四川省资阳市2024_2025学年高一数学上学期期中测试试题强基班含解析

这是一份四川省资阳市2024_2025学年高一数学上学期期中测试试题强基班含解析，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟，满分 150 分；
一、单选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题意的.）
1. 已知 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 ，
，故选 C.
2. “函数 的定义域为 R”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由函数 的定义域为 R，即 对任意 恒成立，可得 a 的范
围，则可得 “函数 的定义域为 R” 是“ ”的必要不充分条件.
【详解】因为函数 的定义域为 R，
所以 对任意 恒成立，
①当 时， 对任意 恒成立；
②当 时，只需 ，解得： ；
所以 .
记集合 ， .
因为 A⫋B，所以 “函数 的定义域为 R” 是“ ”的必要不充分条件.
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故选：B.
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 且 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】举反例说明 AB 是错误的，利用作差法可证 C 是错误的，利用不等式的性质可证 D 是正确的.
【详解】对 A：当 时，由 ，故 A 错误；
对 B：当 ， ，则满足 ，但 不成立，故 B 错误；
对 C：根据不等式的性质，若 ，则 ，
也就是 ，故 C 错误；
对 D：若 且 ，则 即 ，故 D 正确.
故选：D
4. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，再取特殊值.
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【详解】因为 ， ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除 C 项、D 项，
，排除 A 项.
故选：B.
5. 已知幂函数 为偶函数，若函数 在区间 上为单调
函数，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】幂函数 为偶函数，解得 ，函数 在区间
上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数 a 的取值范围.
【详解】 为幂函数，则 ，解得 或 ，
时， ； 时， .
为偶函数，则 .
函数 在区间 上为单调函数，
则 或 ，解得 或 ，
所以实数 a 的取值范围为 .
故选：D.
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据 ，以及同角三角函数的关系和角的范围
求出 ，再根据 即可求解.
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【详解】解： ，
，又 ，
， ，即 ，
.
故选：B.
7. 设 ， ， ，则 a，b，c 的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为 ， ， ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
综上： .
故选：D.
8. 已知函数 ，正实数 a,b 满足 ，则 的最小
值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
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【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出 之间的关系可求.
【详解】 ，
故函数 关于 对称，又 在 上严格递减；
即
当且仅当 时取得.
故选：B.
二、多选题（本小题 3 个小题，每小题 6 分，满分 18 分.每小题给出的备选答案中，有多个选
项符合题意的，全选对得 6 分，部分选对得 3 分，选错或不选得 0 分.）
9. 下列论述中，正确的有（ ）
A. 集合 的非空子集的个数有 7 个
B. 第一象限角一定是锐角
C. 若 为定义在区间 上的连续函数，且有零点，则
D. 是 的充分不必要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】将集合 的非空子集一一列举，即可判断 A，举出反例，比如 即可判断 B，举出反例
即可判断 C，由充分不必要条件的定义即可判断 D
【详解】集合的非空子集有 共 7 个，故 正确；
因为 第一象限角，但不是锐角，故 B 错误；
函数 在区间 上有零点，但不满足 ，故 C 错误；
是 的充分不必要条件，故 D 正确.
故选:
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 是关于 的方程 有一正一负根的充要条件
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B. 若关于 的不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是
C. 若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集是 或
D. 若 ，则 最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，由韦达定理即可判断，对于 B，参变分离即可判断，对于 C，由条件确定 ，
即可求解，对于 D，由 ，再结合基本不等式即可求解.
【详解】对于 A，若 的根 一正一负，则 ，解得：
；
反之，当 时， ，方程有一正一负根，也成立，
所以 是关于 x 的方程 ， 有一正一负根的充要条件，A 对；
对于 B，若关于 的不等式 在 上恒成立，
则只需 ，即 在 上恒成立即可，
则实数 k 的取值范围是 ，故 B 错误；
对于 C，若关于 的不等式 的解集是 ，则 ，
所以关于 的不等式 或 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 ，可得 ，等号成立当且仅当 ，
所以 ，等号成立当且仅当 ，故 D 正确，
故选：ACD
11. 已知函数 则下列说法正确的是（ ）
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A. 当 ， 时，
B. 对于 ， ，
C. 若方程 有 4 个不相等的实根 ， ， ， ，则 的范围为
D. 函数 有 6 个不同的零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数图象，根据函数单调性和对称性以及零点分布情况一一代入选项分析即可.
【详解】作出函数图象如下图所示：
对 A，当 时， ，
时， ，
当 ， 时， ，
，故 A 正确；
对 B，取 ， ，则 ，故 B 错误；
对 C，根据函数图象可知当 时， 有四个不同的实根，
，由 得 ，
由 得 ，则 ，
则 ，故 C 正确；
对 D，令 ，则 ，令 ，则 ，
当 时，则 ，解得 或 ，
当 时， ，解得 ，
观察图象知，当 或 时，直线 与函数图象各有一个交点，
当 时，直线 与函数图象有四个交点，
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则函数 有 6 个不同的零点，故 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题 C 选项的关键是利用函数的局部对称性得到 ，再根据分段函数关系式
得到 ，最后减少变量即可判断整体和的范围.
