第13讲 双曲线（原卷版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4

这是一份第13讲 双曲线（原卷版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4，共16页。
2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．
3．理解并掌握双曲线的几何性质．
情景一：前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．
情景二：我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！
思考1 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果F1F2＜AB，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果F1F2＞AB，两圆不相交，不存在交点轨迹．
如图，在F1F2＞AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？



思考2 类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？







思考3 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？




思考4 如何确定双曲线标准方程的类型？




1．双曲线定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．
概念解读：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程
3．双曲线的简单几何性质
4．等轴双曲线
实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝eq \r(2)．
一、对错辨析
1．判断下列结论对错(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)在双曲线标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，a>0，b>0且a≠b．( )
(3)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( )
(4)双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x．( )
(5)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( )
二、教材改编
2．(教材P90例2改编)已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为 ．
三、易错演练
3．“ab0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(5,2) D.eq \r(5)
3．如图，已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，双曲线的渐近线方程为 ．
4．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围为 ．

1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
2．方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0 C．m≥0 D．|m|≥2
3．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．eq \f(1,2) B．1或－2 C．1或eq \f(1,2) D．1
4．(多选题)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8eq \r(2) B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为eq \f(3\r(2),4)
5．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±eq \f(\r(3),3)x，则双曲线的离心率为( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(2\r(3),3) C．eq \f(\r(7),4) D．eq \f(\r(5),5)
6．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
7．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，P是双曲线上的一点且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为 ．
8．直线y＝2x＋1与双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1有______个交点．
1．知识梳理：
(1)双曲线的定义及其应用：概念理解、焦点三角形应用；
(2)求双曲线的标准方程：待定系数法、几何性质、巧设法．
(3)双曲线的几何性质及其应用：几何性质理解、离心率与渐近线的求解、直线与双曲线的位置关系应用．
2．应用细节
(1)双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
(2)在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．
(3)用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．
(4)渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
(5)准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
3．思想方法总结：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想．
4．易错提醒：焦点所在坐标轴考虑不全．
A组 基础巩固练
1．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1 C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≤－3) D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1 C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1
3．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
4．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于( )
A．4eq \r(2) B．8eq \r(3) C．24 D．48
6．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．a＝1 B．00，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长AB＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
8．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足PF1∶PF2∶F1F2＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \f(5,3) D．5
9．(多选题)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．17 B．7 C．22 D．2
10．(多选题)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是( )
A．2 B．－1 C. 4 D．－3
11．(多选题)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，则下列结论正确的是 ( )
A．C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B．C的离心率为eq \f(5,4)
C．焦点到渐近线的距离为3 D．PF的最小值为2
12．若双曲线以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 .
13．经过点P(－3，2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是____________．
14．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2eq \r(5)，0)，且离心率为e＝eq \f(\r(5),2)，则双曲线的标准方程为________________．
15．设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
16．已知双曲线方程为8kx2－ky2＝8(k≠0)，则其渐近线方程为________________．
17．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
18．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________.
19．(双空题)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则|PQ|＝________，△PF1Q的周长为________．
20．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.


21．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．
(1)求双曲线的离心率；
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．








(2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，由PF1⊥PF2得eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0.所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，由(1)知eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，又a2＋b2＝c2＝25，所以a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
22．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(00)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．9
3．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
4．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是( )
A.eq \f(13,14) B．－eq \f(11,14) C.eq \f(11,14) D．－eq \f(13,14)
5．(多选题)已知点P在双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点P到x轴的距离为eq \f(20,3) B．PF1＋PF2＝eq \f(50,3)
C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝eq \f(π,3)
6．(多选题)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1
7．设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为________．
8．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么PF2＋QF2－PQ的值为 ．

焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系式
c2＝a2＋b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
性质
图形
焦点
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
焦距
2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x