第14讲 抛物线（原卷版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4

这是一份第14讲 抛物线（原卷版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4，共15页。
2．掌握用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程．
3．理解并掌握抛物线的几何性质．
情景一：在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——击炮，击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的．对于躲在战壕中的敌人，击炮的密集发射无疑是一场灾难．因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线．
情景二：如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．
思考1 利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
思考2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？






思考3 平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？




思考4 确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？ 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？



1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：定点F.
(3)准线：定直线l.
2．抛物线的标准方程
概念解读：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
3．抛物线的简单几何性质

4．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
考点三 抛物线的几何性质
【例4】(教材P106例1改编)1已知双曲线方程是eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．




(2)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
【例5】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．





1.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
2由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值.
3由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质.
2.求离心率的方法与技巧
(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝eq \f(c,a)；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含eq \f(b,a)的方程，求出eq \f(b,a)后利用e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))求离心率．
(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得eq \f(c,a)或eq \f(b,a)的范围，再求得离心率的范围．
3.求渐近线的方法与技巧
双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线为y＝±eq \f(b,a)x，双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1的渐近线为y＝±eq \f(a,b)x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
4.直线与双曲线的位置关系判断方法：判断直线与双曲线的位置关系或求直线与双曲线交点时可采用代数法，将直线方程和双曲线方程联立求解，一解一个公共点；两解两个公共点，相交．
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．




2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2，0) B．(1，0) C．(8，0) D．(4，0)
3．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
1．抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为( )
A．x2＝16y B．x2＝8y C．y2＝16x D．y2＝8x
2．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,8)
3．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
4．(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D. x2＝－8y
5．若抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则实数p＝ ．
6．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
1．知识梳理：
(1)抛物线的定义及其应用：概念理解、最值应用、实际应用；
(2)求抛物线的标准方程：待定系数法、几何性质．
(3)抛物线的几何性质及其应用：几何性质理解与运用、直线与抛物线的位置关系应用．
2．应用细节：
(1)抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．
(2)确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
(3)讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
3．思想方法总结：待定系数法、数形结合思想、化归与转化思想．
4．易错提醒：焦点所在坐标轴易考虑不全；易忽略直线的特殊情况．
A组 基础巩固练
1．抛物线y＝eq \f(1,4)x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2
2．已知抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,4)))
3．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
4．若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
5．点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝eq \f(1,12)x2或y＝－eq \f(1,36)x2
6．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(7,5) C.eq \f(8,5) D．3
7．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若AB＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
8．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p等于( )
A．2 B．3 C．4 D．8
9．已知点M(4，y0)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5，设O为坐标原点，则△OFM的面积为( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
10．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),6)x C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
11．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m
12．(多选题)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为( )
A．y2＝x B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x
13．(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y
14．已知双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝________.
15．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是____________．
16．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则FN＝________.
17．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
18．(双空题)已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________．
19．(双空题)已知抛物线的准线过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))，则抛物线方程为________________，双曲线方程为________．
20．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，求抛物线的标准方程．





21．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．




22．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq \r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．






23．已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．







B组 能力提升练

1．已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若PF＝2，∠PFO＝eq \f(π,3)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝2x C．y2＝x D．y2＝4x
2．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的标准方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
4．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
7．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p