四川省资阳市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析

这是一份四川省资阳市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法，求出集合中的元素，根据集合交集的概念，求出结果即可.
【详解】由题意得 ，即 ，解得 ，
即 ，所以 .
故选：C.
2. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用分段函数求解函数值.
【详解】因为函数 ，则 .
故选：A.
3. 已知 均为实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
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C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质依次分析即可得到正确选项.
【详解】当 时， ，所以选项 A 错误；
因为 ，所以 ，所以 ，选项 B 错误；
因为 ，所以 ，由 ， ，得 ，即 ，选项 C 错误；
因为 ，所以 ， ，于是 ，则 ，选项 D 正确.
故选：D
4. “ ”是“一元二次方程 有两个正实根”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数 的不等式组，求出实数 的取值范围，再利用集合
的包含关系判断可得出结论.
【详解】设一元二次方程 的两个正实根分别为 、 ，
由题意可得 ，解得 ，
因为 ，
所以，“ ”是“一元二次方程 有两个正实根”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 设命题 ，关于 方程 有实数解，则命题 的否定是（ ）
A. ，关于 的方程 没有实数解
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B. ，关于 的不等式 有实数解
C. ，关于 的方程 没有实数解
D. ，关于 的不等式 有实数解
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称量词命题 否定直接判断得解.
【详解】命题“ ，关于 的方程 有实数解”是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，命题 的否定是： ，关于 的方程 没有实数解.
故选：C
6. 给 定 函 数 ， 用 表 示 函 数 中 的 较 大 者 ， 即
，则 的最小值为（ ）
A. 0 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求 的解析式，作函数 图象，结合图象求最值.
【详解】令 ，即 ，解得 或 ；
令 ，即 ，解得 ；
可知： ，
又 ， ，
作出函数 的图象（图中实线部分），
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由图可知： 的最小值为 .
故选：C.
7. 函数 ，若对任意 、 （ ），都有 成立，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出函数 在 上单调递减，再利用分段函数的单调性列不等式组即可得出结果.
【详解】由对任意 、 （ ），都有 成立，可知 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，即实数 a 的取值范围为 .
故选：C.
8. 我们把定义域为 且同时满足以下两个条件的函数 称为“ 函数”：①对任意的 ，
总有 ；②若 ，则有 成立，给出下列三个结论：其中正确结论
的个数是（ ）
（1）若 为“ 函数”，则 ；
（2）函数 在 上是“ 函数”；
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（3）函数 在 上是“ 函数”（ 为有理数集）．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用“ 函数”的定义逐一判断各命题得解.
【详解】对于（1），取 ，得 ，即 ，又 ，则 ，（1）
正确；
对于（2），函数 在 上单调递增， ，
，
因此 ，函数 在 上是“ 函数”，（2）正确；
对于（3）， ，取 ，
得 ，
因此函数 在 上不是“ 函数”，（3）错误，
所以正确结论的个数是 2.
故选：C
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 是定义域上的减函数
B. “ ”的否定是真命题
C. 与 是同一函数
D. 集合 中只有一个元素，则
【答案】BC
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【解析】
【分析】对于 A，由幂函数 的单调性判断；对于 B，先得到命题的否定，再根据命题真假判断即
可；对于 C，根据同一函数的定义判断；对于 D，易得 也符合题意．
【详解】对于 A， 在 和 单调递减，
在定义域 不单调，故 A 错误；
“ ”的否定是“ ”，
又 ，则“ ”的否定是真命题，故 B 正确；
对于 C，由于 ，与 的对应法则一样，定义域也一样，
所以它们表示同一函数，故 C 正确；
对于 D，当 时，集合 也只有一个元素，故 D 错误；
故选：BC．
10. 已知定义在 上 函数 满足： ，且当 时，
，若 ，则（ ）
A. B. 在 上单调递减
C. 不等式 的解集是 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 ，判断 A；利用函数单调性定义可判断出 在 上单调递增，判断 B；利用
题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断 C；由题可得
，求和判断 D．
【详解】对于 ，令 ，得 ，即 ， 正确；
对于 B，根据题意， ，
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对任意 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增，B 错误；
对于 ，又 ，
所以原不等式等价于 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，解得 正确；
对于 D，根据 ，则 ，
，
，D 正确．
故选：ACD．
11. 已知关于 x 的不等式 的解集为 ，则下
列结论正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 20 D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】A 由韦达定理可判断选项正误；BD 由基本不等式可判断选项正误；C 由 A 选项分析利用二次函数
知识可判断选项正误.
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【详解】对于 A，因 的解集为 ，
则 的解为 与 1，由韦达定理，
则 ，两式相除，得 ，
故 ，则 A 错误；
对于 B，由基本不等式， ，当且仅当 取等号，故 B 正确；
对于 C，由 A， ，
当且仅当 时取等号，故 C 错误；
对于 D，由基本不等式， ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 D 正确.
故选：BD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知 、 为实数，且函数 ， 是偶函数，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据定义域关于原点对称及 求出参数的值.
