四川省资阳市安岳中学2025~2026学年高二上册第一次月考数学试卷（强基班）含解析

这是一份四川省资阳市安岳中学2025~2026学年高二上册第一次月考数学试卷（强基班）含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的左右焦点分别为、，过左焦点，作直线交椭圆于、两点，则三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．14
4．如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）
A．两两共面，但不可能共面
B．有且仅有一对实数，使得
C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
D．，，一定能构成空间的另一个基底
10．如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线平面
C．当时，点到平面的距离为
D．当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为
A．
B．时，三角形面积为
C．直线与直线的斜率之积是定值
D．当与平行时，四边形的面积最大
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若直线：与直线：平行，则与间的距离为 ．
13．如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）已知两直线.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
(2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.
16．（15分）已知圆的方程为.
(1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；
(2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.
17．（15分）某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.
（1）求的值；
（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.
18．（17分）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
19．（17分）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设M为椭圆E上一动点，求的最大值．
(3)过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
参考答案
1．D
【详解】因为，可得，
即，解之可得.
故选：D
2．A
【详解】由题知，，解得.
故选：A.
3．A
【详解】由椭圆的定义得，，
则的周长为.
故选：A.

4．C
【详解】由，，而且，
则
，
显然，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
5．B
【详解】设点，因点为线段的中点，则（*）
又在椭圆上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选：B.
6．C
【详解】设没有奖品的4张抽奖券分别为，有奖品的3张抽奖券分别为.随机抽出2张，所有可能的结果为
，共21种，
而小李获得奖品的结果为，，共15种，
故小李能获得奖品的概率为.
故选：C.
7．A
【详解】圆，即，圆心，半径,
设弦的中点为，则,，且，
所以，
所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以，
所以的最小值为.

故选：A．
8．B
【详解】设椭圆的半焦距为，则，设，
由，得，于是，，
而，则，由三点共线，得，
于是，解得，此时或符合题意，
所以椭圆的离心率为.
故选：B

9．ACD
【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确；
对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确；
对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确；
对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：ACD.
10．ACD
【详解】

对于A，如图1，因，故A正确；

对于B，如图2建立空间直角坐标系，则，
于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
由知与不垂直，
故直线与平面不平行，故B错误；
对于C，由上图建系，设P的坐标为，
当，有，则，设平面的法向量，
则，故．
取平面一点A与点E构成，
所以点E到平面的距离，故C正确；
对于D，因为P为底面正方形的动点，当的正切值为2时，不变，由圆锥性质可知，动点P的运动轨迹是以为高，为母线的圆锥的底面圆周，
此时为底面半径r，又因为P在正方形内运动，所以P的轨迹是底面圆周的；当的正切值为，则为，所以P的轨迹长为，故D正确，故选：ACD．
11．ABD
【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，焦距为，
则由题意可知，，，，，
∴，，，直线过原点，且在第一象限，
∴设直线的方程为：，，
∵经过原点，∴，即：，
∴，即：，故A正确；
如图所示：
设椭圆的左焦点为，连接，，，，由对称性可知：四边形是平行四边形，
又：，，
设，，，
由余弦定理可知：，
即：，
即：，解得：，∴，
又：，∴，，
∴
，
∴，故B正确；
设：，点在第一象限，∴，由对称性知：，
∴，，
∴，
又：在椭圆上，∴，∴，
即有：，
直线与直线的斜率之积与直线的斜率有关，不是定值，故C错误；
如图所示：
，
当且仅当：，即：，，时等号成立，
而，此时，
∴当与平行时，四边形的面积最大，最大面积为，故D正确.
故选：ABD.
12．【详解】，，即，当时，与重合，不合题意，，
所以两直线方程为与，
与间的距离．故答案为：.
13．【详解】根据向量加法三角形法则得到，,
即，即，展开得到，
，运用数量积公式计算得到.因为，所以.
故答案为：.
14．12【详解】由椭圆可知，，
椭圆在圆内，而圆的圆心为，半径为，
易知，所以椭圆与圆相离，
而，故，
要求的最大值，只需求的最大值，而Q在圆上，只需求的最大值，当共线时（如图），最大，此时，即为的最大值，则的最大值为，则的最大值为，故答案为：12
15．(1)
(2)
【详解】（1）联立方程，解得；
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
（2）设点关于直线对称的点为，
则，解得，即；
则,
故的最小值为.

16．(1)或
(2)6
【详解】（1）圆的标准方程为.
①当斜率不存在时，直线的方程为，
直线截圆所得弦长为，符合题意；
②当斜率存在时，设直线，
圆心到直线的距离为
根据垂径定理可得，即，解得.
即直线的方程为或
（2）圆心.
因为与圆相切，所以.
当最小，所以.
可得
17．【答案】（1）
（2）.
【解析】
（1）由题意得，
解得.
（2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.
记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，
相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，
则，且彼此互斥.
易得.
，
所以
所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.
18．(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【详解】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
19．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，，解得，
故椭圆的方程为.
（2）
如图，设，由题意，，
则直线的方程为，代入，整理得：，
则，即，，故，
直线的方程为，代入，整理得：，
则，即，，故，
于是，
，
因，故可得，
即为钝角，因圆的直径所对的圆周角为直角，故点在以为直径的圆内.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
C
B
C
A
B
ACD
ACD
题号
11









答案
ABD