，则的面积为____________．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·高二课时练习)抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是( )
A．B．C．D．
2．(2023·贵州铜仁·高二统考期末)过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则( )
A．1B．2C．3D．4
3．(2023·浙江嘉兴·高二统考期末)已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为( )
A．B．C．D．
4．(2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中)已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为( )
A．B．C．D．
5．(2023·高二单元测试)已知AB是经过抛物线的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为( )
A．B．C．D．
6．(2023·高二课时练习)已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有( )
A．1条B．2条C．3条
D．1条、2条或3条
7．(2023·高二课时练习)抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )
A．B．
C．D．或
8．(2023·高二课时练习)过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB，则的值为( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·高二课时练习)设抛物线的焦点为，点为上一点，若，则直线的倾斜角可能是( )
A．B．C．D．
10．(2023·高二课时练习)对抛物线，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为
B．开口向右，准线方程为-
C．开口向右，焦点为
D．开口向上，准线方程为
11．(2023·湖北·高二校联考期中)已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则( )
A．B．C．D．
12．(2023·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中)已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则( )
A．最小值为2B．若，则
C．若，则D．若点P不在x轴上，则
三、填空题
13．(2023·广东广州·高二广州市白云中学校考期末)已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则__________．
14．(2023·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习)抛物线上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为________.
15．(2023·高二课时练习)抛物线的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是____.
16．(2023·江苏扬州·高二统考开学考试)已知点F为抛物线的焦点，，点P为抛物线上一动点，则的最小值为______．
四、解答题
17．(2023·高二课时练习)根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是；
(2)过点；
(3)焦点到准线的距离为.
18．(2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末)已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点，求的值．
19．(2023·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习)已知抛物线的准线方程为.
(1)求的值；
(2)直线交抛物线于、两点，求弦长.
20．(2023·河南洛阳·高二统考期末)已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线交曲线于点、，若的面积为(为坐标原点)，求直线的方程．
21．(2023·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习)已知为抛物线的焦点，为抛物线在第一象限上的一点，且轴，．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点．
22．(2023·高二校考单元测试)已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分.
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.
图形
标准方程
y2=2px(p＞0)
y2=－2px(p＞0)
x2=2py(p＞0)
x2=－2py(p＞0)
顶点
O(0，0)
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径