【详解】因为函数 ， 是偶函数，
所以 ，解得 ，又 ，即 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
13. 函数 的最大值是_______.
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【答案】
【解析】
【分析】令 ，从而将问题转化成求二次函数 在 上的最大值，利用二次
函数的性质，即可求解.
【详解】由 ，得到 ，所以函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，所以 ，对称轴为 ，其图象开口向下，
所以当 时， 取到最大值，最大值为 ，
故答案为： .
14. 已知定义域为 的函数 满足对于任意两个不相等的实数 ， ，都有
，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的
取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单调性的性质可判断 是 上的增函数，即可将问题转化为 在
上恒成立，对 讨论，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由 ，可知 是 上的增函数，
则由不等式 在 上恒成立，可得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
当 时， ，解得 ．
当 时， 在 上恒成立．
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当 ，且 ，解得 ．
当 ，且 ，解得 ．
当 ，且 ，解得 ．
故 的取值范围为 ．
故答案为:
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数 的定义域为 ，集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 求出 ，再利用 即可求出集合 最后应用交集定义计算求解；
（2）由题设 是 的真子集，求出 ，再利用集合间的包含关系即可求出结果.
【小问 1 详解】
由 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为集合 或 .
当 时， ，
所以 ，
所以 ，所以 .
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【小问 2 详解】
因为 “ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 是 的真子集，
因为 ，
又因为 或 ，
所以 或 ，解得 或 ，
故 的取值范围为 .
16. 如图，某农场紧急围建一个面积为 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙
需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留 宽的入口（入口不需建墙）.
已知旧墙的维修费用为 28 元/ ，新墙的造价为 100 元/ ，旧墙的使用长度为 ，修建此矩形场
地的总费用为 （单位：元）.
（1）写出 关于 的表达式；
（2）当 为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用.
【答案】（1）
（2）当 时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为 3000 元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用；
（2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解.
【小问 1 详解】
依题意，新墙总长度为 ，修建新墙费用为 元，维修旧墙费用为
元，
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因此 ，
所以修建此矩形场地的总费用 .
【小问 2 详解】
由（1）知，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， ，
所以当 时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为 3000 元.
17. 已知函数 是定义在 的奇函数，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）求证：函数 在 上是减函数；
（3）求函数 在 上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义可得出 的值，再由 可得出 的值，即可得出函数 的解析式；
（2）利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（3）利用函数的单调性可得出函数 在 上的最大值和最小值.
【小问 1 详解】
因为函数 是定义在 的奇函数，
则 ，即 ，解得 ，则 ，
又因为 ，可得 ，故 ，
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此时满足 ，即函数为奇函数，
所以 ；
【小问 2 详解】
任取 ，则
，
因为 ，则 ， ，
所以 ，即 ，
因此函数 在 上是减函数.
【小问 3 详解】
因为函数 在 上 减函数，
故 ， ，
因此函数 在 上的最大值为 ，最小值为 .
18. 已知函数
（1）若 在区间 上是单调函数，求 的取值范围
（2）若 ， 恒成立，求 的取值范围
（3）求不等式 解集.
【答案】（1） 或
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据单调得对称轴与区间的位置关系，从而得 的取值范围；
（2）根据判别式法列不等式，求解即可；
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（3）分 三种情况进行讨论即可求解.
【小问 1 详解】
函数 开口向上，对称轴为 ，
因为 在区间 上是单调函数，故 或 ，
由 得 或 ，解得 或 .
【小问 2 详解】
由题意 ， 恒成立，
又 ，所以 ，即 ，解得 ，
结合 得， .
【小问 3 详解】
即 ，
当 时， ，则不等式的解集为 ；
当 时，不等式即为 ，则不等式的解集为 ；
当 时， ，则不等式的解集为 .
综上所述：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
19. 若关于 的函数 ，当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 ，令函数 ，
我们不妨把函数 称之为函数 的“共同体函数”.
（1）①若函数 ，当 时，求函数 的“共同体函数” 的值；②若函数
（ 为常数），求函数 的“共同体函数” 的解析式；
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（2）记函数 的最大值为 ，请问是否存在实数 ，使得函数 的“共同体函数” 的最小值
等于 .若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）①2025；②
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）① 时， ，利用 性质求解最大值和最小值，即可得解；
②按照 和 分类讨论，利用 性质求解最大值和最小值，即可求解.
（2）分 、 、 、 四种情况讨论，分别利用二次函数 性质求出 的最小值，解方
程即可得解.
【小问 1 详解】
① 时， ， ， 随 的增大而增大，
时， ， ， ，
.
② ，
当 时 随 的增大而增大，
时， ， 时， ，
，
当 0 时，随 的增大而减小， 时， ，
时， ， ，
综上， .
【小问 2 详解】
，
时， ，
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①当 即 时， ，
时， ，
时， ，
， 时， ；
②当 即 时， ，
时， ，
时， ，
，则 时， ；
③当 时， ， ，
时， ，
， 时， ；
④当 时， 时， ，
时， ，
， ，
最小值为 ， ，
符合题意.
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