第13讲 双曲线（解析版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4

这是一份第13讲 双曲线（解析版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4，共26页。
2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．
3．理解并掌握双曲线的几何性质．
情景一：前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．
情景二：我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！
思考1 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果F1F2＜AB，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果F1F2＞AB，两圆不相交，不存在交点轨迹．
如图，在F1F2＞AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
回答 如题图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数．
思考2 类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
回答 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则|PF1－PF2|＝2a(a为大于0的常数)，
因为PF1＝eq \r(x＋c2＋y2)，PF2＝eq \r(x－c2＋y2)，所以eq \r(x＋c2＋y2)－eq \r(x－c2＋y2)＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,c2－a2)＝1.由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
思考3 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
回答 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．
思考4 如何确定双曲线标准方程的类型？
回答 焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
1．双曲线定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．
概念解读：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程
3．双曲线的简单几何性质
4．等轴双曲线
实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝eq \r(2)．
一、对错辨析
1．判断下列结论对错(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)在双曲线标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，a>0，b>0且a≠b．( × )
(3)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )
(4)双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x．( × )
(5)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × )
二、教材改编
2．(教材P90例2改编)已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为 ．
答案 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
解析 ∵e＝eq \f(c,a)＝2，c＝4，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，且焦点在x轴上，故标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1．
三、易错演练
3．“ab0)，可得其一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝eq \f(|－5a|,\r(b2＋－a2))＝eq \f(5a,c)，则eq \f(5a,c)＝2，可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,2).
3．如图，已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，双曲线的渐近线方程为 ．
解析 设F2(c,0)，(c＞0)，P(c，y0)，则eq \f(c2,a2)－eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝±eq \f(b2,a)．∴|PF2|＝eq \f(b2,a)．在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|．①由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a．② 由①②，得|PF2|＝2a．∵|PF2|＝eq \f(b2,a)，∴2a＝eq \f(b2,a)，即b2＝2a2．∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)．∴渐近线方程为y＝±eq \r(2)x．
4．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围为 ．
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))得－eq \f(2\r(3),3)0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
答案 C
解析 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，故有eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5,4)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).故双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，故选C.
4．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 易知选项B正确．
5．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于( )
A．4eq \r(2) B．8eq \r(3) C．24 D．48
答案 C
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PF1－PF2＝2，,3PF1＝4PF2，))解得PF1＝8，PF2＝6.在△PF1F2中，PF1＝8，PF2＝6，F1F2＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∴＝eq \f(1,2)PF1·PF2＝24.
6．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．a＝1 B．00)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.
7．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长AB＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
答案 C
解析 由双曲线的定义，知AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，所以AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋4a＝m＋4a，所以△ABF2的周长l＝AF2＋BF2＋AB＝4a＋2m.
8．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足PF1∶PF2∶F1F2＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \f(5,3) D．5
答案 B
解析 e＝eq \f(F1F2,PF2－PF1)＝eq \f(5,6－4)＝eq \f(5,2).
9．(多选题)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．17 B．7 C．22 D．2
答案 CD
解析 设双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝eq \r(34)，设P为双曲线上一点，不妨令PF1＝12(12>a＋c＝5＋eq \r(34))，∴点P可能在左支，也可能在右支，由|PF1－PF2|＝2a＝10，得|12－PF2|＝10，∴PF2＝22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
10．(多选题)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是( )
A．2 B．－1 C. 4 D．－3
答案 AB
解析 设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则c＝3，∵2aPF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，得PF1＝4a，PF2＝2a，F1F2＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cs 30°，整理得(e－eq \r(3))2＝0，所以e＝eq \r(3).
16．已知双曲线方程为8kx2－ky2＝8(k≠0)，则其渐近线方程为________________．
答案 y＝±2eq \r(2)x
解析 由已知令8kx2－ky2＝0，得渐近线方程为y＝±2eq \r(2)x.
17．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
答案 y2－3x2＝36
解析 椭圆4x2＋y2＝64可变形为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1，a2＝64，c2＝64－16＝48，∴焦点为(0,4eq \r(3))，(0，－4eq \r(3))，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4eq \r(3)，e′＝eq \f(2,\r(3))，从而a′＝6，b′2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
18．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________.