三、填空题（本小题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分）
12. 若扇形的弧长为 8，圆心角为 ，则扇形的面积为__________.
【答案】8
【解析】
【分析】由弧长公式求出扇形的半径 ，再由扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：
.
故答案为：8
13. 函数 在 是单调递减的，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，内层函数 在区间 上单调递减，可得出 ，且使得
在 处的函数值非负，由此可得出关于 的不等式组，解出不等式组即可得出实数 的
取值范围.
【详解】设 ，则二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 .
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由于函数 在 上单调递减，
则函数 在 上为减函数，则有 ，
由于 在 为正数，则当 时， ，
于是有 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为 .
【点睛】本题考查利用对数型复合函数的单调性求参数，在分析出内层函数的单调性后，还应保证真数在
相应的区间上恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14. 函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ，若对任意
的 ，都有 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，求出函数在各段上的解析式，数形结合，求 的取值范围.
【详解】.由 .
当 时， ；
设 ，则 ，所以 ；
设 时，则 ，所以 ，
由 ，
即 或 .
由图象可得： ，都有 ，故
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故答案为：
【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思
想方法，属中档题．
四、解答题（本题共 5 小题，满分 77 分）
15. 已知集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式化简集合，即可根据并集的运算求解，
（2）根据包含关系即可列不等式求解.
【小问 1 详解】
由 解得 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ．
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
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所以 ，解得 ，
所以实数 m 的取值范围为 ．
16. 已知 ．
（1）若 是第一象限角，求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数与幂函数的运算化简 ，结合 求解 ，结合角度范围可
得答案．
（2）由诱导公式化简，分子分母同除 ，代入 计算可得结果.
【小问 1 详解】
，
所以 ，又因为 ，可得 ，
因为 是第一象限角，故 .
【小问 2 详解】
.
17. 已知函数 是偶函数.
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（1）求 的值；
（2）若 对于任意 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义即可求得 ；
（2）分离常数 ，利用单调性求 的范围即可.
【小问 1 详解】
因为函数 是偶函数、
则满足 ，
所以
即 ，
所以 ，解得 .
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，
对于任意 恒成立，代入可得 ，
所以 对于任意 恒成立，
令 ，
因为 ，所以由对数函数的图像与性质可得 ，
所以 .
18. 某环保组织自 2023 年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，
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此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自 2023 年元旦起，水葫芦在该水域里生
长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为 （单位： ），二月底测得水葫芦
的生长面积为 ，三月底测得水葫芦的生长面积为 ，水葫芦生长的面积 （单位： ）与时间
（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是 ；另一个是
，记 2023 年元旦最初测量时间 的值为 0.
（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型 解析式；
（2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上？（参考数据：
）.
【答案】（1）第一个函数模型 满足要求，理由见解析，
（2）该水域中水葫芦生长的面积在 7 月份是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上
【解析】
【分析】（1）由随着 的增大， 的函数值增加得越来越快，而
的函数值增加得越来越慢求解；
（2）根据题意，由 求解.
【小问 1 详解】
解： 两个函数模型 在 上都是增函数，随着 的增
大， 的函数值增加得越来越快，
而 的函数值增加得越来越慢，
在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，
第一个函数模型 满足要求，
由题意知， ，解得 ，所以 ；
【小问 2 详解】
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由 ，解得 ，
又
故 ，
该水域中水葫芦生长的面积在 7 月份是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上.
19. 已知函数 的定义域为 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，使得 在区间 上单调递增，且值域为 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数定义域得到 恒成立，分参转化为求函数最值；
（2）根据题意得到 有两个不同的实数根，转化为求函数零点问题.
【小问 1 详解】
的定义域为 ，
恒成立
即 恒成立，
，当 时等号成立，
，即 的取值范围为 .
小问 2 详解】
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函数 在其定义域上为增函数，
要使 在区间 上单调递增，
则函数 在区间 上单调递增，又 为增函数，
在区间 上 增函数，
又 ， ，
又 在区间 上的值域为 ，
，
即
在区间 上有两个不等实根，
则 ，解得 ，
的取值范围为 .
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