答案 eq \r(3)＋1
解析 以线段F1F2为边作正△MF1F2，则M在y轴上，可设|F1F2|＝2c，M在y轴正半轴，则M(0，eq \r(3)c)，又F1(－c，0)，则边MF1的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入双曲线方程，可得eq \f(c2,4a2)－eq \f(3c2,4b2)＝1，由于b2＝c2－a2，e＝eq \f(c,a)，则有e2－eq \f(3e2,e2－1)＝4，即有e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2eq \r(3)，由于e>1，即有e＝1＋eq \r(3).
19．(双空题)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则|PQ|＝________，△PF1Q的周长为________．
答案 eq \f(2\r(3),3) eq \f(16\r(3),3)
解析 ∵c＝eq \r(a2＋b2)＝2，∴F2(2，0)．又点P的横坐标为2，∴PQ⊥x轴．由eq \f(22,3)－y2＝1，得y＝±eq \f(\r(3),3)，故|PF2|＝eq \f(\r(3),3).∴|PQ|＝eq \f(2\r(3),3).又P，Q在双曲线的右支上，∴|PF1|－|PF2|＝2eq \r(3)，|QF1|－|QF2|＝2eq \r(3).∴|PF1|＝|QF1|＝2a＋eq \f(|PQ|,2)＝eq \f(7\r(3),3)，∴△PF1Q的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝eq \f(16\r(3),3).
20．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.
(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即eq \f(x2,\f(λ,4))－eq \f(y2,\f(λ,9))＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ>0时，eq \f(λ,4)＝9，λ＝36，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1；当λ0，n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．9
答案 D
解析 椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5－4＝1.因为双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，所以m＋n＝1(m>0，n>0)，所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))(m＋n)＝5＋eq \f(n,m)＋eq \f(4m,n)≥5＋2eq \r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝9.当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(4m,n)，即m＝eq \f(1,3)，n＝eq \f(2,3)时取等号．所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为9.
3．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 D
解析 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为(2a，eq \r(3)a)．∵M点在双曲线上，∴eq \f(4a2,a2)－eq \f(3a2,b2)＝1，a＝b，∴c＝eq \r(2)a，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).故选D.
4．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是( )
A.eq \f(13,14) B．－eq \f(11,14) C.eq \f(11,14) D．－eq \f(13,14)
答案 C
解析 设P(8，y0)在第一象限，eq \f(64,16)－eq \f(y\\al(2,0),9)＝1⇒y0＝3eq \r(3)，PF2＝eq \r(8－52＋3\r(3)2)＝6，
PF1＝6＋8＝14，F1F2＝10，cs∠F1PF2＝eq \f(142＋62－102,2×14×6)＝eq \f(11,14).
5．(多选题)已知点P在双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点P到x轴的距离为eq \f(20,3) B．PF1＋PF2＝eq \f(50,3)
C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝eq \f(π,3)
答案 BC
解析 因为双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，所以c＝eq \r(16＋9)＝5.又因为＝eq \f(1,2)·2c|yP|＝eq \f(1,2)·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；
将|yP|＝4代入C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1得eq \f(x2,16)－eq \f(42,9)＝1，即|xP|＝eq \f(20,3).由对称性，不妨取P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)，4))，可知PF2＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)－5))2＋42)＝eq \f(13,3).由双曲线定义可知PF1＝PF2＋2a＝eq \f(13,3)＋8＝eq \f(37,3)，所以PF1＋PF2＝eq \f(13,3)＋eq \f(37,3)＝eq \f(50,3)，所以选项B正确；
由对称性，对于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)，4))，在△PF1F2中，PF1＝eq \f(37,3)>2c＝10>PF2＝eq \f(13,3).且cs∠PF2F1＝eq \f(PF\\al(2,2)＋F1F\\al(2,2)－PF\\al(2,1),2PF2·F1F2)＝－eq \f(5,13)0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为________．
答案 eq \f(5,3)
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，PF1＝r1，PF2＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，
故r1＝eq \f(3b＋2a,2)，r2＝eq \f(3b－2a,2).又r1·r2＝eq \f(9,4)ab，所以eq \f(3b＋2a,2)·eq \f(3b－2a,2)＝eq \f(9,4)ab，解得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)(负值舍去)，
故e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1)＝eq \f(5,3).
8．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么PF2＋QF2－PQ的值为 ．
答案 16
解析 在双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1中，2a＝8，由双曲线定义，得PF2－PF1＝8，QF2－QF1＝8，
所以PF2＋QF2－PQ＝(PF2－PF1)＋(QF2－QF1)＝16.


焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系式
c2＝a2＋b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
性质
图形
焦点
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
焦距
2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x